2021-2022学年度北师大版九年级数学上册第一次月考模拟卷（第1，2章）（含解析）

这是一份2021-2022学年度北师大版九年级数学上册第一次月考模拟卷（第1，2章）（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年度北师大版九年级数学上册第一次月考模拟卷
一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·保定市清苑区北王力中学九年级期末）若方程的两根为和，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．是19的算术平方根 B．是19的平方根
C．是19的算术平方根 D．是19的平方根
2．（2021·山东八年级期末）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．下列四边形的中点四边形是菱形的是（ ）
A．任意四边形 B．等腰梯形
C．平行四边形 D．对角线互相垂直的四边形
3．（2019·河北石家庄市·九年级期中）若方程中，满足和，则方程的根是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·安徽六安市·八年级期末）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（　　）

A． B． C． D．5
5．（2021·重庆八年级期末）数学课上，老师提出如下问题：

如图1，已知线段．
求作：菱形，使得菱形边长为，且．
以下是小明同学的作法，如图2：
（1）作线段；
（2）分别以点、为圆心，线段的长为半径作弧，两弧交于点；
（3）再分别以点、为圆心，线段的长为半径作弧，两弧交于点；
（4）连接、、．
那么四边形就是所求作的菱形．
老师说，小明的作图正确．接着，老师问同学们，小明作图的依据是什么呢?有四位同学分别说了一个依据，下面的、、、四个答案分别代表了四个同学所说的依据，其中小明没有应用到的依据是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形 B．等边三角形的内角都是60°
C．菱形的对边平行且相等 D．三边相等的三角形是等边三角形
6．（2021·湖南九年级期末）将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则x的值为（ ）
A．±2 B． C．±4 D．2
7．（2021·湖北八年级期末）如图，在矩形中，是的中点，将折叠后得到，点在矩形内部，延长交 于点，若，，则折痕的长为（ ）

A． B． C． D．
8．（2021·河北九年级期末）如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（ ）

A． B． C． D．
9．（2021·四川八年级期末）如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点A，B分别在x轴、y轴上滑动，矩形的形状保持不变，若AB＝2，BC＝1，则顶点C到坐标原点O的最大距离为（　　）

A．1+ B．1+ C．3 D．
10．（2021·湖北八年级期末）如图1，将正方形置于平面直角坐标系中，其中边在x轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线沿x轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中a的值为（ ）

A．7 B．9 C．12 D．13
11．（2021·浙江八年级期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·广东八年级期末）如图，分别以直角的斜边、直角边为边向外作等边和等边，为的中点，与交于点，与交于点，，，给出如下结论：①；②四边形ADFE为菱形；③；④．其中正确结论的是（ ）．

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分。
13．（2021·河南安阳市·九年级二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=6，点E，F分别为AO，DO的中点，则线段EF的长为 ______．

14．（2020·湖南九年级期中）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则2020﹣6m2+9m的值为_____．
15．（2021·浙江九年级一模）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价以及常数确定实际销售价格为，这里的k被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数k恰好使得，据此可得，最佳乐观系数k的值等于____．
16．（2021·山东临沂市·八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为2，E为对角线AC上一点，且CE＝CB，点P为线段BE上一动点，且PF⊥CE于F，PG⊥BC于G，则PG+PF的值为 ___．

【答案】
17．（2021·北京八年级期末）为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯．现从甲、乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温时效（单位：h）如表：
甲组
11
12
13
14
15
乙组
x
6
7
5
8
如果甲、乙两款保温杯保温时效的方差是相等的，那么x＝___．
18．（2021·辽宁抚顺市·八年级期末）如图所示，分别以的直角边，斜边为边向外构造等边和等边，为的中点，连接，，，，．有下列五个结论：①；②；③四边形是菱形；④；⑤四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．

