2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系，共6页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。

【知识重温】
一、必记4个知识点
1．直线与圆的位置关系
判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：
(1)代数法：利用判别式
eq \(――→,\s\up7(判别式),\s\d5(Δ＝b2－4ac))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＞0⇔① ,Δ＝0⇔② ,Δ＜0⇔③ ))
(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系d＜r⇔④______；d＝r⇔⑤______；d＞r⇔⑥______.
2．圆的切线方程
若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为⑦____________.
3．直线与圆相交
直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有r2＝⑧____________，即l＝2eq \r(r2－d2)，求弦长或已知弦长求解问题，一般用此公式．
4．两圆位置关系的判断
两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝req \\al(2,1)(r＞0)，(x－a2)2＋(y－b2)2＝req \\al(2,2)(r2＞0)的圆心距为d，则
(1)d＞r1＋r2⇔两圆⑨________；
(2)d＝r1＋r2⇔两圆⑩________；
(3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2(r1≠r2)⇔两圆⑪________；
(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆⑫________；
(5)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆⑬________.
二、必明2个易误点
1．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在情形．
2．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )
(4)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．( )
二、教材改编
2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
3．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
三、易错易混
4．已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3,1)作圆C的切线，则切线方程为________．
5．若直线过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(3,2)))且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为________．


四、走进高考
6．[2020·天津卷]已知直线x－eq \r(3)y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为________．

eq \x(考点一) 直线与圆的位置关系[自主练透型]
1．[2021·山东新泰一中月考]直线ax＋by－a－b＝0(a2＋b2≠0)与圆x2＋y2－2＝0的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交或相切 D．相交
2．[2021·大连市双基测试]圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是__________．


悟·技法
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
考点二 圆的切线与弦长问题[互动讲练型]
考向一：直线与圆的相切问题
[例1] [2020·浙江卷]已知直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝________，b＝________.
考向二：与圆有关的弦长问题
[例2] [2021·遵义航天高级中学月考]直线l：x＋ay＝2被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为2eq \r(3)，则直线l的斜率为( )
A.eq \r(3) B．－eq \r(3)
C.eq \f(\r(3),3) D．±eq \f(\r(3),3)
悟·技法
1.求过圆上一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式可写出切线方程．
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的两种方法
3.求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法：直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆C的半径为r，则|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(直线l的斜率k存在).
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．[2021·安徽皖东四校联考]若直线l：4x－ay＋1＝0与圆C：(x＋2)2＋(y－2)2＝4相切，则实数a的值为( )
A.eq \f(15,28) B.eq \f(28,15)
C.eq \f(15,28)或1 D.eq \f(28,15)或1
2.[2021·湖北八校联考]已知圆C的圆心在y轴上，点M(3,0)在圆C上，且直线2x－y－1＝0经过线段CM的中点，则圆C的标准方程是( )
A．x2＋(y－3)2＝18 B．x2＋(y＋3)2＝18
C．x2＋(y－4)2＝25 D．x2＋(y＋4)2＝25

考点三 圆与圆的位置关系[互动讲练型]
[例3] 已知两圆C1: x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
悟·技法
1.判断两圆位置关系的方程
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长eq \f(l,2)，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解.
[变式练]——(着眼于举一反三)
3．[2021·安徽黄山五校联考]已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq \r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
4．若圆(x＋1)2＋y2＝m与圆x2＋y2－4x＋8y－16＝0内切，则实数m的值为( )
A．1 B．11
C．121 D．1或121


