苏科版第一章 全等三角形综合与测试测试题

这是一份苏科版第一章 全等三角形综合与测试测试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

第一章《全等三角形》章末培优卷-2021-2022学年苏科版八年级数学上册
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1、如果两个图形全等，那么这两个图形必定是（　　）
A．形状大小均相同 B．形状相同，但大小不同
C．大小相同，但形状不同 D．形状大小均不相同
2、如下图，已知，，下列条件中不能判定≌的是（ ）

A． B． C． D．
3、一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）.

A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、2或2、3去就可以了
C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、4或2、4或3、4去均可
4、如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（　　）
A．B．C．D．
5、如图，△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，D，E在同一条直线上，若∠CAE+∠ACE+∠ADE=130°，则∠ADE的度数为（ ）

A．50° B．65° C．70° D．75°
6、如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（　　）

A．7 B．5 C．3 D．2
7、如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（　　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
8、如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于点O，现有四个条件：①AB＝AC；②OB＝OC；③∠ABE＝∠ACD；④BE＝CD，选择其中2个条件作为题设，余下2个条件作为结论，所有命题中，真命题的个数为（　　）

A．.3 B．.4 C．.5 D．、6
9、如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
10、如图，已知AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分别为F、G，下列结论：①△EBM≌△DCM；
②∠EMB＝∠FAG；③MA平分∠EMD；④若点E是AB的中点，则BM+AC＞EM+BD；
⑤如果S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点；其中正确结论的个数为（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11、如图，在△ABC中，射线AD交BC于点D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，请补充一个条件，使△BED≌△CFD，你补充的条件是　 　（填出一个即可）．

12、如图，在△ABC中，BF⊥AC 于点F，AD⊥BC 于点D ，BF 与AD 相交于点E．若AD=BD，BC=8cm，DC=3cm．则 AE= ．

13、如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC＝70°，则∠CBC′＝　 　．

14、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=　　cm．

15、如图，四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=90°，AB=AD，BC=2，AC=6，四边形ABCD的面积为____．

16、如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝　 　．

17、小聪用刻度尺画已知角的平分线，如图，在∠MAN两边上分别量取AB=AC，AE=AF，连接FC，EB交于点D，作射线AD，则图中全等的三角形共有 对．

18、如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共66分．
19、已知：如图，AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，AD⊥AB于A，BC＝AE．若AB＝5，求AD的长．


20、如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2．
求证：△ABE≌△CBD；


21、如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，∠1＝∠2，AE＝CF，AD＝CB．请你判断BE和DF的关系．并证明你的结论.


22、已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AC=DF，BF=EC．
求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）FG=CG．


23、如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，
求证：CB＝CD．


24、如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD、AG．
（1）求证：AD＝AG；
（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．



25、在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝　 　．
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．









26、如图（1），AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．









第一章《全等三角形》章末培优卷-2021-2022学年苏科版八年级数学上册
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．
(解析)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1、如果两个图形全等，那么这两个图形必定是（　　）
A．形状大小均相同 B．形状相同，但大小不同
C．大小相同，但形状不同 D．形状大小均不相同
【分析】根据全等图形的定义作答．
【解析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，所以如果两个图形全等，那么这两个图形必定是形状大小均相同．
故选：A．

2、如下图，已知，，下列条件中不能判定≌的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平行线的性质得到两对角对应相等，若添加一对边对应相等，可得到两个三角形全等，若添加一对角相等，则不能得出三角形全等．
【详解】∵AB∥DE，∴∠B=∠DEC．
∵AC∥DF，∴∠ACB=∠F．
（1）∵BE=CF，∴BC=EF．在△ABC和△DEF中，∵∠B=∠DEC，BC=EF，∠ACB=∠F，∴△ABC≌△DEF，故A选项错误；
（2）AC=DF，则△ABC和△DEF中，∠ACB=∠F，∠B=∠DEC，AC=DF，∴△ABC≌△DEF，故B选项错误；
（3）∠A=∠D，没有边相等，无法证明△ABC≌△DEF；故C选项正确；
（4）AB=DE，则△ABC和△DEF中，∵∠B=∠DEC，∠ACB=∠F，AB=DE，∴△ABC≌△DEF，故D选项错误．
故选C．
3、一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）.

