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2022版高三全国统考数学（文）大一轮备考课件：选修4-5 不等式选讲
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这是一份2022版高三全国统考数学（文）大一轮备考课件：选修4-5 不等式选讲，共37页。PPT课件主要包含了考点帮·必备知识通关，考法帮·解题能力提升，考情解读等内容，欢迎下载使用。
考点1 绝对值不等式
考点2 不等式的证明
考法1 绝对值不等式的解法
考法2 含有绝对值的不等式恒（能）成立、参数取值范围问题
考法3 不等式的证明
考法4 利用绝对值三角不等式或基本不等式求最值
考点1 绝对值不等式考点2 不等式的证明
考点1 绝对值不等式
1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集:(2)|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式的解法:①若c>0,则|ax+b|≤c等价于-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c等价于ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a,b的值解出即可;②若c<0,则|ax+b|≤c的解集为⌀,|ax+b|≥c的解集为R.
(3)|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)(c>0),|x-a|-|x-b|≤c(或≥c)(c>0)型不等式的解法:
注意 分区间讨论时,一是不要把区间的端点遗漏;二是原不等式的解集是若干个不等式解集的并集,而不是交集.
(4)|f(x)|>g(x),|f(x)|0)型不等式的解法:①|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x);②|f(x)|
4.反证法.先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立.5.放缩法. 证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的.
考法1 绝对值不等式的解法考法2 含有绝对值的不等式恒（能）成立、参数取值范围问题考法3 不等式的证明考法4 利用绝对值三角不等式或基本不等式求最值
考法1 绝对值不等式的解法
解法二 由解法一知,当x∈[12,1]时,不等式|2x-1|+f(x)≤x可转化为|x-a|≤-x+1,即x-1≤x-a≤-x+1,所以a≤1,x≤a+12.由于[12,1]⊆M,所以x≤a+12在[12,1]上恒成立,所以1≤a+12,解得a≥1,又a≤1,所以a=1,故a的取值范围为{1}.点评 本题第(2)问表面上是解绝对值不等式,实则蕴含恒成立问题,必须能从条件中悟出这一深层含义.解法一属于常规解法,通过分离参数将恒成立问题转化为最值问题,要注意对a分类讨论;解法二利用了|f(x)|≤g(x)⇔-g(x)≤f(x)≤g(x),从而也转化为恒成立问题.
方法技巧 解绝对值不等式的常用方法(1)基本性质法:a为正实数,|x|a⇔x<-a或x>a.(2)平方法:两边平方去掉绝对值符号,适用于|x-a|<|x-b|或|x-a|>|x-b|型的不等式的求解.(3)零点分区间法(定义法):含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法去掉绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.
(4)几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值问题转化为数轴上两点间的距离问题求解.(5)数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解.
考法2 含有绝对值的不等式恒（能）成立、参数取值范围问题
示例2 设函数f(x)=x+|x-a|.(1)当a=2 021时,求函数f(x)的值域;(2)若g(x)=|x+1|,求不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立时a的取值范围.思维导引
解析 (1)由题意得,当a=2 021时, f(x)=2x-2 021,x≥2 021,2 021,x<2 021,易知f(x)在[2 021,+∞)上单调递增,所以f(x)的值域为[2 021,+∞).(2)由g(x)=|x+1|,不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立,知|x+1|+|x-a|>2恒成立,即(|x+1|+|x-a|)min>2.而|x+1|+|x-a|≥|(x+1)-(x-a)|=|1+a|,………(绝对值三角不等式的应用)所以|1+a|>2,解得a>1或a<-3,所以a的取值范围是(-∞,-3)∪(1,+∞).
示例3 [2021安徽省四校联考]已知函数f(x)=|x-a|+|x-1|-3(a≠0)的一个零点为2.(1)求不等式f(x)≤2的解集;(2)若直线y=kx-2与函数f(x)的图象有公共点,求k的取值范围.思维导引 (1)由f(2)=0可求出a,再利用零点分段法解不等式即可;(2)作出y=f(x)的图象,由y=kx-2为过定点(0,-2)的动直线,利用数形结合即可求解.