三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）
19．（2021·辽宁九年级期末）按要求解方程：
（1）x2﹣x﹣2＝0（公式法）；
（2）2x2+2x﹣1＝0（配方法）．
20．（2021·湖北黄冈市·八年级期末）已知在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，点E在边AC上，AB＝AE，过点E作EF//BC，交AD于点F，连接BF．
（1）如图1，求证：四边形BDEF是菱形；
（2）如图2，当AB＝BC时，请直接写出图中度数等于∠BAD的2倍的所有的角．

21．（2020·福建厦门双十中学九年级期中）已知关于的一元二次方程．其中、是常数．
（1）若，试判断该一元二次方程根的情况；
（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，且在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点在直线上，求的值．
22．（2021·湖北襄阳市·八年级期末）已知矩形中，点为上一点．连接、，的平分线与交于点，垂直平分，连接．
（1）如图1，
①求证：；
②若，，求的面积；
（2）如图2，若，是的中点，连接，判断四边形的形状，并证明．

23．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学八年级期末）新型冠状病毒爆发时期，医疗防护物资严重匮乏，民众急需护目镜和N95口罩．重庆某药店3月初购进了一批护目镜和N95口罩，购进的N95口罩数量是护目镜数量的3倍．已知每个护目镜的售价比每个N95口罩的售价多40元，3月底护目镜和N95口罩全部销售完，据统计，护目镜的销售额为10000元，N95口罩的销售额为6000元．
（1）该药店3月初购进了多少个护目镜？
（2）4月份疫情得以缓和，该药店又购进以上两种医疗物资．该药店根据上月民众的需求和销售情况适当调整了进货计划，购进的护目镜购进的数量与3月份相同，但在运输过程中损耗了2%，导致受损的护目镜无法销售，而N95口罩数量比3月份增加了．由于政府对医疗物资价格的调整，护目镜的售价比3月份降低了a%，N95口罩的售价比3月份降低了，4月底售完这两种医疗物资后该药店的销售额达到了15800元，求a的值．
24．（2021·江西吉安市·八年级期末）在中，的平分线交于点．交的延长线于点，连接
（1）如图1，若，是的中点，连接、．
①求证：．
②请判断的形状，并说明理由；
（2）如图2，若，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，请判断的形状，并说明理由．
（3）如图3，，作的角平分线交于点，已知，，求的长．













第一次月考卷（第一-二章）
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·保定市清苑区北王力中学九年级期末）若方程的两根为和，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．是19的算术平方根 B．是19的平方根
C．是19的算术平方根 D．是19的平方根
【答案】C
【分析】
根据平方根和算术平方根的意义解答．
【详解】
解：∵，，为方程的两根，且a>b，
∴
∴a−5 是19的算术平方根，C正确，
故选C．
2．（2021·山东八年级期末）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．下列四边形的中点四边形是菱形的是（ ）
A．任意四边形 B．等腰梯形
C．平行四边形 D．对角线互相垂直的四边形
【答案】B
【详解】
连接任意四边形的一条对角线，则由三角形中位线定理可得：
中点四边形的一组对边平行此对角线，且等于此对角线长度的一半，
根据平行四边形的判定知，此中点四边形是平行四边形．
因此，任意四边形的中点四边形是平行四边形，不是菱形，故A错误；
由于等腰梯形的对角线相等，所以中点四边形的邻边相等，故中点四边形是菱形，故B正确；
由于平行四边形的对角线不相等，故中点四边形不是菱形，故C错误；
当四边形的对角线互相垂直时，则中点四边形的邻边相互垂直，从而中点四边形是矩形，故D错误．
故选：B．
3．（2019·河北石家庄市·九年级期中）若方程中，满足和，则方程的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
∵根据题意可得：，
①－②＝，得，
①＋②＝，
∴解得：，．
将、、代入原方程可得，
∵，


∴
故选：D．
4．（2021·安徽六安市·八年级期末）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（　　）

A． B． C． D．5
【答案】A
【详解】
解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD，
∴BO＝＝＝2，
∴BD＝4，
∴四边形ABCD的面积＝＝4．
故选A．

