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2022版高三全国统考数学（文）大一轮备考课件：第12章第2讲 变量间的相关关系与统计案例
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这是一份2022版高三全国统考数学（文）大一轮备考课件：第12章第2讲 变量间的相关关系与统计案例，共56页。PPT课件主要包含了考点帮·必备知识通关，考点1回归分析，考法帮·解题能力提升，考法2回归分析，提能力∙数学探索，析情境∙数学应用，考情解读，素养探源等内容，欢迎下载使用。
考点2 独立性检验
考法1 相关关系的判断
考法3 独立性检验
高分帮 ·“双一流”名校冲刺
数学探索1 回归分析与数学建模数学探索2 概率统计和函数的综合
数学应用 概率统计和社会热点的融合
考点1 回归分析考点2 独立性检验
考点1 回归分析
1.两个变量线性相关(1)正相关:在散点图中,点分布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.(2)负相关:在散点图中,点分布在从左上角到右下角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为负相关.(3)线性相关关系:如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,称两个变量具有线性相关关系,这条直线叫作回归直线.
考点2 独立性检验
1.分类变量对于性别变量,其取值为男、女两种,这种变量不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量.2.2×2列联表设X,Y为两个分类变量,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(2×2列联表)如下:
②利用公式计算K2的观测值k.③如果k≥k0,就推断“X与Y有关系”,这种推断犯错误的概率不超过α;否则,就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”,或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”.注意 (1)查表时不是查最大允许值,而是先根据题目要求的百分比找到第一行数据对应的数值,再将该数值对应的k0值与求得的K2的观测值k相比较.(2)K2的观测值k越大,两变量有关联的可能性越大;|ad-bc|越大,两变量有关联的可能性越大.
考法1 相关关系的判断考法2 回归分析考法3 独立性检验
考法1 相关关系的判断
示例1 (1)观察图12-2-2中的散点图,其中两个变量的相关关系判断正确的是A.a为正相关,b为负相关,c为不相关B.a为负相关,b为不相关,c为正相关C.a为负相关,b为正相关,c为不相关D.a为正相关,b为不相关,c为负相关
(2)下列命题中正确的为A.相关系数r越大,两个变量的线性相关性越强B.相关系数r越小,两个变量的线性相关性越弱C.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好D.用相关指数R2来刻画回归效果,R2越小,说明模型的拟合效果越好解析 (1)根据散点图,由相关性可知:a中各点分布在从左下角到右上角的区域里,是正相关;b中各点分布不是带状的,相关性不明确,所以不相关;c中各点分布在从左上角到右下角的区域里,是负相关.
(2)相关系数r的绝对值越接近于1,两个变量的线性相关性越强,所以A,B错误;残差平方和越小的模型,拟合的效果就越好,所以C正确;用相关指数R2来刻画回归效果,R2越大(接近1),说明模型的拟合效果就越好,所以D错误.答案 (1)D (2)C
方法技巧 判断两个变量相关关系的3种方法
考法2 回归分析
方法技巧1.线性回归分析问题的类型及解题方法
2.非线性回归方程的求法(1)根据原始数据作出散点图;(2)根据散点图选择恰当的拟合函数;(3)作恰当变换,将其转化成线性函数,求线性回归方程;(4)在(3)的基础上通过相应变换,即可得非线性回归方程.
考法3 独立性检验
示例3 [2018全国卷Ⅲ,18,12分][文]某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如图12-2-4所示的茎叶图:
思维导引 (1)根据茎叶图中的数据特征分析即可得出结论;(2)由茎叶图中的数据即可得出中位数,根据中位数补全列联表;(3)利用K2的观测值k进行判断.
解析 (1)第二种生产方式的效率更高. 理由如下:(i)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少为80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多为79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(ii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
方法技巧 求解独立性检验问题的策略
高分帮·“双一流”名校冲刺
提能力 ∙ 数学探索数学探索1 回归分析与数学建模数学探索2 概率统计和函数的综合
数学探索1 回归分析与数学建模
示例4 [2016全国卷Ⅲ,18,12分][文]图12-2-5是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
考向指导 本题以生活垃圾无害化处理为背景,考查统计中的线性相关关系,要求学生先利用相关系数判断y与t是否具有线性相关关系,再求回归方程,最后利用所求的方程进行预测,基本上体现了数学建模的过程.考查相关关系的题是数学建模的范例,在高考中经常出现,要充分了解建模过程,把握建模的方法与步骤,学会应用建模解决实际问题.
方法技巧 建立回归模型的基本步骤①确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量.②画出解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等).③由经验确定回归方程的类型(如观察到散点大致分布在某条直线附近,则选用线性回归方程).④按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数.⑤得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大,残差呈现不随机的规律性等).若存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否合适等.
