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2022版高三全国统考数学（文）大一轮备考课件：第3章第3讲 导数的综合应用
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这是一份2022版高三全国统考数学（文）大一轮备考课件：第3章第3讲 导数的综合应用，共60页。PPT课件主要包含了提能力∙数学探索，考情解读，考法帮·解题能力提升，解后反思，思维导引1，图3-3-1，图3-3-2，素养探源，素养提升等内容，欢迎下载使用。
考法帮 · 解题能力提升
考法1 利用导数证明不等式考法2 不等式恒成立问题与有解问题考法3 利用导数解决零点问题
高分帮 ·“双一流”名校冲刺
数学探索1 极值点偏移问题数学探索2 利用洛必达法则求解不等式恒成立问题
考法1 利用导数证明不等式考法2 不等式恒成立问题与有解问题考法3 利用导数解决函数问题
考法1 利用导数证明不等式
考法3 对数函数的性质及应用
方法技巧 1.证明含单变量的不等式问题的方法(1)利用单调性:若f(?)在[?,?]上单调递增,则①∀?∈[?,?],有f(?)≤f(?)≤f(?);②∀?1,?2∈[?,?],且?1 考法1 利用导数证明不等式
(4)拆分函数:若直接求导比较复杂或无从下手或无法转化为一个函数的最值问题,可将待证不等式进行变形,构造两个函数,转化为两个函数的最值问题(或找到可以传递的中间量),完成证明的目标.对于一些不等式可转化为f(?)≥g(?)的形式,证明f(?)min≥g(?)max即可,在转化中,一定要注意合理性的把握,一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准.
2.解决含双变量的不等式证明问题的策略含有双变量的不等式证明问题中的双变量指的是所给的不等关系中涉及的函数有两个不同变量,处理此类问题有两个策略:一是转化,即由已知条件入手,寻找双变量所满足的关系式,并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式求解;二是巧妙构造函数,再借用导数,判断函数的单调性,从而求其最值.
f '(?)<0,当?>1时,f '(?)>0,故f(?)在[?,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.易知f(?)在?=?处连续,综上所述,当?≥1时,f(?)在(0,?)上单调递减,在[?,+∞)上单调递增;当0方法技巧 证明与数列有关的不等式的策略对于数列型不等式的证明,一般结合已知的函数特征或前面设问中得出的结论,合理变形,赋值求解,即用分析法探路,用综合法书写证明过程.熟记常用的结论,如ln ?≤?-1,ln(?+1)≤?,e?≥?+1等,可为破题提供思路.
考法2 不等式恒成立问题与有解问题
考法2 不等式恒成立问题与有解问题
考法1 不等式恒成立问题与有解问题
方法技巧1.“恒成立问题”与“有解问题”的区别(1)在量词上的区别恒成立问题中使用的量词是全称量词,如“任意、所有、全部、均、恒、总、都”等;而有解问题中使用的量词是存在量词,如“存在、有、至少一个、有解”等.
(2)在等价转换上的区别
注意 f (?)≥g(?)(f(?)≤g(?))能成立等价于f(?)≥g(?)min(f(?)≤g(?)max),f(?)≥g(?)(f(?)≤g(?))恒成立等价于f(?)≥g(?)max(f(?)≤g(?)min),应注意区分,不要搞混.2.“恒成立问题”与“有解问题”的求解策略不等式恒成立问题和有解问题一般可通过分类讨论、分离参数、构造函数、数形结合等方法来处理.
思维拓展 1.可化为恒成立问题的基本类型(1)函数f(?)在区间D上单调递增,可转化为f '(?)≥0在区间D上恒成立;(2)函数f(?)在区间D上单调递减,可转化为f '(?)≤0在区间D上恒成立;(3)∀?1,?2∈D,都有f(?1)>g(?2),可转化为f(?)min>g(?)max;(4)∀?1∈D,∃?2∈D,使得f(?1)>g(?2),可转化为f(?)min>g(?)min;(5)∀?1∈D,∃?2∈D,使得f(?1)
考法3 利用导数解决零点问题
当?→-∞时,g(?)→0;当?→-1时,g(?)→-∞;当?→+∞时,g(?)→+∞.故函数g(?)的图象如图3-3-1所示.作出直线y=?,由图可知,当?<0时,直线y=?和函数g(?)的图象有两个交点,此时函数f(?)有两个零点.故实数?的取值范围是(-∞,0).
方法技巧 利用导数解决函数零点问题的方法1.先求函数的单调区间和极值,根据函数的性质画出图象,然后将问题转化为函数图象与?轴交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想.2.构造新函数,将问题转化为研究两个函数的图象的交点问题.3.分离参变量,即由f(?)=0分离参变量,得?=φ(?),研究直线y=?与y=φ(?)的图象的交点问题.