5．（2021·重庆八年级期末）数学课上，老师提出如下问题：

如图1，已知线段．
求作：菱形，使得菱形边长为，且．
以下是小明同学的作法，如图2：
（1）作线段；
（2）分别以点、为圆心，线段的长为半径作弧，两弧交于点；
（3）再分别以点、为圆心，线段的长为半径作弧，两弧交于点；
（4）连接、、．
那么四边形就是所求作的菱形．
老师说，小明的作图正确．接着，老师问同学们，小明作图的依据是什么呢?有四位同学分别说了一个依据，下面的、、、四个答案分别代表了四个同学所说的依据，其中小明没有应用到的依据是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形 B．等边三角形的内角都是60°
C．菱形的对边平行且相等 D．三边相等的三角形是等边三角形
【答案】C
【详解】
解：由作法得，
∴△ABD为等边三角形，，
∴∠A=60°，四边形ABCD为菱形．
故小明应用到的依据是：三边都相等的三角形是等边三角形；等边三角形的每个内角都是60°；四边都相等的四边形是菱形．
∴小明没有应用到的依据是：菱形的对边平行且相等．
故选：C．
6．（2021·湖南九年级期末）将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则x的值为（ ）
A．±2 B． C．±4 D．2
【答案】A
【详解】解：由题意可得：，
则（x+1）2-2（x-1）=7，
解得：x=±2．
故选：A．
7．（2021·湖北八年级期末）如图，在矩形中，是的中点，将折叠后得到，点在矩形内部，延长交 于点，若，，则折痕的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：连接EH，

∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∵将△ABE折叠后得到△AFE，
∴∠AFE＝∠B＝90°，BE＝EF，
∴EF＝EC，
∵矩形ABCD，
∴∠C＝90°，
∴Rt△EFH≌Rt△ECH（HL），
∴CH＝FH，
∵AD＝4，CH＝，
设AB＝x，则有AH＝x+，DH＝x﹣，
在Rt△ADH中，＝42+，
∴x＝3，
在Rt△ABE中，BE＝2，AB＝3，
∴AE＝，
故选：A．
8．（2021·河北九年级期末）如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
依题意，得，
化简，得，
解得．
当时，，不符合题意，舍去．
故纸盒的高为，
故选：C．
9．（2021·四川八年级期末）如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点A，B分别在x轴、y轴上滑动，矩形的形状保持不变，若AB＝2，BC＝1，则顶点C到坐标原点O的最大距离为（　　）

A．1+ B．1+ C．3 D．
【答案】A
【详解】
解：取AB的中点E，连接OE、CE，
∵∠AOB=90°，AB=2，
∴OE=BE= AB=1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，又BC=1，
∴CE= ，
根据两点之间线段最短得：OC≤OE+CE=1+ ，当O、E、C共线时取等号，
∴顶点C到坐标原点O的最大距离为1+，
故选：A．

10．（2021·湖北八年级期末）如图1，将正方形置于平面直角坐标系中，其中边在x轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线沿x轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中a的值为（ ）

A．7 B．9 C．12 D．13
【答案】D
【详解】解：设直线L与x轴交于点M，

令y=x-3=0，则x=3，即点M（3，0），
由图2，直线AC=，则正方形ABCD的边长为6，
从图2看，MA=1，则点A（2，0），故点D的坐标为（-4，0），
当直线l过点C时，设直线l′交x轴与点N，对应的时间为a，
由直线L和x轴坐标轴的夹角为45°，则当直线L在L′的位置时，ND=CD=6，
点N（-10，0），
则a=10+3=13，
故选：D．
11．（2021·浙江八年级期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△=1-m＞0，
∴m＜1，
∵b是方程的一个实数根，
∴，
∴4b2-4b+m=0，
∴y=4b2-4b-3m+3=3-4m，
∴m=，
∴＜1，
∴y＞-1，
故选：A．
12．（2021·广东八年级期末）如图，分别以直角的斜边、直角边为边向外作等边和等边，为的中点，与交于点，与交于点，，，给出如下结论：①；②四边形ADFE为菱形；③；④．其中正确结论的是（ ）．

