高中数学5.2 函数的基本性质习题

这是一份高中数学5.2 函数的基本性质习题，共11页。试卷主要包含了已知x2>x，求x的取值范围．，比较下列各组中两个数的大小等内容，欢迎下载使用。

例1、下列结论中，正确的是(　　)
A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数
D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数
例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．









例3、如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)

A．-11 D．n<－1，m>1

例4、已知x2>x，求x的取值范围．



例5、函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．









例6、比较下列各组中两个数的大小：
（1） ，； （2）0.71.5，0.61.5； （3），．

例7、比较下列各组数的大小 (1) 3与3.1； (2)－8与








例8、　已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)<(3－2a)的a的范围．













一、选择题
1．下列命题：
①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)； ②幂函数的图象不可能在第四象限；
③n＝0时，y＝xn的图象是一条直线； ④幂函数y＝xn，当n>0时，是增函数；
⑤幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
其中正确的是(　　)
A．①和④　　B．④和⑤　　C．②和③　　D．②和⑤
2．下列函数中，不是幂函数的是(　　)
A．y＝2x B．y＝x－1 C．y＝ D．y＝x2
3．设α∈，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
4．当x∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y＝x下方的偶函数是(　　)
A．y＝x B．y＝x－2 C．y＝x2 D．y＝x－1
5．如果幂函数y＝(m2－3m＋3)·x的图象不过原点，则m的取值是(　　)
A．－1≤m≤2 B．m＝1或m＝2 C．m＝2 D．m＝1

6．在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1 (x≠0)中幂函数的个数为(　　)
A．1　　　　B．0　　　　C．2　　　　D．3
7．幂函数f(x)的图象过点，那么f(8)的值为(　　)
A．2 B．64 C. D.
8．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是(　　)
A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝x－2 D．y＝logax (a>0，且a≠1)
二、填空题
1．若幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝_____________.
2．设幂函数y＝xα的图象经过点(8,4)，则函数y＝xα的值域是______________．
3. 如图所示是幂函数y=xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为　　　　　　　　.

4．若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，则f(25)的值是________．
5．幂函数y＝xα (α∈R)的图象一定不经过第________象限．
6．把下列各数2，，，，，按由小到大的排列顺序为__________________．
7．已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1) 三、解答题
1．求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．
　　









2．已知f(x)＝(m2＋2m)·x，m是何值时，f(x)是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．








3．已知点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)















4．已知函数y＝(a2－3a＋2)x(a为常数)．(1)a为何值时此函数为幂函数？(2)a为何值时此函数为正比例函数？(3)a为何值时此函数为反比例函数？















5．已知函数y＝．（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；(3）求函数的单调区间．




















幂函数的概念
例1、下列结论中，正确的是(　　)
A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数
D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数
解析　当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．
答案　C
例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．
分析　关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设 (|p|、|q|互质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝x是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝x的奇偶性与p的值相对应．
解　∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1，
∴t＝－1,1或0.
当t＝0时，f(x)＝x是奇函数；
当t＝－1时，f(x)＝x是偶函数；
当t＝1时，f(x)＝x是偶函数，且和都大于0，
在(0，＋∞)上为增函数．
故t＝1且f(x)＝x或t＝－1且f(x)＝x.
点评　如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视．











例3、如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)

A．-11 D．n<－1，m>1
解析　在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0
答案　B
点评　在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．
例4、已知x2>x，求x的取值范围．
错解　由于x2≥0，x∈R，则由x2>x，可得x∈R.
错因分析　上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y＝xα在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．
正解　

作出函数y=x2和y=的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.
例5、函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
分析　解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m.
解　根据幂函数定义得
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；
当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x3.
点评　幂函数y＝xα (α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．



变式 已知y＝(m2＋2m－2)x＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
解　由题意得，
解得，
所以m＝－3，n＝.
例6、比较下列各组中两个数的大小：
　　（1），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），．
　　解析：（1）考查幂函数y＝的单调性，在第一象限内函数单调递增，
　　 ∵1.5＜1.7，∴＜，
　　（2）考查幂函数y＝的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．
　　（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，
　　∵＝，＝，又＞，　　∴＞．
　　点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：
　　（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；
　　（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；
　　（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．
例7、比较下列各组数的大小
(1) 3－与3.1－；(2)－8－与－.
分析　比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法．
解　(1)函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，
又3<3.1，所以3－>3.1－.
(2)－8－＝－，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，又>，则>，
从而－8－<－.
点评　比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．



变式　比较下列各组数的大小：
(1)－与－；
(2)4.1，(－1.9)与3.8－.
解　(1)－＝－，－＝－，
∵函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又∵>，
∴－＝－<－＝－.
(2)(4.1)>1＝1,0<3.8－<1－＝1，(－1.9)<0，
所以(－1.9)<3.8－<(4.1).
例8、　已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的范围．
解　∵函数在(0，＋∞)上递减，
∴3m－9<0，解得m<3，
又m∈N*，∴m＝1,2.
又函数图象关于y轴对称，
∴3m－9为偶数，故m＝1，
∴有(a＋1)－<(3－2a)－.
又∵y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，
∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a
或a＋1<0<3－2a，
解得 点评　(1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y＝xα，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．
变式　已知幂函数y＝xm2－2m－3 (m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，且画出它的图象．
解　由已知，得m2－2m－3≤0，∴－1≤m≤3.
又∵m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3，
当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不符合题意．
当m＝－1或m＝3时，有y＝x0，其图象如图①所示．
当m＝1时，y＝x－4，其图象如图②所示．