高分帮·“双一流”名校冲刺
提能力 ∙ 数学探索数学探索1 极值点偏移问题数学探索2 利用洛必达法则求解不等式恒成立问题
数学探索1 极值点偏移问题
极值点偏移问题一般与函数的单调性、极值与最值问题等相结合,在高考试题中多作为解答题的?轴题出现,命题主要有两个方面:一是有关极值点或极值的不等式的证明;二是有关极值差的取值范围的求解.此类问题中所涉及的函数多为含参函数,并且命题的形式多,难度较大.只要掌握这类问题的实质,巧妙消元、消参、构造函数,问题便能迎刃而解.示例6 已知函数 f(?)=ln ?-??(?>0),?为常数,若函数f(?)有两个零点?1,?2(?1≠?2).证明:?1?2>e2.
则G'(s)=(s-1)es+1,G″(s)=ses>0(G″(s)为G'(s)的导函数),故G'(s)在(0,+∞)上单调递增,所以G'(s)>G'(0)=0,从而G(s)在(0,+∞)上单调递增,所以G(s)>G(0)=0,所以②式成立,故t1+t2>2,即?1?2>e2.
点评 该解法的关键是巧妙引入变量s,然后利用等量关系,把t1,t2消掉,从而构造相应的函数,转化所证问题.解题要点如下.(1)取差构元:记s=t2-t1,则t2=t1+s,利用该式消掉t2.(2)巧解消参:利用g(t1)=g(t2),构造方程,解之,利用s表示t1.(3)构造函数:依据消参之后所得不等式的形式,构造关于s的函数G(s).(4)转化求解:利用导数研究函数G(s)的单调性和最小值,从而证得结论.
所以F(?)>0对任意的?∈(0,1]恒成立,即g(1+?)>g(1-?)对任意的?∈(0,1]恒成立,由0g(1-(1-t1))=g(t1)=g(t2),即g(2-t1)>g(t2),又2-t1,t2∈(1,+∞),且g(?)在(1,+∞)上单调递减,所以2-t12,即?1?2>e2.
点评 上述解题过程中用到的解法就是解决极值点偏移问题的最基本的方法,解题过程中有以下四个解题要点:(1)求函数g(?)的极值点?0;(2)构造函数F(?)=g(?0+?)-g(?0-?);(3)确定函数F(?)的单调性;(4)确定g(?0+?)与g(?0-?)的大小关系.
3.极值点偏移问题的解法
数学探索2 利用洛必达法则求解不等式恒成立问题
考法帮 · 解题能力提升
考法1 利用导数证明不等式考法2 不等式恒成立问题与有解问题考法3 利用导数解决零点问题
高分帮 ·“双一流”名校冲刺
数学探索1 极值点偏移问题数学探索2 利用洛必达法则求解不等式恒成立问题
考法1 利用导数证明不等式考法2 不等式恒成立问题与有解问题考法3 利用导数解决函数问题
考法1 利用导数证明不等式
考法3 对数函数的性质及应用
方法技巧 1.证明含单变量的不等式问题的方法(1)利用单调性:若f(?)在[?,?]上单调递增,则①∀?∈[?,?],有f(?)≤f(?)≤f(?);②∀?1,?2∈[?,?],且?1 考法1 利用导数证明不等式
(4)拆分函数:若直接求导比较复杂或无从下手或无法转化为一个函数的最值问题,可将待证不等式进行变形,构造两个函数,转化为两个函数的最值问题(或找到可以传递的中间量),完成证明的目标.对于一些不等式可转化为f(?)≥g(?)的形式,证明f(?)min≥g(?)max即可,在转化中,一定要注意合理性的把握,一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准.
2.解决含双变量的不等式证明问题的策略含有双变量的不等式证明问题中的双变量指的是所给的不等关系中涉及的函数有两个不同变量,处理此类问题有两个策略:一是转化,即由已知条件入手,寻找双变量所满足的关系式,并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式求解;二是巧妙构造函数,再借用导数,判断函数的单调性,从而求其最值.
f '(?)<0,当?>1时,f '(?)>0,故f(?)在[?,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.易知f(?)在?=?处连续,综上所述,当?≥1时,f(?)在(0,?)上单调递减,在[?,+∞)上单调递增;当0方法技巧 证明与数列有关的不等式的策略对于数列型不等式的证明,一般结合已知的函数特征或前面设问中得出的结论,合理变形,赋值求解,即用分析法探路,用综合法书写证明过程.熟记常用的结论,如ln ?≤?-1,ln(?+1)≤?,e?≥?+1等,可为破题提供思路.
