高中人教A版 (2019)第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数当堂达标检测题

这是一份高中人教A版 (2019)第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数当堂达标检测题，共14页。试卷主要包含了函数y＝，计算，下列是指数函数的是，化简，已知a＝21.2，b＝，已知函数f，函数f等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共29小题）
1．已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式恒成立的是（　　）
A．ac＞bc B．|a|＞|b| C．a2＞b2 D．（）a＜（）b
2．函数y＝（a﹣2）ax是指数函数，则（　　）
A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a＞0且a≠1
3．计算：＝（　　）
A． B． C． D．
4．下列是指数函数的是（　　）
A．y＝（﹣4）x B． C．y＝ax D．y＝πx
5．设y1＝40.9，y2＝40.48，y3＝0.40.48，则（　　）
A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2
6．化简（）的结果是（　　）
A． B． C．3 D．5
7．已知a＝21.2，b＝（）﹣0.8，c＝ln2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a
8．已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在（0，2）内的值域是（1，a2），则函数y＝f（x）的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
9．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝（）﹣1.5，则（　　）
A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2
10．函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）对于任意的实数x、y都有（　　）
A．f（xy）＝f（x）•f（y） B．f（x+y）＝f（x）•f（y）
C．f（xy）＝f（x）+f（y） D．f（x+y）＝f（x）+f（y）
11．方程的解是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
12．要使g（x）＝3x+1+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为（　　）
A．t≤﹣1 B．t＜﹣1 C．t≤﹣3 D．t≥﹣3
13．函数的图象的大致形状是（　　）
A．B． C．D．
14．下列运算正确的是　（　　）
A．（﹣a3）4＝（﹣a4）3 B．（﹣a3）4＝﹣a3+4
C．（﹣a3）4＝a3+4 D．（﹣a3）4＝a12
15．下列各式正确的是（　　）
A． B．a0＝1 C． D．
16．已知函数f（x）＝ax+1，（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是（　　）
A．（0，1） B．（﹣1，1） C．（1，0） D．（1，1）
17．函数f（x）＝2ax+2﹣1（a＞0且a≠1）图象恒过的定点是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，1）
18．若a＝，b＝，c＝5e﹣2，则（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
19．设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么（　　）
A．＝+ B．＝+ C．＝+ D．＝+
20．若函数的图象经过一、二、四象限，则f（a）的取值范围为（　　）
A．（0，1） B． C．（﹣1，1） D．
21．若函数y＝a|x|+m﹣1（0＜a＜1）的图象和x轴有交点，则实数m的取值范围是（　　）
A．[1，+∞） B．（0，1） C．（﹣∞，1） D．[0，1）
22．设它们的大小关系是（　　）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
23．函数y＝的单调增区是（　　）
A．[1，2] B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）
24．在同一坐标系中，函数y＝3x与y＝3﹣x的图象关于（　　）
A．直线x＝1对称 B．x轴对称 C．直线y＝x对称 D．y轴对称
25．化简（其中a＞0，b＞0）的结果是（　　）
A． B． C． D．
