2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：7.2 一元二次不等式及其解法

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：7.2 一元二次不等式及其解法，共7页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。

【知识重温】
一、必记2个知识点
1．一元二次不等式的特征
一元二次不等式的二次项(最高次项)系数不等于0.
2．一元二次不等式的解法
二、必明2个易误点
1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．
2．当Δ<0时，易混ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R还是∅.
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( )
(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( )
二、教材改编
2．[必修5·P80习题T2改编]设集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B为函数y＝eq \f(1,\r(x－1))的定义域，则A∩B等于( )
A．(1,2) B．[1,2]
C．[1,2) D．(1,2]
3．[必修5·P104习题T3改编]不等式ax2＋bx＋2>0的解集是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,3)))，则a＋b的值是________．


三、易错易混
4．不等式eq \f(x－3,x－1)≤0的解集为( )
A．{x|x<1或x≥3} B．{x|1≤x≤3}
C．{x|15．函数y＝eq \f(1,\r(7－6x－x2))的定义域为( )
A．[－7,1]
B．(－7,1)
C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)
D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)


四、走进高考
6．[2019·全国卷Ⅱ]设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝( )
A．(－∞，1) B．(－2,1)
C．(－3，－1) D．(3，＋∞)

eq \x(考点一) 一元二次不等式的解法[自主练透型]
1．[2021·河北唐山摸底]已知集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|0≤x≤8}，则A∩B＝( )
A．[0,6) B．[0,1) C．(0,6) D．(－1,8]
2．函数y＝eq \f(lg1－x,\r(－2x2＋12x＋32))的定义域为________．
3．不等式eq \f(2x＋1,x－5)≥－1的解集为________．

悟·技法
解一元二次不等式的4个步骤
考点二 含参数的一元二次不等式的解法
[互动讲练型]
[例1] 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.
悟·技法
含参数一元二次不等式求解步骤
(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向．
(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数．
(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小．
(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．解关于x的不等式(ax－1)(x＋1)>0.
考点三 一元二次不等式恒成立问题
[分层深化型]
考向一：形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围
[例2] 若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
悟·技法
一元二次不等式在R上恒成立的条件
考向二：形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围
[例3] 若不等式x2≥m＋4x在[0,1]上恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≤－3或m≥0 B．m≥－3
C．－3≤m≤0 D．m≤－3
悟·技法
形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)恒成立问题的求解思路
(1)根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；
(2)数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围.
考向三：给定参数范围内的恒成立问题
[例4] 已知a∈[－1,1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为( )
A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1,3)
悟·技法
已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法．把参数当作函数的自变量，得到一个新的函数，然后利用新函数求解.
[同类练]——(着眼于触类旁通)
2．关于x的一元二次不等式2x2－8x＋6－m>0对任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
[变式练]——(着眼于举一反三)
3．[2021·山西大同月考]若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在区间[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是________．