A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、2或2、3去就可以了
C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、4或2、4或3、4去均可
【答案】D
分析：②④虽没有原三角形完整的边，又没有角，但延长可得出原三角形的形状；带①、④可以用“角边角”确定三角形；带③、④也可以用“角边角”确定三角形．
【解析】带③、④可以用“角边角”确定三角形，带①、④可以用“角边角”确定三角形，
带②④可以延长还原出原三角形，
故选D．


4、如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（　　）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据全等三角形的对应边相等，对应角相等去判断即可．
【详解】
根据题意，得：50°角的对边是b，而不是a，∴选项A不符合题意；
根据题意，得夹50°角的两边是a，c，而不是a，b，∴选项B不符合题意；
根据题意，得50°角和72°的共边是c，而不是a，∴选项C不符合题意；
根据题意，得夹58°角的边是a，b,∴选项D符合题意；
故选D.
5、如图，△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，D，E在同一条直线上，若∠CAE+∠ACE+∠ADE=130°，则∠ADE的度数为（ ）

A．50° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【分析】根据手拉手模型证明，可得，再利用三角形外角的性质得，再结合已知条件即可解答．
【详解】
在和中
（ SAS）


故选：B．


6、如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（　　）

A．7 B．5 C．3 D．2
【分析】根据垂直的定义得到∠AEC＝∠D＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，
∴∠AEC＝∠D＝90°，
在Rt△AEC与Rt△CDB中，
∴Rt△AEC≌Rt△CDB（HL），
∴CE＝BD＝2，CD＝AE＝7，
∴DE＝CD﹣CE＝7﹣2＝5，
故选：B．
7、如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（　　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】如图，在上截取 连接证明利用全等三角形的性质证明 求解 再证明 从而可得答案．
【详解】解：如图，在上截取 连接
平分




故选：



8、如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于点O，现有四个条件：①AB＝AC；②OB＝OC；③∠ABE＝∠ACD；④BE＝CD，选择其中2个条件作为题设，余下2个条件作为结论，所有命题中，真命题的个数为（　　）

A．.3 B．.4 C．.5 D．、6
【分析】本题实际是考查全等三角形的判定，根据条件可看出主要是围绕三角形ABE和ACD全等来求解的．已经有了一个公共角∠A，只要再知道一组对应角和一组对应边相等即可得出三角形全等的结论．
【解答】解：第一种：命题的条件是①和③，命题的结论是②和④．
∵AB＝AC，∠ABE＝∠ACD，∠BAC＝∠CAB，∴△ABE≌△ACD．∴BE＝CD．
又∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝∠ABC﹣∠ABE＝∠CBE，∴△BOC是等腰三角形．
∴OB＝OC；
同理可得：第二种：命题的条件是②和③，命题的结论是①和④．
第三种：命题的条件是①和②，命题的结论是③和④．
第四种：命题的条件是③和④，命题的结论是②和①．
第五种：命题的条件是②和④，命题的结论是①和③．
故选：C．

9、如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，得出∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，，∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，∴MO平分∠BMC，④正确；
正确的个数有3个； 故选：B．

10、如图，已知AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分别为F、G，下列结论：①△EBM≌△DCM；
②∠EMB＝∠FAG；③MA平分∠EMD；④若点E是AB的中点，则BM+AC＞EM+BD；
⑤如果S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点；其中正确结论的个数为（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①先证明△ABD≌△ACE得出∠B＝∠C，即可证明△EBM≌△DCM，即可判断①；
②根据垂直的定义和四边形的内角和可得结论，即可判断②；
③证明△AEM≌△ADM，得∠AME＝∠AMD，即可判断③；
④如图，延长CE至N，使EN＝EM，连接AN，BN，证明△AEN≌△BEM（SAS），得AN＝BM，根据三角形三边关系可判断④；
⑤根据面积相等可知：S△ADM＝S△CDM，由同高可知底边AD＝CD，从而判断⑤．
【解答】解：①在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠C，
∵AB＝AC，AE＝AD，∴AB﹣AE＝AC﹣AD，即BE＝CD，
在△EBM和△DCM中，

∴△EBM≌△DCM（AAS），故①正确；
②∵AF⊥CE，AG⊥BD，∴∠AFM＝∠AGM＝90°，∴∠FAG+∠FMG＝180°，
∵∠FMG+∠EMB＝180°，∴∠EMB＝∠FAG，故②正确；
③由①知：△EBM≌△DCM，∴EM＝DM，
在△AEM和△ADM中，

∴△AEM≌△ADM（SSS），∴∠AME＝∠AMD，∴MA平分∠EMD；故③正确；
④如图，延长CE至N，使EN＝EM，连接AN，BN，
∵E是AB的中点，∴AE＝BE，
在△AEN和△BEM中，

∴△AEN≌△BEM（SAS），∴AN＝BM，
由①知：△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，△ACN中，AC+AN＞CN，
∴BM+AC＞BD+EM，故④正确；
⑤∵S△BEM＝S△ADM，S△EBM＝S△DCM，∴S△ADM＝S△CDM，∴AD＝CD=AC，
∵AD＝AE，AB＝AC，∴AE=AB，∴E是AB的中点；故⑤正确；
本题正确的有5个； 故选：D．