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【详解】解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC=60°，AE=AC，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB=2AF，
∴BC=AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴FE=AB，
∴∠AEF=∠BAC=30°，
∴∠AHE =90°，
∴EF⊥AC，故①正确，
∵EF⊥AC，
∴AH=CH，
∵F是AB的中点，
∴FH是△ABC的中位线，
∴HF=BC，
∵BC=AB，AB=BD，
∴FH=BD，
即4FH=BD，故④说法正确；
∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE=DF，
∵FE=AB，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∵在Rt△AEF中，AE≠EF，
∴四边形ADFE不是菱形；故②说法不正确；
∴AG=AF，
∴AG=AB，
∵AD=AB，
则AD=4AG，故③说法正确，
故选：C．
二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分。
13．（2021·河南安阳市·九年级二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=6，点E，F分别为AO，DO的中点，则线段EF的长为 ______．

【答案】2.5
【详解】
解：∵四边形ABCD为菱形，

在中，依据勾股定理可知：
∵点E，F分别为AO，DO的中点，
∴EF是△AOD的中位线，

故答案为：2.5
14．（2020·湖南九年级期中）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则2020﹣6m2+9m的值为_____．
【答案】2017
【详解】
解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴2m2﹣3m﹣1＝0，
即2m2﹣3m＝1，
∴2020﹣6m2+9m＝2020﹣3（2m2﹣3m）＝2020﹣3×1＝2017．
故答案为2017．
15．（2021·浙江九年级一模）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价以及常数确定实际销售价格为，这里的k被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数k恰好使得，据此可得，最佳乐观系数k的值等于____．
【答案】
【详解】
解：由，得：
即：
∴
∵
∴
∴
解得：，
∵
∴不合题意
∴
故答案为：
16．（2021·山东临沂市·八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为2，E为对角线AC上一点，且CE＝CB，点P为线段BE上一动点，且PF⊥CE于F，PG⊥BC于G，则PG+PF的值为 ___．

【答案】
【详解】
解：如图：连接CP、BD交AC于M
∵四边形ABCD为正方形的边长为2
∴BD⊥AC垂足为M，BM=MC，BD=
∴BD⊥AC，垂足为M，BM=MC
∵
∴
∵BC=CE
∴BM=PF+PG
∴PF+PG=．
故填．

17．（2021·北京八年级期末）为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯．现从甲、乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温时效（单位：h）如表：
甲组
11
12
13
14
15
乙组
x
6
7
5
8
如果甲、乙两款保温杯保温时效的方差是相等的，那么x＝___．
【答案】4或9
【详解】
解：甲的平均数为：，
乙的平均数为：，
甲的方差为：，
乙的方差为：，
整理得：，
解得或；
故答案为：4或9．
18．（2021·辽宁抚顺市·八年级期末）如图所示，分别以的直角边，斜边为边向外构造等边和等边，为的中点，连接，，，，．有下列五个结论：①；②；③四边形是菱形；④；⑤四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．

【答案】①③⑤
【详解】
解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，AC=AB，
∵F为AB中点，
∴CF=AF=BF=AB，
∴AC=CF=AF，
∵为等边三角形，
∴AC=AD=CD，
∴AF=FC=CD=AD，
∴四边形ADCF是菱形，
∴AC⊥DF，
故①③正确；
∵四边形ADCF是菱形，
∴AF∥CD，AF=CD，
∵AF=BF，
∴BF=CD，
∴四边形BFDC是平行四边形，
故结论⑤正确；
∵四边形BFDC是平行四边形，
∴BC=DF，
∴DA+DF=AC+BC，
∵AC+BC＞AB，
∴DA+DF＞AB，
∵为等边三角形，
∴AB=BE，
∴DA+DF＞BE，
故结论②错误；
∵四边形ADCF是菱形，
∴，
∵F为AB中点，
∴，