思维拓展 数学建模的过程(1)建模准备:了解问题的实际背景,明确其实际意义,掌握对象的各种信息.(2)建模假设:根据实际对象的特征和建模的目的,对问题进行必要的简化,并用精确的语言提出一些恰当的假设.(3)模型建立:在假设的基础上,利用适当的数学工具来刻画各变量、常量之间的数学关系,建立相应的数学结构.(4)模型求解:利用获取的数据资料,对模型的所有参数进行计算(或近似计算).(5)模型检验:将模型分析结果与实际情形进行比较,以此来验证模型的准确性、合理性和适用性.
数学探索2 概率统计和函数的综合
示例5 [2020长沙长郡中学模拟]某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大,表明质量越好.记该种产品的质量指标值为M,当M≥85时,产品为一级品;当75≤M<85时,产品为二级品;当70≤M<75时,产品为三级品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做实验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到如下实验结果:
利用A配方生产的100件产品的质量指标值的频数分布表
利用B配方生产的100件产品的质量指标值的频数分布表
解题关键 破解此类分段函数与概率相交汇题的关键:一是细审题,即认真审题,读懂题意,明晰分段函数表示的意义;二是会作差,即会利用作差法比较大小.考向指导 概率统计作为考查考生应用意识的重要载体,已成为近年高考的一大亮点和热点.它常与函数、导数等融合、渗透,情境新颖,充分体现了概率统计的工具性和交汇性.
数学应用 概率统计和社会热点的融合
示例6 在中国扶贫志愿服务促进会的指导下和地方政府的协助下,某平台希望通过“万村主播培养计划”,建立起跨部门、跨行业、跨单位共同参与、多元主体的扶贫工作体系,打造“新媒体+精准扶贫”、“短视频、直播+消费扶贫”等行业扶贫模式,发挥网络视听新媒体在产销助农、品牌强农等方面的积极作用.某村为苹果种植基地,在销售时按苹果的品相与大小分为Ⅰ级、Ⅱ级分装销售.该村对某月同时期苹果的销售情况进行了统计,得到如下不完整的2×2列联表:
(1)补全2×2列联表,并判断是否有97.5%的把握认为不同等级苹果的销售情况与是否加入村播有关.(2)村播的加入给村民带来了较好的收益,该村决定从甲、乙两个村播中评选一人作为年度优秀村播.从观看过甲、乙两人直播的观众中随机抽取200人,对甲、乙两人进行评分(单位:分,得分均在[4.5,9.5]内),得到图12-2-6所示频率分布直方图及频数分布表:
考点2 独立性检验
考法1 相关关系的判断
考法3 独立性检验
高分帮 ·“双一流”名校冲刺
数学探索1 回归分析与数学建模数学探索2 概率统计和函数的综合
数学应用 概率统计和社会热点的融合
考点1 回归分析考点2 独立性检验
考点1 回归分析
1.两个变量线性相关(1)正相关:在散点图中,点分布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.(2)负相关:在散点图中,点分布在从左上角到右下角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为负相关.(3)线性相关关系:如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,称两个变量具有线性相关关系,这条直线叫作回归直线.
考点2 独立性检验
1.分类变量对于性别变量,其取值为男、女两种,这种变量不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量.2.2×2列联表设X,Y为两个分类变量,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(2×2列联表)如下:
②利用公式计算K2的观测值k.③如果k≥k0,就推断“X与Y有关系”,这种推断犯错误的概率不超过α;否则,就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”,或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”.注意 (1)查表时不是查最大允许值,而是先根据题目要求的百分比找到第一行数据对应的数值,再将该数值对应的k0值与求得的K2的观测值k相比较.(2)K2的观测值k越大,两变量有关联的可能性越大;|ad-bc|越大,两变量有关联的可能性越大.
考法1 相关关系的判断考法2 回归分析考法3 独立性检验
考法1 相关关系的判断
示例1 (1)观察图12-2-2中的散点图,其中两个变量的相关关系判断正确的是A.a为正相关,b为负相关,c为不相关B.a为负相关,b为不相关,c为正相关C.a为负相关,b为正相关,c为不相关D.a为正相关,b为不相关,c为负相关
(2)下列命题中正确的为A.相关系数r越大,两个变量的线性相关性越强B.相关系数r越小,两个变量的线性相关性越弱C.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好D.用相关指数R2来刻画回归效果,R2越小,说明模型的拟合效果越好解析 (1)根据散点图,由相关性可知:a中各点分布在从左下角到右上角的区域里,是正相关;b中各点分布不是带状的,相关性不明确,所以不相关;c中各点分布在从左上角到右下角的区域里,是负相关.