26．若函数f（x）＝ln（x2﹣2ax﹣3a）在区间（﹣∞，﹣1]内为减函数，则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣1，0） B．[﹣1，1] C．[﹣1，1） D．[﹣1，+∞）
27．已知﹣1＜a＜0，则三个数3a，a，a3由小到大的顺序是（　　）
A． B．
C． D．
28．，，，2﹣1中最大的数为（　　）
A． B． C． D．2﹣1
29．设a＝（），b＝（），c＝（），则（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
二．填空题（共9小题）
30．＝　 　（用分数指数幂表示）
31．方程4x﹣10•2x+16＝0的解集是　 　．
32．如果45x＝3，45y＝5，那么2x+y＝　 　．
33．若函数f（x）＝ax+1（a＞0，a≠1）过点A（2，10），则a＝　 　．
34．已知f（x）的图象与函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象关于直线y＝x对称，且点P（4，2）在函数y＝f（x）的图象上，则实数a＝　 　．
35．函数f（x）＝的图象关于点　 　成中心对称．
36．函数y＝3•ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点　 　．
37．已知函数y＝4ax﹣9﹣1（a＞0且a≠1）恒过定点A（m，n），则m+n＝　 　．
38．已知函数f（x）＝loga（﹣x+1）（a＞0且a≠1）在[﹣2，0]上的值域是[﹣1，0]．若函数g（x）＝ax+m﹣3的图象不经过第一象限，则m的取值范围为　 　．
三．解答题（共2小题）
39．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）＝1+a•（）x+（）x
（1）当a＝1，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．









40．已知函数f（x）＝ax，g（x）＝a2x+m，其中m＞0，a＞0且a≠1．当x∈[﹣1，1]时，y＝f（x）的最大值与最小值之和为．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若a＞1，记函数h（x）＝g（x）﹣2mf（x），求当x∈[0，1]时，h（x）的最小值H（m）．

参考答案与试题解析
一．选择题（共29小题）
1．【分析】直接根据指数函数单调性可得．
【解答】解：根据指数函数单调性可得：若a，b∈R，且a＞b，则（）a＜（）b，
故选：D．
【点评】本题考查不等式恒成立问题，着重考查函数与不等式的性质及应用，属于基础题．
2．【分析】根据指数函数的定义求出a的值即可．
【解答】解：若函数y＝（a﹣2）ax是指数函数，
则a﹣2＝1，解得：a＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数的定义，熟练掌握指数函数的解析式的特点是解题的关键，本题是一道常规题．
3．【分析】根据指数幂的运算性质即可求出．
【解答】解：原式＝[（﹣2）（+2）]2018•（+2）＝（﹣1）]2018•（+2）＝+2，
故选：A．
【点评】本题考查了指数幂的运算性质，考查了运算能力和转化能力，属于基础题
4．【分析】本题考查了指数函数的定义，考查对应思想，是一道基础题．
【解答】解：根据指数函数的解析式，A，B，C不满足，
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数的定义，考查转化思想，是一道常规题．
5．【分析】根据指数函数和幂函数的单调性即可判断．
【解答】解：根据指数函数的单调性可得40.9＞40.48，
根据幂函数的单调性可得40.48＞0.40.48，
故y1＞y2＞y3，
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数和幂函数的单调性，属于基础题．
6．【分析】根据指数幂的运算性质计算即可．
【解答】解：原式＝[（）3]＝，
故选：A．
【点评】本题考查了指数幂的运算，属于基础题．
7．【分析】根据指数函数以及对数函数的性质判断即可．
【解答】解：a＝21.2＞2＞b＝（）﹣0.8，＝20.8＞1＞c＝ln2，
故a＞b＞c，
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数以及对数函数的单调性问题，是一道基础题．
8．【分析】先判断底数a，由于指数函数是单调函数，则有a＞1，再由指数函数的图象特点，即可得到答案．
【解答】解：函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在（0，2）内的值域是（1，a2），
则由于指数函数是单调函数，则有a＞1，
由底数大于1指数函数的图象上升，且在x轴上面，可知B正确．
故选：B．
【点评】本题考查指数函数的图象和单调性，考查函数图象的画法，属于基础题．
9．【分析】先上面的三个数都化成同一个底，再由指数函数的单调性判断大小．