考法2 含有绝对值的不等式恒（能）成立参数取值范围问题
方法技巧1.含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法(1)分离参数法:运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a,f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立问题中的求参数范围问题.求最值的思路:①利用基本不等式和不等式的相关性质解决;②将函数解析式用分段函数形式表示,作出函数图象,求得最值;③利用性质“||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”求最值.(2)更换主元法:求解含参数不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能解决时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简捷的解法.
(3)数形结合法:在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维与抽象思维各自的优势,可更直观解决问题.注意 不等式的解集为R是指不等式恒成立问题,而不等式的解集为⌀的对立面也是不等式恒成立问题,如f(x)>m的解集为⌀,则f(x)≤m恒成立.2.不等式能成立问题(1)在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立,等价于在区间D上f(x)max>A;(2)在区间D上存在实数x使不等式f(x)
方法技巧 证明不等式的解题策略(1)证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法.如果已知条件与待证结论的联系不明显,可考虑用分析法.其中,利用基本不等式、绝对值三角不等式、绝对值的含义等将问题转化为分段函数或函数的性质问题是常用的解题思路.(2)若待证命题是否定性命题或唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出,则考虑用反证法.
考法4 利用绝对值三角不等式或基本不等式求最值
方法技巧1.利用绝对值三角不等式求最值(1)形如f(x)=|Ax+B|+|Ax+C|的最值.因为|Ax+B|+|Ax+C|≥|Ax+B-(Ax+C)|=|B-C|,当且仅当(Ax+B)(Ax+C)≤0时取“=”,所以f(x)min=(|Ax+B|+|Ax+C|)min=|B-C|.(2)形如f(x)=|Ax+B|-|Ax+C|的最值.因为||Ax+B|-|Ax+C||≤|Ax+B-Ax-C|=|B-C|,当且仅当(Ax+B)(Ax+C)≥0时取“=”,所以f(x)max=(|Ax+B|-|Ax+C|)max=|B-C|,f(x)min=(|Ax+B|-|Ax+C|)min=-|B-C|.(3)形如f(x)=|Ax+B|+|Cx+D|或f(x)=|Ax+B|-|Cx+D|的最值由绝对值的几何意义作图可知.
考点1 绝对值不等式
考点2 不等式的证明
考法1 绝对值不等式的解法
考法2 含有绝对值的不等式恒（能）成立、参数取值范围问题
考法3 不等式的证明
考法4 利用绝对值三角不等式或基本不等式求最值
考点1 绝对值不等式考点2 不等式的证明
考点1 绝对值不等式
1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|
(3)|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)(c>0),|x-a|-|x-b|≤c(或≥c)(c>0)型不等式的解法:
注意 分区间讨论时,一是不要把区间的端点遗漏;二是原不等式的解集是若干个不等式解集的并集,而不是交集.
(4)|f(x)|>g(x),|f(x)|
4.反证法.先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立.5.放缩法. 证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的.
考法1 绝对值不等式的解法考法2 含有绝对值的不等式恒（能）成立、参数取值范围问题考法3 不等式的证明考法4 利用绝对值三角不等式或基本不等式求最值
考法1 绝对值不等式的解法
解法二 由解法一知,当x∈[12,1]时,不等式|2x-1|+f(x)≤x可转化为|x-a|≤-x+1,即x-1≤x-a≤-x+1,所以a≤1,x≤a+12.由于[12,1]⊆M,所以x≤a+12在[12,1]上恒成立,所以1≤a+12,解得a≥1,又a≤1,所以a=1,故a的取值范围为{1}.点评 本题第(2)问表面上是解绝对值不等式,实则蕴含恒成立问题,必须能从条件中悟出这一深层含义.解法一属于常规解法,通过分离参数将恒成立问题转化为最值问题,要注意对a分类讨论;解法二利用了|f(x)|≤g(x)⇔-g(x)≤f(x)≤g(x),从而也转化为恒成立问题.
