人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列本章综合与测试单元测试一课一练

第四章 数列 单元过关检测 基础A卷

解析版

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+6（解答），满分150分，时间：120分钟

一、单选题

1．已知数列的前4项为：l，，，，则数列的通项公式可能为（  ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

分母与项数一样，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式

【详解】

正负相间用表示，∴．

故选D．

【点睛】

本题考查数列的通项公式，属于基础题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律．

2．记为等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（  ）

A．1 B．-1 C．2 D．-2

【答案】A

【分析】

利用等差数列{an}的前n项和与通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{an}的公差．

【详解】

∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＝3，S6＝21，

∴，

解得a1＝1，d＝1．

∴数列{an}的公差为1．

故选A．

【点睛】

本题考查数列的公差的求法，考查等差数列的前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

3．已知数列，满足，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

利用递推公式计算出数列的前几项，找出数列的周期，然后利用周期性求出的值.

【详解】

，且，，，

，所以，，

则数列是以为周期的周期数列，.

故选C.

【点睛】

本题考查利用数列递推公式求数列中的项，推导出数列的周期是解本题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

4．在等比数列中，，则=　　

A．或 B． C．或 D．或

【答案】A

【分析】

根据等比数列的性质得，又由，联立方程组，解得 的值，分类讨论求解，即可得到答案.

【详解】

由题意，根据等比数列的性质，可得，

又由，联立方程组，解得或，

当时，则，此时；

当时，则，此时，

故选A.

【点睛】

本题主要考查了等比数列的性质的应用，其中解答中根据等比数列的性质，联立方程组，求得的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

5．等比数列中（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】

根据等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的公比分析即可求出答案.

【详解】

等比数列中，，

当时，可得，及，故B正确；

但和不能判断大小（正负不确定），故A错误；

当时，则，可得，即，可得，

由于不确定，不能确定的大小，故CD错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查等比数列通项公式和求和公式的应用，属于基础题.

6．两等差数列和，前n项和分别为，，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

在为等差数列中，当，，，时，．所以结合此性质可得：，再根据题意得到答案．

【详解】

解：在为等差数列中，当，，，时，．

所以，

又因为，

所以．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查等差数列的下标和性质，属于中档题．

7．函数的正数零点从小到大构成数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先将函数化简为，再解函数零点得或，，再求即可.

【详解】

解：∵

∴ 令得：或，，

∴或，，

∴ 正数零点从小到大构成数列为：

故选：B.

【点睛】

本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.

8．已知函数（），正项等比数列满足，则

A．99 B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为函数（），

正项等比数列满足，

则，选C

二、多选题

9．无穷数列的前项和，其中，，为实数，则（    ）

A．可能为等差数列

B．可能为等比数列

C．中一定存在连续三项构成等差数列

D．中一定存在连续三项构成等比数列

【答案】AC

【分析】

由可求得的表达式，利用定义判定得出答案．

【详解】

当时，．

当时，．

当时，上式＝．

所以若是等差数列，则

所以当时，是等差数列，不可能是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列．

故选：AC

【点睛】

本题只要考查等差数列前n项和与通项公式的关系，利用求通项公式，属于基础题．

10．已知数列的首项为4，且满足，则（    ）

A．为等差数列

B．为递增数列

C．的前项和

D．的前项和

【答案】BD

【分析】

由得，所以可知数列是等比数列，从而可求出，可得数列为递增数列，利用错位相减法可求得的前项和，由于，从而利用等差数列的求和公式可求出数列的前项和.

【详解】

由得，所以是以为首项，2为公比的

等比数列，故A错误；因为，所以，显然递增，故B正确；

因为，，所以

，故，

故C错误；因为，所以的前项和，

故D正确.

故选：BD

【点晴】

本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.

11．已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（    ）

A．在数列中，最大 B．在数列中，或最大

C． D．当时，

【答案】AD

【分析】

由已知得到,进而得到,从而对ABD作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为，可知不一定成立，从而判定C错误.

【详解】

由已知得：,

结合等差数列的性质可知，,该等差数列是单调递减的数列，

∴A正确，B错误，D正确，

,等价于,即,等价于，即,

这在已知条件中是没有的，故C错误.

故选:AD.

【点睛】

本题考查等差数列的性质和前n项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.

12．将个数排成行列的一个数阵，如图：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为.下列结论正确的有（    ）

……

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】

根据等差数列和等比数列通项公式，结合可求得，同时确定、的值、得到的正误；首先利用等比数列求和公式求得第行个数的和，再结合等差求和公式得到的正误.

【详解】

对于，，，，又，

，正确；

对于，，，错误；

对于，，，正确；

对于，第行个数的和，

，正确.

故选：.

【点睛】

本题考查数列中的新定义问题，解题关键是能够灵活应用等差和等比数列的通项公式和求和公式，将新定义的数阵转化为等差和等比数列的问题来进行求解.

三、填空题

13．已知为等差数列,,前n项和取得最大值时n的值为___________.

【答案】20

【分析】

先由条件求出，算出，然后利用二次函数的知识求出即可

【详解】

设的公差为，由题意得

即，①

即，②

由①②联立得

所以

故当时，取得最大值400

故答案为：20

【点睛】

等差数列的是关于的二次函数，但要注意只能取正整数.