【解答】解：利用幂的运算性质可得，
y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝（）﹣1.5＝21.5，
再由y＝2x是增函数，知y1＞y3＞y2．
故选：D．
【点评】指数式比较大小时，应先将底化相同，再利用单调性比较大小，若不能化为相同，可考虑找中间变量，如0，1来比较．
10．【分析】由指数函数的运算性质得到f（x+y）＝ax+y＝ax•ay＝f（x）•f（y），逐一核对四个选项即可得到结论．
【解答】解：由函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），
得f（x+y）＝ax+y＝ax•ay＝f（x）•f（y）．
所以函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）对于任意的实数x、y都有f（x+y）＝f（x）•f（y）．
故选：B．
【点评】本题考查了有理指数幂的运算性质，考查了指数函数的运算性质，是基础题．
11．【分析】利用指数函数的单调性即可解出．
【解答】解：∵方程，∴3x﹣1＝3﹣2，∴x﹣1＝﹣2，∴x＝﹣1，因此方程的解是x＝﹣1．
故选：B．
【点评】熟练掌握指数函数的单调性是解题的关键．
12．【分析】函数g（x）＝3x+1+t是由指数函数y＝3x平移而来的，根据条件作出其图象，由图象来解．
【解答】解：指数函数y＝3x过定点（0，1），
函数g（x）＝3x+1+t过定点（0，3+t）且为增函数，要使g（x）＝3x+1+t的图象不经过第二象限，
只须函数g（x）＝3x+1+t与y轴的交点的纵坐标小于等于0即可，
如图所示，
即图象不过第二象限，则3+t≤0
∴t≤﹣3，
则t的取值范围为：t≤﹣3．
故选：C．

【点评】本小题主要考查指数函数的图象变换、函数图象的应用、不等式的解法等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
13．【分析】f（x）中含有|x|，故f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可．
【解答】解：f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f（x）＝，
∴x＞0时，图象与y＝ax在第一象限的图象一样，x＜0时，图象与y＝ax的图象关于x轴对称，
故选：C．
【点评】本题考查识图问题，利用特值或转化为比较熟悉的函数，利用图象变换或利用函数的性质是识图问题常用的方法．
14．【分析】直接根据根据指数幂的运算性质计算即可．
【解答】解：（﹣a3）4＝（a4）3＝a12，
故选：D．
【点评】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
15．【分析】将根式转化为有理数指数幂进行化简求值即可．
【解答】解：对于A，＝a，当a为负数时等式不成立，故A不正确；
对于B，a0＝1，当a＝0时无意义，故B不正确；
对于C，，左边为正，右边为负，故C不正确；
对于D，，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查有理数指数幂的化简求值，是基础题．
16．【分析】已知函数f（x）＝ax+1（a＞0，且a≠1），根据指数函数的性质，把x＝﹣1代入即可求解；
【解答】解：已知函数f（x）＝ax+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，、
∴因为指数函数y＝ax恒过点（0，1），
∴当x＝﹣1时，x+1＝0，可得y＝a0＝1，
∴函数f（x）＝ax﹣1恒过点（﹣1，1），
故选：B．
【点评】此题主要考查指数函数的单调性及其性质，比较简单，是一道基础题；
17．【分析】根据指数函数的图象恒过定点（0，1），求得f（x）的图象所过的定点．
【解答】解：函数f（x）＝2ax+2﹣1（a＞0且a≠1），
令x+2＝0，解得x＝﹣2，
∴y＝f（﹣2）＝2×a0﹣1＝2﹣1＝1，
∴f（x）的图象过定点（﹣2，1）．
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数恒过定点的应用问题，是基础题．
18．【分析】根据指数函数的单调性即可判断．
【解答】解：∵1＜＜，＜
∴1＜＜，
∴b＞a＞1，
c＝5e﹣2＝＜1，
∴b＞a＞c，
故选：D．
【点评】本题考查了指数幂的图象和性质，属于基础题
19．【分析】利用与对数定义求出a、b、c代入到四个答案中判断出正确的即可．
【解答】解：由a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c＝M，则a＝log3M，b＝log4M，c＝log6M
代入到B中，左边＝＝＝，
而右边＝＝+＝＝，
左边等于右边，B正确；
代入到A、C、D中不相等．
故选：B．
【点评】考查学生利用对数定义解题的能力，以及换底公式的灵活运用能力．
