2020-2021学年5.3 函数的应用随堂练习题

这是一份2020-2021学年5.3 函数的应用随堂练习题，共8页。试卷主要包含了一周知识概述，重难点知识归纳，典型例题剖析等内容，欢迎下载使用。

本周主要学习了基本函数的应用，主要分为四个方面，第一方面，通过结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．第二方面，根据具体函数的图象，借助计算器用二分法求相应方程的近似解，这种方法是求方程近似解的常用方法，必须了解其基本步骤．第三方面，利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．第四方面，通过收集一些社会生活中普遍使用的函数模型的实例，了解函数模型的广泛应用．
二、重难点知识归纳
1、函数的零点
①函数零点的概念：
对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点(zer pint)．
②函数零点的意义：
函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．
即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
③函数零点的求法：
求函数的零点：
(1)（代数法）求方程的实数根；
(2)（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
2、二分法求方程近似解
①二分法的概念：
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisectin)．
②二分法求近似解的注意事项：
(1)确定区间时，必须区间两端点函数值小于零;
(2)要明确精确度的范围，根据|a－b|<，即可确定近似解为a(或b);
(3)要很好的利用计算器或计算机来确定区间的范围．
3、函数的模型及其应用
（1）利用信息技术从图、表两方面对具体函数的增长差异进行比较，则可发现，函数增长速度最快，而增长速度最慢，即总会存在一个，当时，就有．
（2）函数模型的应用实例主要包含三个方面：
①利用给定的函数模型解决实际问题；
②建立确定性函数模型解决问题；
③建立拟合函数模型解决实际问题．
三、典型例题剖析
例1．设是方程的解，则在下列哪个区间内（ ）
A．（3，4） B．（2，3）
C．（1，2） D．（0，1）
解析：令f(x)=lnx＋x－4，通过利用计算器或计算机可算得
f(2)－1.3069＜０，f(3) 0.0986＞０．
故f(2)·f(3)<0，这说明函数f(x)在区间(2,3)内用零点，
又函数f(x)在定义域内是增函数，则说明它仅有一个零点，
并且在区间(2,3)内．故选Ｂ.
例2．求出方程在区间（2，3）内的近似解（精确到0.1）．
解：令f(x)= ．
则可知f(2)·f(3)＜０，说明这个函数在区间(2，3)内有零点．
取区间(2，3)的中点，f(2)<0，f(2.5)＞０，所以(2，2.5)；
取区间(2，2.5)的中点2.25，f(2.25)<0，f(2.5)＞０，所以(2.25，2.5)；
取区间(2.25，2.5)的中点2.375，则有f(2.375)＜０，f(2.5)＞０，
所以(2.375，2.5)；
取区间(2.375，2.5)的中点2.4375，则有f(2.375)＜０，f(2.4375)＞0，
所以有(2.375，2.4375)．
由于|2.375－2.4375|<0.1，所以，原方程的近似解可取为2.4375．
例3．渔场中鱼群的最大养殖量为m，为了保证鱼群的生长空间,实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率（空闲率是空闲量与最大养殖量的比值）的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
①写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；
②求鱼群年增长量的最大值；
③当鱼群年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
解析：函数与实际问题相结合，要注意函数的范围．
（1）根据题意，得,0 （2）．
∴当．
（3）根据实际意义：实际养殖量x与年增长量y的和小于最大养殖量m，即：
0 ∴，解之得：－2 又k>0，故0 所以k的取值范围是．
例4．有一片树林现有木材储蓄量为7100 cm3，要力争使木材储蓄量20年后翻两番，即达到28400 cm3．
(1)求平均每年木材储蓄量的增长率．
(2)如果平均每年增长率为8%，几年可以翻两番？
解析：（1）设增长率为x，
由题意得28400=7100,
∴=4，
20lg（1＋x）=2lg2，
lg（1＋x）≈0.03010，
∴1＋x≈1.072，∴x≈0.072=7.2%
（2）设y年可以翻两番，
则28400=7100，即=4．
∴y=，故18年可翻两番．
例5、某工厂有工人214名，现需要生产1500件产品，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每个工人加工5个A型零件与加工3个B型零件所需时间相同．现将工人分成两组，分别加工A、B型零件，同时开始；设加工A型的工人有x人，且单位时间里每个工人加工A型零件5k件，若记加工完A、B型零件所需时间分别为g(x)、h(x).
（1）试比较g(x)与h(x)的大小，并写出完成总任务的时间f(x)的解析式；
（2）应怎样分组，才能使任务完成得最快？
析：(1) 依题意，A型零件共4500个，B型零件共1500个．
加工B型零件的有214－x人，单位时间里每个工人可加工3k个B型零件．
则．
∴，
其中0 ∴当1x137且x∈Z时，g(x)>h(x)；当138x213时，g(x) 故
(2)当1x137且x∈Z时，是减函数，此时x=137时，f(x)最小；
当138x213且x∈Z时，是增函数，此时x=138时，f(x)最小．
∵，
∴ f(x)的最小值为，此时x=137．
故加工A、B型零件的人数分别为137和77人时，任务完成的最快．
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一、选择题
1. 求方程f(x)=0在[0，1]内的近似根，用二分法计算到x10=0.445达到精度要求. 那么所取误差限ε是（ ）
A．0.05 B．0.005 C．0.000 5 D．0.000 05
2．某工厂10年来某种产品总产量C与时间t（年）的函数关系如下图所示，下列四种说法，其中说法正确的是（ ）
①前五年中产量增长的速度越来越快；
②前五年中产量增长的速度越来越慢；
③第五年后，这种产品停止生产；
④第五年后，这种产品的产量保持不变．
A．②③ B．②④ C．①③ D．①④
3．用长度为24的材料围一个矩形场地，中间且有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
4．已知镭经过100年，剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年的剩留量为y，则y与x的函数关系是（ ）
A．y=(0.9576) B．y=(0.9576)100x C．y=()x D．y=1－(0.0424)