第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
【知识重温】
①相交 ②相切 ③相离 ④相交 ⑤相切
⑥相离 ⑦＋＝r2 ⑧d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2 ⑨外离 ⑩外切 ⑪相交 ⑫内切 ⑬内含
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为eq \r(2)，
∴eq \f(|a－0＋1|,\r(12＋－12))≤eq \r(2)，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
答案：C
3．解析：两圆圆心为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝eq \r(42＋12)＝eq \r(17).
∵3－2答案：B
4．解析：由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，所以eq \f(|k×0－0＋1－3k|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝－eq \f(4,3)，所以切线方程为4x＋3y－15＝0.综上，切线方程为x＝3或4x＋3y－15＝0.
答案：x＝3或4x＋3y－15＝0
5．解析：当直线的斜率不存在时，该直线的方程为x＝－3，代入圆的方程得y＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足题意；当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为y＋eq \f(3,2)＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－eq \f(3,2)＝0，则圆心到直线的距离d＝eq \f(|6k－3|,2\r(k2＋1)) .则2eq \r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|6k－3|,2\r(k2＋1))))2)＝8，解得k＝－eq \f(3,4).所以直线方程为3x＋4y＋15＝0.综上所述，所求直线方程为x＝－3或3x＋4y＋15＝0.
答案：x＝－3或3x＋4y＋15＝0
6．解析：依题意得，圆心(0,0)到直线x－eq \r(3)y＋8＝0的距离d＝eq \f(8,2)＝4，因此r2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2)))2＝25，又r>0，所以r＝5.
答案：5
课堂考点突破
考点一
1．解析：由已知得，圆的圆心为(0,0)，半径为eq \r(2)，圆心到直线的距离为eq \f(|a＋b|,\r(a2＋b2))，其中(a＋b)2≤2(a2＋b2)，所以圆心到直线的距离eq \f(|a＋b|,\r(a2＋b2))≤eq \r(2)，所以直线与圆相交或相切，故选C.
答案：C
2．解析：解法一 将直线方程代入圆方程，
得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，
直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，
解得k∈(－eq \r(3)，eq \r(3))．
解法二 圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝eq \f(2,\r(k2＋1))，
直线与圆没有公共点的充要条件是d＞1，即eq \f(2,\r(k2＋1))＞1，
解得k∈(－eq \r(3)，eq \r(3))．
答案：k∈(－eq \r(3)，eq \r(3))
考点二
例1 解析：解法一：因为直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1，圆(x－4)2＋y2＝1都相切，所以eq \f(|b|,\r(1＋k2))＝eq \f(|4k＋b|,\r(1＋k2))＝1，得k＝eq \f(\r(3),3)，b＝－eq \f(2\r(3),3).
解法二：因为直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1，圆(x－4)2＋y2＝1都相切，所以直线y＝kx＋b必过两圆心连线的中点(2,0)，所以2k＋b＝0.设直线y＝kx＋b的倾斜角为θ，则sin θ＝eq \f(1,2)，又k>0，所以θ＝eq \f(π,6)，所以k＝taneq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3)，b＝－2k＝－eq \f(2\r(3),3).
答案：eq \f(\r(3),3) －eq \f(2\r(3),3)
例2 解析：圆心(0,0)到直线l：x＋ay－2＝0的距离d＝eq \f(2,\r(1＋a2))，因为直线l被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为2eq \r(3)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,\r(1＋a2))))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),2)))2＝4，解得a＝±eq \r(3)，所以直线l的斜率为－eq \f(1,a)＝±eq \f(\r(3),3).
答案：D
变式练
1．解析：根据题意，得圆心C(－2,2)到直线l：4x－ay＋1＝0的距离d＝eq \f(|－2×4＋－a×2＋1|,\r(16＋a2))＝2，解得a＝eq \f(15,28).故选A.
答案：A
2．解析：设圆C的圆心坐标为(0，b)，则线段CM的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(b,2)))，因为直线2x－y－1＝0经过线段CM的中点，所以2×eq \f(3,2)－eq \f(b,2)－1＝0，解得b＝4，所以圆C的圆心坐标为(0,4)，半径r＝|CM|＝eq \r(0－32＋4－02)＝5，所以圆C的标准方程是x2＋(y－4)2＝25，故选C.
答案：C
考点三
例3 解析：(1)证明：圆C1的圆心为C1(1,3)，半径r1＝eq \r(11)，圆C2的圆心为C2(5,6)，半径r2＝4，两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝eq \r(11)＋4，|r1－r2|＝4－eq \r(11)，∴|r1－r2|(2)圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减，得4x＋3y－23＝0，
∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.
圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离＝eq \f(|20＋18－23|,\r(16＋9))＝3，故公共弦长为2eq \r(16－9)＝2eq \r(7).
变式练
3．解析：将圆M的方程化为x2＋(y－a)2＝a2，则圆心M(0，a)，半径r1＝a.M到直线x＋y＝0的距离d＝eq \f(a,\r(2))，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(2))))2＋2＝a2，得a＝2，故M(0,2)，r1＝2.又圆N的圆心N(1,1)，半径r2＝1，所以|MN|＝eq \r(2)，而|r1－r2|<|MN|<|r1＋r2|，所以两圆相交．故选B.
答案：B
4．解析：圆(x＋1)2＋y2＝m的圆心为(－1,0)，半径为eq \r(m)；圆x2＋y2－4x＋8y－16＝0，即(x－2)2＋(y＋4)2＝36，故圆心为(2，－4)，半径为6.由两圆内切得eq \r(32＋42)＝|eq \r(m)－6|，解得m＝1或121.故选D.
答案：D
几
何
法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程
代
数
法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出