20．【分析】由题意利用指数函数的单调性和特殊点可得 ，由此求得a的范围，函数的解析式．再根据函数 在（0，1）上为减函数，求得f（a）的取值范围．
【解答】解：依题意可得 ，解得0＜a＜1，．
设函数，则g（x）在（0，1）上为减函数，
故，
故选：B．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
21．【分析】根据题意知0＜a＜1时0＜a|x|＜1，利用函数y的图象和x轴有交点列不等式求出m的取值范围．
【解答】解：0＜a＜1时，0＜a|x|＜1，
∴m﹣1＜a|x|+m﹣1＜m；
由函数y的图象和x轴有交点，
∴m（m﹣1）≤0，
0≤m≤1，
综上，实数m的取值范围是[0，1）．
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
22．【分析】根据1.2＞＞1.1，且y＝是R上的增函数，得出结论．
【解答】解：∵a＝，c＝，b＝＝，且1.2＞＞1.1，且y＝是R上的增函数，
∴＞＞，即 a＞b＞c，
故选：D．
【点评】本题主要考查幂函数的单调性，负指数幂的运算，属于基础题．
23．【分析】求出内层函数二次函数的减区间得答案．
【解答】解：令t＝﹣x2+4x+5，其对称轴方程为x＝2，
内层函数二次函数在[2，+∞）上为减函数，
而外层函数y＝为减函数，∴函数y＝的单调增区是[2，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查指数型复合函数的单调性，复合函数的单调性满足同增异减，是基础题．
24．【分析】根据y＝3x与y＝3﹣x的纵坐标相等时，横坐标相反，可得它们的图象关于y轴对称．
【解答】解：∵y＝3x与y＝3﹣x＝ 的纵坐标相等时，横坐标相反，
∴在同一坐标系中，函数y＝3x与y＝3﹣x＝ 的图象关于y轴对称，
故选：D．
【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，属于基础题．
25．【分析】化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简．
【解答】解：＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查根式与分数指数幂的互化，考查有理指数幂的运算性质，是基础题．
26．【分析】设t＝x2﹣2ax﹣3a，则函数t在区间（﹣∞，﹣1]上是递减函数，且t＞0，再利用二次函数的性质求得实数a的取值范围．
【解答】解：设t＝x2﹣2ax﹣3a，则f（x）＝lnt，
且函数t在区间（﹣∞，﹣1]上是递减函数，且t＞0．
∴，求得：﹣1≤a＜1，
故选：C．
【点评】本题主要考查对数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于基础题．
27．【分析】不放取a＝﹣，分别利用指数函数的性质，分数指数幂的运算法则，化简这三个数，得出结论．
【解答】解：∵已知﹣1＜a＜0，不放取a＝﹣，
则三个数3a＝＝＝，a＝＝﹣，a3＝＝﹣，
故有＜a3＜3a，
故选：C．
【点评】本题主要考查指数函数的性质，分数指数幂的运算法则的应用，利用了特殊值代入法，属于基础题．
28．【分析】利用指数函数的性质，分数指数幂的运算法则，分别花间各个式子，求得结果，可得结论．
【解答】解：＝＝﹣2，＝＝＝，＝＝＝，2﹣1＝，
故它们当中，最大的是，
故选：C．
【点评】本题主要考查指数函数的性质，分数指数幂的运算法则的应用，属于基础题．
29．【分析】由题意利用指数函数、幂函数的单调性，得出结论．
【解答】解：∵y＝ax （0＜a＜1）在R上是减函数，故有a＝＜＝c．
再根据y＝ 是增函数，∴a＝＞b＝，
综上可得，c＞a＞b，
故选：D．
【点评】本题主要考查指数函数、幂函数的单调性，属于基础题．
二．填空题（共9小题）
30．【分析】根据根指数幂和分数指数幂的互化公式即可求出．
【解答】解：原式＝（x•（x））＝（x）＝x，
故答案为：x
【点评】本题考查了分数指数幂和根指数幂的关系，属于基础题
31．【分析】利用换元法将方程转化为一元二次方程进行求解即可．
【解答】解：由4x﹣10•2x+16＝0得（2x）2﹣10⋅2x+16＝0，
设t＝2x，则t＞0，
则原方程等价为t2﹣10t+16＝0，即（t﹣2）（t﹣8）＝0，
解得t＝2或t＝8．
由t＝2x＝2，解得x＝1．
由t＝2x＝8，解得x＝3．
故方程的解集为{1，3}．
故答案为：{1，3}．
【点评】本题主要考查指数方程的求法，利用换元法将指数方程转化为一元二次方程是解决本题的一个技巧，要求熟练掌握．
32．【分析】直接利用有理指数幂的运算性质求解即可．
【解答】解：由45x＝3，得（45x）2＝9，45y＝5，
则452x×45y＝9×5＝45＝1．
∴2x+y＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了有理指数幂的化简求值，是基础题．
33．【分析】代值计算即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝ax+1（a＞0，a≠1）过点A（2，10），