方法技巧 解绝对值不等式的常用方法(1)基本性质法:a为正实数,|x|
(4)几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值问题转化为数轴上两点间的距离问题求解.(5)数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解.
考法2 含有绝对值的不等式恒（能）成立、参数取值范围问题
示例2 设函数f(x)=x+|x-a|.(1)当a=2 021时,求函数f(x)的值域;(2)若g(x)=|x+1|,求不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立时a的取值范围.思维导引
解析 (1)由题意得,当a=2 021时, f(x)=2x-2 021,x≥2 021,2 021,x<2 021,易知f(x)在[2 021,+∞)上单调递增,所以f(x)的值域为[2 021,+∞).(2)由g(x)=|x+1|,不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立,知|x+1|+|x-a|>2恒成立,即(|x+1|+|x-a|)min>2.而|x+1|+|x-a|≥|(x+1)-(x-a)|=|1+a|,………(绝对值三角不等式的应用)所以|1+a|>2,解得a>1或a<-3,所以a的取值范围是(-∞,-3)∪(1,+∞).
示例3 [2021安徽省四校联考]已知函数f(x)=|x-a|+|x-1|-3(a≠0)的一个零点为2.(1)求不等式f(x)≤2的解集;(2)若直线y=kx-2与函数f(x)的图象有公共点,求k的取值范围.思维导引 (1)由f(2)=0可求出a,再利用零点分段法解不等式即可;(2)作出y=f(x)的图象,由y=kx-2为过定点(0,-2)的动直线,利用数形结合即可求解.
考法2 含有绝对值的不等式恒（能）成立参数取值范围问题
方法技巧1.含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法(1)分离参数法:运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a,f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立问题中的求参数范围问题.求最值的思路:①利用基本不等式和不等式的相关性质解决;②将函数解析式用分段函数形式表示,作出函数图象,求得最值;③利用性质“||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”求最值.(2)更换主元法:求解含参数不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能解决时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简捷的解法.
(3)数形结合法:在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维与抽象思维各自的优势,可更直观解决问题.注意 不等式的解集为R是指不等式恒成立问题,而不等式的解集为⌀的对立面也是不等式恒成立问题,如f(x)>m的解集为⌀,则f(x)≤m恒成立.2.不等式能成立问题(1)在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立,等价于在区间D上f(x)max>A;(2)在区间D上存在实数x使不等式f(x)
方法技巧 证明不等式的解题策略(1)证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法.如果已知条件与待证结论的联系不明显,可考虑用分析法.其中,利用基本不等式、绝对值三角不等式、绝对值的含义等将问题转化为分段函数或函数的性质问题是常用的解题思路.(2)若待证命题是否定性命题或唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出,则考虑用反证法.
考法4 利用绝对值三角不等式或基本不等式求最值
方法技巧1.利用绝对值三角不等式求最值(1)形如f(x)=|Ax+B|+|Ax+C|的最值.因为|Ax+B|+|Ax+C|≥|Ax+B-(Ax+C)|=|B-C|,当且仅当(Ax+B)(Ax+C)≤0时取“=”,所以f(x)min=(|Ax+B|+|Ax+C|)min=|B-C|.(2)形如f(x)=|Ax+B|-|Ax+C|的最值.因为||Ax+B|-|Ax+C||≤|Ax+B-Ax-C|=|B-C|,当且仅当(Ax+B)(Ax+C)≥0时取“=”,所以f(x)max=(|Ax+B|-|Ax+C|)max=|B-C|,f(x)min=(|Ax+B|-|Ax+C|)min=-|B-C|.(3)形如f(x)=|Ax+B|+|Cx+D|或f(x)=|Ax+B|-|Cx+D|的最值由绝对值的几何意义作图可知.
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