二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11、如图，在△ABC中，射线AD交BC于点D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，请补充一个条件，使△BED≌△CFD，你补充的条件是　 　（填出一个即可）．

【分析】根据全等三角形的判定定理AAS判定△BED≌△CFD．
【解答】解：可以添加条件：BD＝DC．
理由：∵BD＝CD；
又∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠E＝∠CFD＝90°；
∴在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）．
故答案是：答案不唯一，如BD＝DC．


12、如图，在△ABC中，BF⊥AC 于点F，AD⊥BC 于点D ，BF 与AD 相交于点E．若AD=BD，BC=8cm，DC=3cm．则 AE= ．

【解析】先用BC－DC求出BD=5cm，再证明△ADC≌△BDE（ASA），得到AD=BD=5cm，DE=DC=2cm，最后用AD－DE求出AE=2cm.
解：∵BC=8cm，DC=3cm
∴BD=BC－DC=8－3=5cm
又∵AD⊥BC
∴∠ADC=∠BDE=90°
∴∠DAC+∠C=90°------①
又∵BF⊥AC
∴∠BFC=90°
∴∠DBE+∠C=90°------②
由①②得∠DAC=∠DBE
在△ADC与△BDE中，
∴△ADC≌△BDE（ASA）
∴AD=BD=5cm，DE=DC=3cm
∴AE=AD－DE=5－3=2cm

13、如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC＝70°，则∠CBC′＝　 　．

【分析】根据平行线的性质得到∠A′AB＝∠ABC＝70°，根据全等三角形的性质得到BA＝BA′，∠A′BC＝∠ABC＝70°，计算即可．
【解答】解：∵AA′∥BC，
∴∠A′AB＝∠ABC＝70°，
∵△ABC≌△A′BC′，
∴BA＝BA′，∠A′BC＝∠ABC＝70°，
∴∠A′AB＝∠AA′B＝70°，
∴∠A′BA＝40°，
∴∠ABC′＝30°，
∴∠CBC′＝40°，
故答案为：40°．

14、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=　　cm．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余的性质求出∠ECF=∠B，然后利用“角边角”证明△ABC和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=EF，再根据AE=AC﹣CE，代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠ECF+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠ECF=∠B（等角的余角相等），
在△FCE和△ABC中，，
∴△ABC≌△FEC（ASA），
∴AC=EF，
∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，
∴AE=5﹣2=3cm．
故答案为：3．

15、如图，四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=90°，AB=AD，BC=2，AC=6，四边形ABCD的面积为____．

【答案】24
【解析】作EA⊥AC，DE⊥AE，
∵∠BAC+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，
∴∠BAC=∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴AE=AC，
∴四边形ABCD的面积=四边形ACDE的面积，
∵四边形ACDE的面积=（AC+DE）AE=×8×6=24，
∴四边形ABCD的面积=24，


16、如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝　 　．

解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，

∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．

17、小聪用刻度尺画已知角的平分线，如图，在∠MAN两边上分别量取AB=AC，AE=AF，连接FC，EB交于点D，作射线AD，则图中全等的三角形共有 对．

【解析】先由SAS证得△ABE≌△ACF，从而得∠ABE=∠ACF，再由AAS证得△BDF≌△CDE得BD=CD，DF=DE，最后由SSS证得△ABD≌△ACD，△AFD≌△AED．
解：在△ABE与△ACF中，∴△ABE≌△ACF（SAS）
在△BDF与△CDE中，∴△BDF≌△CDE（AAS）
在△ABD与△ACD中，； ∴△ABD≌△ACD（SSS）
在△AFD与△AED中,∴△AFD≌△AED（SSS）
故图中全等的三角形共有4对.

18、如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是 ．

【解析】由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF=∠ABG，而AE=AB，∠EFA=∠AGB，由此可以证明△EFA≌△ABG，所以AF=BG=3，AG=EF=6；
同理证得△BGC≌△DHC，所以GC=DH=4，CH=BG=3．
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，再利用面积的割补法即可求出图形的面积．
解：∵EF⊥FH，BG⊥FH,∴∠EFA=∠BGA=90°,∴∠ABG+∠BAG=90°------①
又∵AE⊥AB,∴∠EAB=90°,∴∠EAF+∠BAG=90°------②
由①②得∠EAF=∠ABG
在△EFA和△ABG中，,∴△EFA≌△ABG（AAS）,∴AF=BG=3，AG=EF=6．
同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH=4，CH=BG=3．
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16
∴==50