考法2 不等式恒成立问题与有解问题
考法2 不等式恒成立问题与有解问题
考法1 不等式恒成立问题与有解问题
方法技巧1.“恒成立问题”与“有解问题”的区别(1)在量词上的区别恒成立问题中使用的量词是全称量词,如“任意、所有、全部、均、恒、总、都”等;而有解问题中使用的量词是存在量词,如“存在、有、至少一个、有解”等.
(2)在等价转换上的区别
注意 f (?)≥g(?)(f(?)≤g(?))能成立等价于f(?)≥g(?)min(f(?)≤g(?)max),f(?)≥g(?)(f(?)≤g(?))恒成立等价于f(?)≥g(?)max(f(?)≤g(?)min),应注意区分,不要搞混.2.“恒成立问题”与“有解问题”的求解策略不等式恒成立问题和有解问题一般可通过分类讨论、分离参数、构造函数、数形结合等方法来处理.
思维拓展 1.可化为恒成立问题的基本类型(1)函数f(?)在区间D上单调递增,可转化为f '(?)≥0在区间D上恒成立;(2)函数f(?)在区间D上单调递减,可转化为f '(?)≤0在区间D上恒成立;(3)∀?1,?2∈D,都有f(?1)>g(?2),可转化为f(?)min>g(?)max;(4)∀?1∈D,∃?2∈D,使得f(?1)>g(?2),可转化为f(?)min>g(?)min;(5)∀?1∈D,∃?2∈D,使得f(?1)
考法3 利用导数解决零点问题
当?→-∞时,g(?)→0;当?→-1时,g(?)→-∞;当?→+∞时,g(?)→+∞.故函数g(?)的图象如图3-3-1所示.作出直线y=?,由图可知,当?<0时,直线y=?和函数g(?)的图象有两个交点,此时函数f(?)有两个零点.故实数?的取值范围是(-∞,0).
方法技巧 利用导数解决函数零点问题的方法1.先求函数的单调区间和极值,根据函数的性质画出图象,然后将问题转化为函数图象与?轴交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想.2.构造新函数,将问题转化为研究两个函数的图象的交点问题.3.分离参变量,即由f(?)=0分离参变量,得?=φ(?),研究直线y=?与y=φ(?)的图象的交点问题.
高分帮·“双一流”名校冲刺
提能力 ∙ 数学探索数学探索1 极值点偏移问题数学探索2 利用洛必达法则求解不等式恒成立问题
数学探索1 极值点偏移问题
极值点偏移问题一般与函数的单调性、极值与最值问题等相结合,在高考试题中多作为解答题的?轴题出现,命题主要有两个方面:一是有关极值点或极值的不等式的证明;二是有关极值差的取值范围的求解.此类问题中所涉及的函数多为含参函数,并且命题的形式多,难度较大.只要掌握这类问题的实质,巧妙消元、消参、构造函数,问题便能迎刃而解.示例6 已知函数 f(?)=ln ?-??(?>0),?为常数,若函数f(?)有两个零点?1,?2(?1≠?2).证明:?1?2>e2.
则G'(s)=(s-1)es+1,G″(s)=ses>0(G″(s)为G'(s)的导函数),故G'(s)在(0,+∞)上单调递增,所以G'(s)>G'(0)=0,从而G(s)在(0,+∞)上单调递增,所以G(s)>G(0)=0,所以②式成立,故t1+t2>2,即?1?2>e2.
点评 该解法的关键是巧妙引入变量s,然后利用等量关系,把t1,t2消掉,从而构造相应的函数,转化所证问题.解题要点如下.(1)取差构元:记s=t2-t1,则t2=t1+s,利用该式消掉t2.(2)巧解消参:利用g(t1)=g(t2),构造方程,解之,利用s表示t1.(3)构造函数:依据消参之后所得不等式的形式,构造关于s的函数G(s).(4)转化求解:利用导数研究函数G(s)的单调性和最小值,从而证得结论.
所以F(?)>0对任意的?∈(0,1]恒成立,即g(1+?)>g(1-?)对任意的?∈(0,1]恒成立,由0
点评 上述解题过程中用到的解法就是解决极值点偏移问题的最基本的方法,解题过程中有以下四个解题要点:(1)求函数g(?)的极值点?0;(2)构造函数F(?)=g(?0+?)-g(?0-?);(3)确定函数F(?)的单调性;(4)确定g(?0+?)与g(?0-?)的大小关系.
3.极值点偏移问题的解法
数学探索2 利用洛必达法则求解不等式恒成立问题
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