(2)相关系数r的绝对值越接近于1,两个变量的线性相关性越强,所以A,B错误;残差平方和越小的模型,拟合的效果就越好,所以C正确;用相关指数R2来刻画回归效果,R2越大(接近1),说明模型的拟合效果就越好,所以D错误.答案 (1)D (2)C
方法技巧 判断两个变量相关关系的3种方法
考法2 回归分析
方法技巧1.线性回归分析问题的类型及解题方法
2.非线性回归方程的求法(1)根据原始数据作出散点图;(2)根据散点图选择恰当的拟合函数;(3)作恰当变换,将其转化成线性函数,求线性回归方程;(4)在(3)的基础上通过相应变换,即可得非线性回归方程.
考法3 独立性检验
示例3 [2018全国卷Ⅲ,18,12分][文]某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如图12-2-4所示的茎叶图:
思维导引 (1)根据茎叶图中的数据特征分析即可得出结论;(2)由茎叶图中的数据即可得出中位数,根据中位数补全列联表;(3)利用K2的观测值k进行判断.
解析 (1)第二种生产方式的效率更高. 理由如下:(i)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少为80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多为79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(ii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
方法技巧 求解独立性检验问题的策略
高分帮·“双一流”名校冲刺
提能力 ∙ 数学探索数学探索1 回归分析与数学建模数学探索2 概率统计和函数的综合
数学探索1 回归分析与数学建模
示例4 [2016全国卷Ⅲ,18,12分][文]图12-2-5是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
考向指导 本题以生活垃圾无害化处理为背景,考查统计中的线性相关关系,要求学生先利用相关系数判断y与t是否具有线性相关关系,再求回归方程,最后利用所求的方程进行预测,基本上体现了数学建模的过程.考查相关关系的题是数学建模的范例,在高考中经常出现,要充分了解建模过程,把握建模的方法与步骤,学会应用建模解决实际问题.
方法技巧 建立回归模型的基本步骤①确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量.②画出解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等).③由经验确定回归方程的类型(如观察到散点大致分布在某条直线附近,则选用线性回归方程).④按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数.⑤得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大,残差呈现不随机的规律性等).若存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否合适等.
思维拓展 数学建模的过程(1)建模准备:了解问题的实际背景,明确其实际意义,掌握对象的各种信息.(2)建模假设:根据实际对象的特征和建模的目的,对问题进行必要的简化,并用精确的语言提出一些恰当的假设.(3)模型建立:在假设的基础上,利用适当的数学工具来刻画各变量、常量之间的数学关系,建立相应的数学结构.(4)模型求解:利用获取的数据资料,对模型的所有参数进行计算(或近似计算).(5)模型检验:将模型分析结果与实际情形进行比较,以此来验证模型的准确性、合理性和适用性.
数学探索2 概率统计和函数的综合
示例5 [2020长沙长郡中学模拟]某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大,表明质量越好.记该种产品的质量指标值为M,当M≥85时,产品为一级品;当75≤M<85时,产品为二级品;当70≤M<75时,产品为三级品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做实验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到如下实验结果:
利用A配方生产的100件产品的质量指标值的频数分布表
利用B配方生产的100件产品的质量指标值的频数分布表
解题关键 破解此类分段函数与概率相交汇题的关键:一是细审题,即认真审题,读懂题意,明晰分段函数表示的意义;二是会作差,即会利用作差法比较大小.考向指导 概率统计作为考查考生应用意识的重要载体,已成为近年高考的一大亮点和热点.它常与函数、导数等融合、渗透,情境新颖,充分体现了概率统计的工具性和交汇性.
数学应用 概率统计和社会热点的融合
示例6 在中国扶贫志愿服务促进会的指导下和地方政府的协助下,某平台希望通过“万村主播培养计划”,建立起跨部门、跨行业、跨单位共同参与、多元主体的扶贫工作体系,打造“新媒体+精准扶贫”、“短视频、直播+消费扶贫”等行业扶贫模式,发挥网络视听新媒体在产销助农、品牌强农等方面的积极作用.某村为苹果种植基地,在销售时按苹果的品相与大小分为Ⅰ级、Ⅱ级分装销售.该村对某月同时期苹果的销售情况进行了统计,得到如下不完整的2×2列联表:
(1)补全2×2列联表,并判断是否有97.5%的把握认为不同等级苹果的销售情况与是否加入村播有关.(2)村播的加入给村民带来了较好的收益,该村决定从甲、乙两个村播中评选一人作为年度优秀村播.从观看过甲、乙两人直播的观众中随机抽取200人,对甲、乙两人进行评分(单位:分,得分均在[4.5,9.5]内),得到图12-2-6所示频率分布直方图及频数分布表:
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