2022版高三全国统考数学（文）大一轮备考课件：第14章 推理与证明

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考点1 合情推理与演绎推理
考点2 直接证明与间接证明
考点1 合情推理与演绎推理考点2 直接证明与间接证明
考点1 合情推理与演绎推理
1.合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理,二者区别如下:
2.演绎推理演绎推理是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理,它是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式是“三段论”,其结构和表示如下:
注意 (1)从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.(2)合情推理是发现结论的推理;演绎推理是证明结论的推理.
考点2 直接证明与间接证明
2.间接证明——反证法(1)定义一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫作反证法.(2)适用范围①否定性命题;②命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语;③命题成立非常明显,直接证明可用的理论太少,且不容易证明,而其逆否
命题非常容易证明;④正面证明要讨论的情况很复杂,而反面证明情况很简单.注意 常用的正面词语的否定详见本书P006常用的正面词语和它的否定词语.
考法1 合情推理考法2 演绎推理考法3 直接证明考法4 间接证明
考法1 合情推理
命题角度1　归纳推理的应用示例1 [2020哈尔滨九中三模]古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是指在等距的排列下可以形成正三角形的点(或圆球)的数量,如1,3,6,10,15,…….我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“落一形”堆垛,即每层的球的个数为“三角形数”的堆垛(顶层1个球,下一层3个球,再下一层6个球,……).若一“落一形”堆垛有10层,则组成该堆垛的球的总个数为　　　　　　　　　　　　　　　　　A.55B.220C.285D.385
方法技巧1.归纳推理的常见类型及求解策略(1)数的归纳.主要包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等.(2)形的归纳.主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳,解决的关键是抓住相邻图形之间的关系.
2.归纳推理的一般步骤
思维拓展　三角形数的性质:(1)第n个三角形数是从1开始的n个自然数的和;(2)两个相邻的三角形数之和是平方数.
命题角度2　类比推理的应用示例2 [2020陕西咸阳5月三模]如图14-3所示,同一个平面内有两个边长都是a的正方形,其中一个的顶点是另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为　　　　.类比到空间,有两个棱长均为a的正方体,其中一个的顶点是另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为　　　　. 思维导引 由正方形(二维)类比推理到正方体(三维),面积是边长的平方,体积是边长的立方,据此求解即可.
方法技巧1.类比推理常见类型及求解关键(1)类比定义——从定义出发求解.(2)类比性质——从特殊式子、特殊图形的性质入手,深入思考二者的转化过程.(3)类比方法——处理问题的方法具有类比性,注意知识的迁移.类比推理常见的情形有平面与空间类比、低维的与高维的类比、等差数列与等比数列类比、数的运算与向量的运算类比、圆锥曲线间的类比等.
2.类比推理的一般步骤
示例3 [2019全国卷Ⅱ,5,5分] [文]在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙
考法2 演绎推理
解析 解法一　若甲预测正确,则乙、丙预测错误,则甲比乙成绩高,丙比乙成绩低,故3人成绩由高到低依次为甲,乙,丙;若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意;若丙预测正确,则甲必预测错误,可得丙比乙的成绩高,乙比甲成绩高,即丙比甲、乙成绩都高,即乙预测正确,不符合题意.解法二　看选项,判断有几个人预测正确.对于选项A,三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙,则甲对乙错丙错,符合题意;对于选项B,三人按成绩由高到低的次序为乙、甲、丙,则甲错乙错丙错,不符合题意;对于选项C,三人按成绩由高到低的次序为丙、乙、甲,则甲错乙对丙对,不符合题意;对于选项D,三人按成绩由高到低的次序为甲、丙、乙,则甲对乙错丙对,不符合题意.答案 A
点评 本题将数学知识与“一带一路”结合,让考生感觉到数学来源于生活.主要考查推理判断能力,考查了逻辑推理等核心素养.题目虽有一定难度,但由于这是一道选择题,若能用解法二去判断,便可轻松破解.方法技巧　 演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论.应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果大前提是显然的,则可以省略,如果大前提不明确,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.(2)演绎推理常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的严密性,书写格式的规范性.
考法3 直接证明
点评 综合法是不等式证明的常用方法之一,即充分利用已知条件,经过推理论证推导出正确结论,属于由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法,只有保证前提正确,推理合乎规律,才能保证结论的正确.
方法技巧1.综合法证题的思路与方法
2.分析法证题的思路 逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件,正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.3.在解决实际问题时,常把分析法和综合法结合起来运用,通常用分析法探索证明途径,然后用综合法加以证明.对于较复杂的问题,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个与结论等价的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从而使原命题得证.
考法4 间接证明
方法技巧 用反证法证题的步骤