14．《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢？各穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚五尺，两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的.问大、小老鼠几天后相遇？各自打洞几尺？”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn=_____尺.

【答案】2n+1﹣21﹣n

【分析】

写出两只老鼠打洞的通项公式，利用分组求和即可得解.

【详解】

根据题意大老鼠第n天打洞尺，

小老鼠第n天打洞尺，

所以

故答案为：

【点睛】

此题考查等比数列的辨析，写出通项公式，根据求和公式求和，关键在于熟练掌握相关公式，涉及分组求和.

15．我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是__________．

【答案】405

【分析】

前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差为9的等差数列，

16．
 

如图，互不相同的点和分别在角O的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等.设.若，，则数列的通项公式是________.

【答案】

【分析】

根据三角形相似和所有梯形的面积均相等，找到与相关的递推公式，再由递推公式求得通项公式.

【详解】

由于 所以

梯形 的面积为的面积減去的面积，

则可得 即递推公式为

故为等差数列，且公差，

故，得

故答案为:

【点睛】

本题主要考查数列在平面几何中的应用，根据几何关系寻找递推有关系是解决问题的关键，属于中档题.

四、解答题

17．设等差数列的前n项的和为，且，，求：

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前14项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）由已知条件列出关于的方程组，求出可得到；

（2）由通项公式先判断数列中项的正负，然后再化简数列中的项，即可求出结果.

【详解】

解：（1）设等差数列的公差为d，依题意得，

解得，

∴；

（2）∵，

∴由得，

∴

.

【点睛】

此题考查等差数列的基本量计算，考查计算能力，属于基础题.

18．数列满足，，

（1）设，证明数列是等差数列

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）证明过程见详解；（2）.

【分析】

（1）先化简得到即，再求得，最后判断数列是以1为首项，以2为公差的等差数列.

（2）先求出数列的通项公式，再运用“裂项相消法”求数列的前项和即可.

【详解】

解：（1）因为，所以

因为，所以，且

所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列.

（2）由（1）的，

所以

所以

【点睛】

本题考查利用定义求等差数列的通项公式、根据递推关系判断数列是等差数列、根据“裂项相消法”求和，还考查了转化的数学思维方式，是基础题.

19．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的存在最大值，则求出最大值；若问题中的不存在最大值，请说明理由.问题：设是数列的前项和，且，__________，求的通项公式，并判断是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

【分析】

若选①，求出数列是首项为4，公比为的等比数列，求出通项公式和前项和，通过讨论的奇偶性，求出其最大值即可；

若选②，求出数列是首项为4，公差为的等差数列，求出通项公式和前项和，求出其最大值即可；

若选③，求出，当时，，故不存在最大值.

【详解】

解：选①

因为，，所以是首项为4.公比为的等比数列，

所.

当为奇数时，，

因为随着的增加而减少，所以此时的最大值为.

当为偶数时，，

且

综上，存在最大值，且最大值为4.

选②

因为，.所以是首项为4，公差为的等差数列，

所以.

由得，

所以存在最大值.且最大值为（或），

因为，所以的最大值为50.

选③

因为，所以，

所以，，…，

则，

又，所以.

当时，，

故不存在最大值.

【点睛】

此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题

20．已知数列的前n项和为，满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）利用，，可得为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求得通项公式；

（2）利用错位相减法求和即可求．

【详解】

（1）当时，，解得，

当时，由可得

，

两式相减可得，即，

所以是以为首项，以为公比的等比数列，

所以

（2）由（1），

，

则，

两式相减得

，

所以．

【点睛】

方法点睛：

由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，考查学生的计算能力.

21．已知数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）数列，表示不超过的最大整数，求的前1000项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）利用可求出；

（2）根据数列特点采用分组求和法求解.

【详解】

（1）当时，，

当时，，

将代入上式验证显然适合，所以.

（2）因为，，，，

所以，

所以.

【点睛】

本题考查和的关系，考查分组求和法，属于基础题.

22．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.

已知是各项均为正数的等差数列，其前n项和为，________，且，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求.

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）利用，，成等比数列，可得，

若选①：由得：，即可解出和的值，即可求出的通项公式；

若选②：由可得，即可解出和的值，即可求出的通项公式；

若选③：由，可表示出，，结合，，成等比数列，即可解出和的值，即可求出的通项公式；

（2）由（1）可得，分为奇数和偶数，利用并项求和即可求解.

【详解】

是各项均为正数的等差数列，，，成等比数列.

所以，即，

整理可得，

若选①：，则，即，

由可得代入可得：

，解得或（舍）

所以，

所以，

若选②：，即，代入得：

，即

解得：或不符合题意；

若选③：，则，，

代入可得

解得：或不符合题意；

综上所述：，

，

（2），

当为偶数时，，

当为奇数时，，

所以.

【点睛】

关键点点睛：本题得关键点是分别由条件①②③结合，，成等比数列计算出和的值，由是各项均为正数的等差数列，所以，，第二问中正负交错的数列求和，需要用奇偶并项求和，注意分为奇数和偶数讨论.