∴△ACD、△ABE都为等边三角形，F为AB中点，



∴，
故结论④错误．
故答案为：①③⑤
三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）
19．（2021·辽宁九年级期末）按要求解方程：
（1）x2﹣x﹣2＝0（公式法）；
（2）2x2+2x﹣1＝0（配方法）．
【答案】（1）x1＝2，x2＝﹣1；（2）x1＝ ，x2＝
【详解】
（1）解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，
∴ b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，
∴ x＝ ＝ ＝ ，
∴ x1＝2，x2＝﹣1
（2）解：2x2+2x＝1，
x2+x＝ ，
x2+x+＝+ ，即（x+）2＝ ，
∴ x+ ＝± ，
∴ x1＝ ，x2＝
20．（2021·湖北黄冈市·八年级期末）已知在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，点E在边AC上，AB＝AE，过点E作EF//BC，交AD于点F，连接BF．
（1）如图1，求证：四边形BDEF是菱形；
（2）如图2，当AB＝BC时，请直接写出图中度数等于∠BAD的2倍的所有的角．

【答案】（1）见解析；（2）∠BAC，∠BCA，∠ABF，∠AEF
【详解】
解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
∵AB=AE，AD=AD，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴DB=DE，∠BDA=∠EDA．
∵EF∥BC，
∴∠EFD=∠BDA，
∴∠EFD=∠EDF，
∴EF=ED，
∴EF=BD，
∵EF∥BD，
∴四边形BDEF为菱形．
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=2∠BAD，
∵EF∥BC，
∴∠FEC=∠BCA=2∠BAD，
∵AB=AE，AD=AD，∠BAD=∠EAD，
∴△ABF≌△AEF（SAS），
∵∠ABF=∠AEF，
∴∠ABF=2∠BAD．
所以图中度数等于∠BAD的2倍的所有的角：∠BAC，∠BCA，∠ABF，∠AEF．
21．（2020·福建厦门双十中学九年级期中）已知关于的一元二次方程．其中、是常数．
（1）若，试判断该一元二次方程根的情况；
（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，且在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点在直线上，求的值．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）
【详解】解：（1）∵m=n+3，且，，，
∴
=m2-4×2n
=(n+3)2-8n
=n2-2n+9
=(n-1)2+8，
而(n-1)2≥0，
∴(n-1)2+8＞0，即△＞0，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）根据题意得△=m2-4×2n=0，
∵点（m，n）关于原点的对称点为（-m，-n），且在直线上，
∴-n=-m+2，即n=m-2，
把n=m-2代入m2-8n=0得m2-8(m-2)=0，
整理得m2-8m+16=0，即，
解得m1=m2=4，
即m的值为4．
22．（2021·湖北襄阳市·八年级期末）已知矩形中，点为上一点．连接、，的平分线与交于点，垂直平分，连接．
（1）如图1，
①求证：；
②若，，求的面积；
（2）如图2，若，是的中点，连接，判断四边形的形状，并证明．