练习
一、选择题
1．下列命题：
①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；
③n＝0时，y＝xn的图象是一条直线；④幂函数y＝xn，当n>0时，是增函数；
⑤幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
其中正确的是(　　)
A．①和④　　B．④和⑤　　C．②和③　　D．②和⑤
答案　D
2．下列函数中，不是幂函数的是(　　)
A．y＝2x B．y＝x－1 C．y＝ D．y＝x2
答案　A
3．设α∈，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　A
4．当x∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y＝x下方的偶函数是(　　)
A．y＝x B．y＝x－2 C．y＝x2 D．y＝x－1
答案　B
5．如果幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是(　　)
A．－1≤m≤2 B．m＝1或m＝2 C．m＝2 D．m＝1
答案　B
解析　由已知
∴m＝1或m＝2.
6．在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1 (x≠0)中幂函数的个数为(　　)
A．1　　　　B．0　　　　C．2　　　　D．3
答案　C
解析　依据幂函数的定义判定，应选C.
7．幂函数f(x)的图象过点，那么f(8)的值为(　　)
A．2 B．64 C. D.
答案　C
解析　设f(x)＝xα (α为常数)，将点代入得＝4α，∴α＝－，f(x)＝x－，∴f(8)＝8－＝.
8．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是(　　)
A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝x－2 D．y＝logax (a>0，且a≠1)
答案　B
解析　根据函数图象，选B.
二、填空题
1．若幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝_____________.
答案　
解析　设f(x)＝xα，则9α＝，α＝－.
∴f(25)＝25－＝.
2．设幂函数y＝xα的图象经过点(8,4)，则函数y＝xα的值域是______________．
答案　[0，＋∞)
解析　由4＝8α，得α＝，∴y＝x≥0.
3. 如图所示是幂函数y=xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为　　　　　　　　.

答案　2，，－，－2
4．若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，则f(25)的值是________．
答案　5
解析　设y＝xα，∵点(2，)在y＝xα的图象上，
∴＝2α，∴α＝，∴f(x)＝x.故f(25)＝25＝5.
5．幂函数y＝xα (α∈R)的图象一定不经过第________象限．
答案　四
6．把下列各数2，－，3，0，，按由小到大的排列顺序为__________________．
答案　3<－<0<<2.
7．已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1) 答案　3 解析　f(x)＝x－＝ (x>0)，由图象知x∈(0，＋∞)时为减函数，又f(a＋1) ∴　得　∴3



三、解答题
1．求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．
　　解析：设t＝x，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．
　　当t＝－1时，ymin＝3．
　　∴函数y＝＋2x＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）．
　　点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．
2．已知f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m是何值时，f(x)是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
解　(1)若f(x)为正比例函数，则
，∴m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，则
，∴m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则
，∴m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±。
3．已知点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x) 解　设f(x)＝xα，由题意得：2＝()2⇒α＝2，
∴f(x)＝x2.

同理可求：g(x)=x-2，在同一坐标系内作出y=f(x)与y=g(x)的图象，如图所示．
由图象可知：
(1)当x>1或x<-1时，
f(x)>g(x)．
(2)当x=±1时，f(x)=g(x)．
(3)当-1 4．已知函数y＝(a2－3a＋2)xa2－5a＋5 (a为常数)．
(1)a为何值时此函数为幂函数？
(2)a为何值时此函数为正比例函数？
(3)a为何值时此函数为反比例函数？




解　(1)由题意，得a2－3a＋2＝1，
即a2－3a＋1＝0.
解得a＝，即a＝时，此函数为幂函数；
(2)由题意，得
解得a＝4，即a＝4时，此函数为正比例函数；
(3)由题意，得
解得a＝3，即a＝3时，此函数为反比例函数．
　　5．已知函数y＝．
　　（1）求函数的定义域、值域；
　　（2）判断函数的奇偶性；
　　（3）求函数的单调区间．
　　解析：这是复合函数问题，利用换元法令t＝15－2x－x2，则y＝，
　　（1）由15－2x－x2≥0得函数的定义域为［－5，3］，
　　∴t＝16－（x－1）2［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．
　　（2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．
　　（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x＝1，
　　∴x［－5，1］时，t随x的增大而增大；x（1，3）时，t随x的增大而减小．
　　又∵函数y＝在t［0，16］时，y随t的增大而增大，
　　∴函数y＝的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3］．
　　答案：（1）定义域为［－5，3］，值域为［0，2］；
　　（2）函数即不是奇函数，也不是偶函数；