三、解答题（本大题共6小题，共66分．
19、已知：如图，AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，AD⊥AB于A，BC＝AE．若AB＝5，求AD的长．

【答案】5
【解析】
【分析】由ASA证明△ABC≌△DAE，则AD=AB=5．
【详解】
证明：∵AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，∴∠C=∠AED=90°，∠CAB+∠B=90°．
∵AD⊥AB于A，∴∠CAB+∠EAD=90°，
∴∠B=∠EAD（同角的余角相等）
∵∠C=∠AED=90°，BC=AE，∠B=∠EAD，∴△ABC≌△DAE（ASA），∴AD=AB=5．

20、如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2．
求证：△ABE≌△CBD；

【答案】见解析
【分析】
由已知角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证.
【详解】
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CBE=∠2+∠CBE，即∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD(SAS)；

21、如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，∠1＝∠2，AE＝CF，AD＝CB．请你判断BE和DF的关系．并证明你的结论.

【解析】根据已知条件和全等三角形的判定方法SAS，得到△ADF≌△CBE，得到对应角相等，根据内错角相等两直线平行，得到BE∥DF．
解：BE∥DF，BE=DF，理由如下
∵ AE=CF
∴AE+EF=CF+EF
即AF=CE
在△ADF与△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（SAS）
∴∠AFD=∠BEC，BE=DF
∴BE∥DF（内错角相等，两直线平行）

22、已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AC=DF，BF=EC．
求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）FG=CG．

（1）首先利用等式的性质可得BC=EF，再有条件AC=DF可利用HL定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ACB=∠DFE，根据等腰三角形的性质即可得到结论
证明：（1）∵AB⊥BE，DE⊥BE,∴∠B=∠E=90°
又∵BF=CE,∴BF+FC=CE+FC即BC=EF
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
（2）∵Rt△ABC≌Rt△DEF
∴∠ACB=∠DFE
∴FG=CG

23、如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，
求证：CB＝CD．

【分析】连接AC，先利用SSS证明△ACE≌△ACF，可得∠EAC＝∠FAC，再利用AAS证明△ACB≌△ACD即可得结论．
【解答】证明：如图，连接AC，

在△ACE和△ACF中，

∴△ACE≌△ACF（SSS），∴∠EAC＝∠FAC，
在△ACB和△ACD中，

∴△ACB≌△ACD（AAS），∴CB＝CD．

24、如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD、AG．
（1）求证：AD＝AG；
（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．

【分析】（1）由BE垂直于AC，CF垂直于AB，利用垂直的定义得∠HFB＝∠HEC，由得对顶角相等得∠BHF＝∠CHE，所以∠ABD＝∠ACG．再由AB＝CG，BD＝AC，利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACG全等，由全等三角形的对应边相等可得出AD＝AG，
（2）利用全等得出∠ADB＝∠GAC，再利用三角形的外角和定理得到∠ADB＝∠AED+∠DAE，又∠GAC＝∠GAD+∠DAE，利用等量代换可得出∠AED＝∠GAD＝90°，即AG与AD垂直．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠HFB＝∠HEC＝90°，又∵∠BHF＝∠CHE，∴∠ABD＝∠ACG，
在△ABD和△GCA中

∴△ABD≌△GCA（SAS），
∴AD＝GA（全等三角形的对应边相等）；

（2）位置关系是AD⊥GA，
理由：∵△ABD≌△GCA，
∴∠ADB＝∠GAC，
又∵∠ADB＝∠AED+∠DAE，∠GAC＝∠GAD+∠DAE，
∴∠AED＝∠GAD＝90°，
∴AD⊥GA．


25、在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝　 　．
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．

【分析】（1）证△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；
（2）①证△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出即可
②α+β＝180°或α＝β，根据三角形外角性质求出即可．
【解答】（1）解：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中∵，∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠BAC＝25°，∴∠DCE＝25°， 故答案为：25°；
（2）解：当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由是：
∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中∵，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE，
∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；

26、如图（1），AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．

【分析】（1）根据SAS证明△ACP和△BPQ全等，进而解答即可；
（2）根据全等三角形的性质得出方程解答即可．
【解答】解：（1）△ACP≌△BPO，PC⊥PO．
理由：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，
∵AP＝BQ＝2，∴BP＝7，∴BP＝AC，
在△ACP和△BPQ中，

∴△ACP≌△BPQ（SAS），∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C+∠APC＝90°，∴∠APC+∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，
可得：7＝9﹣2t，2t＝xt，解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，可得：7＝xt，2t＝9﹣2t
解得：=,t=．
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．