5．某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价（ ）
A．10% B．9% C．10% D．11%
6．某厂1999年的产值为a万元，预计产值每年以7%递增，则该厂到2008年的产值（单位：万元）是（ ）
A．a(1＋7%)8 B．a(1＋7%)9 C．a(1＋7%)10 D．a(1－7%)11
7．某商场进了两套服装，其中一套提价20%后以960元卖出，另一套降价20%后以960元卖出，这两套服装销售后（ ）
A．不赚不亏 B．赚了80元 C．亏了80元 D．赚了2000元
8．某汽车运输公司，购买一批豪华大客车投入客运，据市场分析每辆客车的营运总利润y（10万元）与营运年数x（x∈N）为二次函数关系，其关系如图所示，据此分析可断定，欲使每辆客车营运的平均利润最大，则每辆客车应营运的年数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．由于电子技术飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，现在价格8100元的计算机15年后的价格为（ ）
A．300元 B．900元 C．2400元 D．3600元
10、某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=3000＋20x－0.1x2，x∈(0，240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量为（ ）
A．100台 B．120台 C．150台 D．180台
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二、填空题
11．某工厂1992年底某种产品年产量为a，若该产品的年平均增长率为x，2000年底该厂这种产品的年产量为y，那么y与x的函数关系式是______________．
12．周长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（半径为r），若矩形底边长为2x，此框架围成的面积为y，则y与x的函数解析式是_____________．
13．某轮船在航行中每小时所耗去的燃料费与该船航行速度的立方成正比，且比例系数为a，其余费用与船的航行速度无关，约为每小时b元，若该船以速度v千米/时航行，航行每千米耗去的总费用为y（元），则y与v的函数解析式为____________．
14．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税，超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税，超过4000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一本书，共纳税420元，这个人的稿费为___________元．
三、解答题
15．用二分法求方程＝０在区间[1.5，2]内的实根的近似值，使误差不超过0.01(计算过程保留5位小数)．
16．某种商品现在定价每件p元，每月卖出n件，因而现在每月售货总金额np元，设定价上涨x成，卖出数量减少y成，售货总金额变成现在的z倍．（1）用x和y表示z.（2）若y=x，求使售货总金额有所增加的x值的范围．
17．某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Ｑ（单位：元／102kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表：
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q=at＋b，Q=at2＋bt＋c，Q=a·bt，Q=a·lgbt.
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
18．某工厂有容量为300吨的水塔一个，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂生活和生产用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水总量W（吨）与时间t（单位：小时，定义早上6时，t=0）的函数关系为W=100，水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时的进水量增加10吨，若某天水塔原有水100吨，在供水时打开进水管，问该天进水量选择第几级，既能保证该厂用水（水塔中水不空）又不会溢出？
C A A A D B C B C C
提示：
2．解析：曲线越来越平，那么增长的速度也越来越慢，第五年后，这种产品的总产量没有变，那么说明后来这种产品停产了．
5．解析：设商品原价为a，降价10%后，商品价格为0.9a，欲恢复原价，设提价为b,则有0.9a(1＋b)=a，则可解得b=．
6．解析：2000年为a(1＋7%)，2001年为a(1＋7%)2，依次递增，则可解得，到2008年时，产值为a(1＋7%)9．
8．解析：可得函数表达式为y=－(x－6)2＋11，
则平均赢利为g=，当且仅当x=5时取等号．
9．解析：5年后价格为8100－×8100=5400，10年后价格为5400－×5400=3600，
则15年后价格就为3600－×3600＝2400．
答案：
11．y=a(1＋x)8
12．（0＜x＜）
13．y=av3＋（v＞0）
14．3800
15．解：令f(x)= ，f(1.5)=0.43>0，f(2)=－0.09；
a0=1.5 b0=2 x0=1.75 f(x0)>0
a1=1.75 b1=2 x1=1.875 f(x1)>0
a2=1.875 b2=2 x2=1.9375 f(x2)<0
a3=1.875 b3=1.9375 x3=1.902 65 f(x3)>0
a4=1.902 65 b4=1.937 5 x4=1.921 88 f(x4)>0
a5=1.921 88 b5=1.937 5 x5=1.929 69
取x≈1.92969．
16．解：（1）npz=,
∴z=
（2）当y=x时，z=,
由z＞1，得＞1,
x(x－5)＜0，∴0＜x＜5．
17.解:(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Ｑ与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q=at＋b，Q=a·bt，Q=a·lgbt中的任意一个进行描述时都应有a0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数Q=at2＋bt＋c进行描述．
以表格所提供的三组数据分别代入Q=at2＋bt＋c，得到
解方程组得
所以，描述西红柿种植成本Ｑ与上市时间t的变化关系的函数为
．
(2)当天时，西红柿种植成本最低为
（元／102kg）．
18．解：设进水量选用第n级，在t时刻水塔中的水量为
（0t16），
要使水塔中的水不空不溢，则有0 即 0<100＋10nt－10t－100300，
即 对一切0 令对x恒成立，

故选择第4级，既能保证该厂用水又不会溢出．
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150