[拓展练]——(着眼于迁移应用)
4．求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x的取值范围．
第二节 一元二次不等式及其解法
【知识重温】
①{x|x＜x1或x＞x2} ②{x|x≠x1} ③R ④{x|x1＜x＜x2} ⑤∅ ⑥∅
【小题热身】
1．答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
2．解析：A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，
由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}，
所以A∩B＝{x|1答案：D
3．解析：由题意知－eq \f(1,2)，eq \f(1,3)是ax2＋bx＋2＝0的两根，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(1,3)＝－\f(b,a)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×\f(1,3)＝\f(2,a)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－12，,b＝－2，))所以a＋b＝－14.
答案：－14
4．解析：由eq \f(x－3,x－1)≤0，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3x－1≤0，,x－1≠0，))
解得1答案：C
5．解析：由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7答案：B
6．解析：A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x<2或x>3}，
B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，∴A∩B＝{x|x<1}．
故选A.
答案：A
课堂考点突破
考点一
1．解析：由A＝{x|x2－5x－6<0}，得A＝{x|－1答案：A
2．解析：由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x2＋12x＋32>0，,1－x>0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－6x－16<0，,1－x>0，))解得－2即原函数的定义域为{x|－2答案：(－2,1)
3．解析：移项通分得eq \f(3x－4,x－5)≥0，等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－4x－5≥0，,x－5≠0，))于是原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤\f(4,3)或x>5)))).
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤\f(4,3)或x>5))))
考点二
例1 解析：原不等式可变形为(x－a)·(x－a2)>0，则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2，
(1)当a<0时，有aa2，此时原不等式的解集为{x|xa2}；
(2)当0a2，即xa，此时原不等式的解集为{x|xa}；
(3)当a>1时，有a2>a，即xa2，此时原不等式的解集为{x|xa2}；
(4)当a＝0时，有x≠0；∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
(5)当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；
综上可知：
当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．
变式练
1．解析：若a＝0，则原不等式为一元一次不等式，解集为(－∞，－1)．
当a≠0时，方程(ax－1)(x＋1)＝0的两根为x1＝eq \f(1,a)，x2＝－1.
当a>0时，解集为(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，＋∞))；
当－1当a<－1，即0>eq \f(1,a)>－1时，解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a)))；
当a＝－1时，解集为∅.
考点三
例2 解析：当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，
对一切x∈R恒成立．
当a≠2时，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2<0，,Δ＝4a－22＋16a－2<0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<2,－2所以实数a的取值范围是(－2,2]．
答案：(－2,2]
例3 解析：因为不等式x2≥m＋4x在[0,1]上恒成立，
所以只需m≤(x2－4x)min，x∈[0,1]，
令f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，x∈[0,1]，
所以f(x)min＝f(1)＝－3，
所以m≤－3.故选D.
答案：D
例4 解析：把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则由f(a)>0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，得f(－1)＝x2－5x＋6>0，且f(1)＝x2－3x＋2>0即可，解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－5x＋6>0，,x2－3x＋2>0，))得x<1或x>3.故选C.
答案：C
同类练
2．解析：解法一 要使2x2－8x＋6－m>0恒成立，
∵a＝2>0，∴只需Δ＝64－8(6－m)<0，∴m<－2.
故m的取值范围是(－∞，－2)．
解法二 不等式2x2－8x＋6－m>0对任意的x∈R恒成立，则只需m<2x2－8x＋6对任意的x∈R恒成立．
∵g(x)＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2.
∴g(x)＝2x2－8x＋6在x∈R上最小值为－2.
∴m<－2.
故m的取值范围是(－∞，－2)．
变式练
3．解析：通解 当x＝0时，1≥0对任意的a∈R恒成立，当x≠0时，因为不等式x2＋2ax＋1≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，所以x2＋2ax＋1＝0在R上无解或有两个相等的实根或x2＋2ax＋1＝0有两个不等的实根且两根均小于0，所以Δ＝4a2－4≤0或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a2－4>0，,－2a<0，))解得a≥－1.
优解 因为x＝0时，1≥0对任意的a∈R恒成立，当x≠0时，不等式可化为－2a≤x＋eq \f(1,x)(x∈(0，＋∞))，由基本不等式得x＋eq \f(1,x)≥2，当且仅当x＝eq \f(1,x)时取等号，所以易知－2a≤2，解得a≥－1.
答案：[－1，＋∞)
拓展练
4．解析：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.
令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.
因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以
(1)若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．
(2)若x≠3，则由一次函数的单调性，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－1>0，,f1>0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－7x＋12>0，,x2－5x＋6>0，))
解得x<2或x>4.
故x的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两不等实根
x1，x2，(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实根
ax2＋bx＋c
＞0(a＞0)
的解集
①____________
②____________
③____________
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
④____________
⑤____________
⑥____________
不等式类型
恒成立条件
ax2＋bx＋c>0
a>0，Δ<0
ax2＋bx＋c≥0
a>0，Δ≤0
ax2＋bx＋c<0
a<0，Δ<0
ax2＋bx＋c≤0
a<0，Δ≤0