【答案】（1）①见详解；②；（2）四边形是平行四边形，理由见详解．
【详解】
（1）①证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵CH平分∠BCE，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
②解：由①可得：
∵，，，
∴，
设，则有，
∴在Rt△ABH中，由勾股定理可得，
解得：，
∴；
（2）四边形是平行四边形，理由如下：
由①可得：，，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∵是的中点，垂直平分，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
23．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学八年级期末）新型冠状病毒爆发时期，医疗防护物资严重匮乏，民众急需护目镜和N95口罩．重庆某药店3月初购进了一批护目镜和N95口罩，购进的N95口罩数量是护目镜数量的3倍．已知每个护目镜的售价比每个N95口罩的售价多40元，3月底护目镜和N95口罩全部销售完，据统计，护目镜的销售额为10000元，N95口罩的销售额为6000元．
（1）该药店3月初购进了多少个护目镜？
（2）4月份疫情得以缓和，该药店又购进以上两种医疗物资．该药店根据上月民众的需求和销售情况适当调整了进货计划，购进的护目镜购进的数量与3月份相同，但在运输过程中损耗了2%，导致受损的护目镜无法销售，而N95口罩数量比3月份增加了．由于政府对医疗物资价格的调整，护目镜的售价比3月份降低了a%，N95口罩的售价比3月份降低了，4月底售完这两种医疗物资后该药店的销售额达到了15800元，求a的值．
【答案】（1）200个；（2）12．
【详解】
（1）设该药店3月初购进了x个护目镜
由题意，得：
解得：x=200
经检验x=200是原方程的解，且符合题意
故该药店3月初购进了200个护目镜．
（2）由（1）知，该药店3月初购进了200个护目镜，600个N95口罩，护目镜每个的售价为10000÷200=50（元），N95口罩每个的售价为50-40=10（元），
由题意，得：
化简，得：
解得：a=12或a=0（舍去）
∴a=12．
24．（2021·江西吉安市·八年级期末）在中，的平分线交于点．交的延长线于点，连接
（1）如图1，若，是的中点，连接、．
①求证：．
②请判断的形状，并说明理由；
（2）如图2，若，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，请判断的形状，并说明理由．
（3）如图3，，作的角平分线交于点，已知，，求的长．
【答案】（1）①见解析；②等腰直角三角形，理由见解析（2）等边三角形（3）
【详解】
解：（1）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠F＝∠FDC，∠BEF＝∠ADF，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF＝∠FDC，
∴∠F＝∠BEF，
∴BF＝BE；
②△AGC是等腰直角三角形．
理由如下：连接BG，

由①知，BF＝BE，∠FBC＝90°，
∴∠F＝∠BEF＝45°，
∵G是EF的中点，
∴BG＝FG，∠F＝∠CBG＝45°，
∵∠FAD＝90°，
∴AF＝AD，
又∵AD＝BC，
∴AF＝BC，
在△AFG和△CBG中，
，
∴△AFG≌△CBG(SAS)，
∴AG＝CG，
∴∠FAG＝∠BCG，
又∵∠FAG＋∠GAC＋∠ACB＝90°，
∴∠BCG＋∠GAC＋∠ACB＝90°，
即∠GAC＋∠ACG＝90°，
∴∠AGC＝90°，
∴△AGC是等腰直角三角形；
（2）连接BG，

∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG，
∴△BFG是等边三角形，
∴FG＝BG，∠FBG＝60°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°
∴∠CBG＝180°−∠FBG−∠ABC＝180°−60°−60°＝60°，
∴∠AFG＝∠CBG，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF＝∠FDC，
∵AB∥DC，
∴∠AFD＝∠FDC，
∴∠AFD＝∠ADF，
∴AF＝AD，
在△AFG和△CBG中，
，
∴△AFG≌△CBG(SAS)，
∴AG＝CG，∠FAG＝∠BCG，
在△ABC中，∠GAC＋∠ACG＝∠ACB＋∠BCG＋∠GAC
＝∠ACB＋∠BAG＋∠GAC＝∠ACB＋∠BAC＝180°−60°＝120°，
∴∠AGC＝180°−（∠GAC＋∠ACG）＝180°−120°＝60°，
∴△AGC是等边三角形．
（3）如图，在BH上截取BN＝BE，连接NE，

∵AB＝9，BH＝2AH，
∴AH＝3，BH＝6，
∵∠BEF＝45°，
∴∠BED＝135°，
∵EH平分∠BED，
∴∠BEH＝67.5°，
∴∠BHE＝22.5°，
∵BE＝BN，∠ABC＝90°，
∴∠BEN＝∠BNE＝45°，NE＝BN，
∵∠BNE＝∠BHE＋∠HEN＝45°，
∴∠BHE＝∠NEH＝22.5°，
∴HN＝NE＝BN，
∵BH＝BN＋NH＝（＋1）BN＝6，
∴BN＝＝BE，
∴BF＝，
∴BC＝AD＝AF＝AB＋BF＝．