∴10＝a2+1，
∴a2＝9，
解得a＝3，a＝﹣3（舍去），
故答案为：3
【点评】本题考查了指数函数的性质，考查了运算求解能力，属于基础题．
34．【分析】根据题意写出f（x）的解析式，把点P代入f（x）中求得a的值．
【解答】解：f（x）的图象与函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象关于直线y＝x对称，
∴y＝f（x）＝logax，
把点P（4，2）代入f（x）中，得loga4＝2，
解得a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
35．【分析】让分母等于零，求得x的值，可得对称点的坐标．
【解答】解：对于函数f（x）＝的图象，令4＝2x，求得x＝2，可得它的图象关于点（2，0）对称，
故答案为：（2，0）．
【点评】本题主要考查函数的图象的对称性问题，属于基础题．
36．【分析】令指数等于零，求得x、y的值，可得指数函数的图象经过定点的坐标．
【解答】解：对于函数y＝3•ax﹣2+1（a＞0且a≠1），令x﹣2＝0，求得x＝2，y＝4，
可得它的图象经过定点（2，4），
故答案为：（2，4）．
【点评】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．
37．【分析】令幂指数等于零，求得x、y的值，可得函数的图象经过定点的坐标，从而得出结论．
【解答】解：对于函数y＝4ax﹣9﹣1（a＞0且a≠1），令x﹣9＝0，求得x＝9，y＝3，
可得函数y＝4ax﹣9﹣1（a＞0且a≠1）恒过定点A（9，3），∴x+y＝12，
故答案为：12．
【点评】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．
38．【分析】由题意先求得a的值，可得g（x）得解析式，求得g（x）＝0时的x＝﹣m﹣1，根据题意，﹣m﹣1≤0，求得m的范围．
【解答】解：∵函数f（x）＝loga（﹣x+1）（a＞0且a≠1）在[﹣2，0]上的值域是[﹣1，0]，
而f（0）＝0，∴f（﹣2）＝loga3＝﹣1，∴a＝，即函数f（x）＝（﹣x+1）．
若函数g（x）＝﹣3的图象不经过第一象限，令g（x）＝0，求得x＝﹣m﹣1，
则﹣m﹣1≤0，求得m≥﹣1，
故答案为：[﹣1，+∞）．
【点评】本题主要考查对数函数、指数函数的单调性和特殊点，属于中档题．
三．解答题（共2小题）
39．【分析】（1）当a＝1时，f（x）＝1+1•（）x+（）x．令t＝•（）x，由x＜0 可得t＞1，f（x）＝h（t）＝+，再利用二次函数的性质得出结论．
（2）由题意可得当x≥0时，|f（x）|≤3恒成立，化简得[﹣4•2x﹣]≤a≤[2•2x﹣]．求得[﹣4•2x﹣]的最大值和[2•2x﹣]的最小值，可得a的范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝1+1•（）x+（）x．
令t＝•（）x，由x＜0 可得t＞1，f（x）＝h（t）＝t2+t+1＝+，
∵h（t）在（1，+∞）上单调递增，故f（t）＞f（1）＝3，故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，
故函数f（x）在（﹣∞，0）上不是有界函数．
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，
则当x≥0时，|f（x）|≤3恒成立．
故有﹣3≤f（x）≤3，即﹣3≤1+a•（）x+（）x≤3，即﹣4﹣≤a≤2﹣，
∴[﹣4•2x﹣]≤a≤[2•2x﹣]．
∴当x＝0时，[﹣4•2x﹣]的最大值为﹣4﹣1＝﹣5，[2•2x﹣]的最小值为2﹣1＝1，
故有﹣5≤a≤1，
即a的范围为[﹣5，1]．
【点评】本题主要考查指数函数的性质、新定义，函数的恒成立问题，求函数的值域，属于中档题．
40．【分析】（Ⅰ）根据x∈[﹣1，1]时，y＝f（x）的最大值与最小值之和为．建立方程关系即可求a的值；
（Ⅱ）求出函数h（x）的表达式，利用换元法求函数的最值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）在[﹣1，1]上为单调函数，f（x）的最大值与最小值之和为，
∴．
（Ⅱ）h（x）＝22x+m﹣2m•2x．
即h（x）＝（2x）2﹣2m•2x+m，
令t＝2x，
∵x∈[0，1]时，
∴t∈[1，2]，
h（x）＝t2﹣2mt+m，对称轴为t＝m
当0＜m＜1时，H（m）＝h（1）＝﹣m+1；
当1≤m≤2时，H（m）＝h（m）＝﹣m2+m；
当m＞2时，H（m）＝h（2）＝﹣3m+4．

综上所述，．
【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，利用换元法将函数转化为二次函数是解决本题的关键，要求熟练掌握指数函数和二次函数的图象和性质．
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