2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：9.3 圆的方程

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：9.3 圆的方程，共7页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。


【知识重温】
一、必记3个知识点
1．圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，方程表示圆心为①________，半径为②________的圆．
2．圆的一般方程
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(1)当D2＋E2－4F＞0时，表示圆心为③____________，半径为④____________________的圆；
(2)当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点⑤____________；
(3)当D2＋E2－4F＜0时，它不表示任何图形．
3．点与圆的位置关系
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径r，若点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝⑥________；
若点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2⑦________；
若点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2⑧________.
二、必明1个易误点
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F>0这一成立条件．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )
(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．( )
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．( )
二、教材改编
2．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
3．△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，则其外接圆的方程为________________．

三、易错易混
4．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是( )
A．(－∞，－eq \r(2))∪(eq \r(2)，＋∞)
B．(－∞，－2eq \r(2))∪(2eq \r(2)，＋∞)
C．(－∞，－eq \r(3))∪(eq \r(3)，＋∞)
D．(－∞，－2eq \r(3))∪(2eq \r(3)，＋∞)
5．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )
A．－1C．a>1或a<－1 D．a＝±4
四、走进高考
6．[2016·全国卷Ⅰ]圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
A．－eq \f(4,3) B．－eq \f(3,4)
C.eq \r(3) D．2

eq \x(考点一) 求圆的方程[自主练透型]
1．[2021·石家庄质检]若圆C的半径为1，点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为( )
A．x2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
2．若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为( )
A．(x－2)2＋(y±2)2＝3 B．(x－2)2＋(y±eq \r(3))2＝3
C．(x－2)2＋(y±2)2＝4 D．(x－2)2＋(y±eq \r(3))2＝4
3．[2021·广东珠海联考]已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2


悟·技法

1.求圆的方程的两种方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
2．确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.
考点二 与圆有关的最值问题[互动讲练型]
考向一：借助圆的几何性质求最值
[例1] 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则eq \f(y,x)的最大值为________，最小值为________．
悟·技法
与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
(2)与圆上点(x，y)有关的代数式的最值的常见类型及解法．
①形如u＝eq \f(y－b,x－a)型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.
考向二：建立函数关系求最值
[例2] (1)若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，点A(－1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．2 B．2eq \r(2)
C．4 D．4eq \r(2)
(2)[2021·山东潍坊模拟]设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则Peq \(A,\s\up6(→))·Peq \(B,\s\up6(→))的最大值为________．
类题通法
建立函数关系式求最值
根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为( )
A．6 B.eq \f(11,2)
C．8 D.eq \f(21,2)
2．已知实数x，y满足(x－2)2＋(y－1)2＝1，则z＝eq \f(y＋1,x)的最大值与最小值分别为________和________．


考点三 与圆有关的轨迹问题[互动讲练型]
[例3] 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
第三节 圆的方程
【知识重温】
①(a，b) ②r ③eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
④eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)
⑤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) ⑥r2 ⑦＞r2 ⑧＜r2
【小题热身】
1．答案：(1)√ (2)× (3)×
2．解析：显然A，B两点关于直线y＝x对称，令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,x＋y－2＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))
所以圆心坐标是(1,1)，半径r＝eq \r(1－12＋－1－12)＝2，
故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
答案：C
3．解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－D＋5E＋F＋26＝0，,－2D－2E＋F＋8＝0，,5D＋5E＋F＋50＝0.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－4，,E＝－2，,F＝－20，))
故所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.
答案：x2＋y2－4x－2y－20＝0
4．解析：将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(m,2)))2＋(y－1)2＝eq \f(m2,4)－2.由其表示圆可得eq \f(m2,4)－2>0，解得m<－2eq \r(2)或m>2eq \r(2).
答案：B
5．解析：因为点(1,1)在圆内，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，即－1答案：A
6．解析：由题意可知，圆心为(1,4)，所以圆心到直线的距离d＝eq \f(|a＋4－1|,\r(a2＋12))＝1，解得a＝－eq \f(4,3)，故选A.
答案：A
课堂考点突破
考点一
1．解析：因为点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1.
答案：A
2．解析：因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径r＝2，设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±eq \r(3)，选D.
答案：D
3．解析：由题意设圆心坐标为(a，－a)，则有eq \f(|a－－a|,\r(2))＝eq \f(|a－－a－4|,\r(2))，即|a|＝|a－2|，解得a＝1.故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2)，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选B.
答案：B
考点二
例1 解析：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，eq \r(3)为半径的圆.eq \f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值和最小值，此时eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k＝±eq \r(3).
所以eq \f(y,x)的最大值为eq \r(3)，最小值为－eq \r(3).
答案：eq \r(3) －eq \r(3)
例2 解析：(1)由已知可得线段AB是圆x2＋y2＝1的直径，且|AB|＝2，∴∠APB＝90°.
∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝4，
由基本不等式可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PA|＋|PB|,2)))2≤eq \f(|PA|2＋|PB|2,2)＝2，当且仅当|PA|＝|PB|时取等号，∴|PA|＋|PB|≤2eq \r(2).
即|PA|＋|PB|的最大值是2eq \r(2).
(2)由题意知Peq \(A,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，Peq \(B,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，
所以Peq \(A,\s\up6(→))·Peq \(B,\s\up6(→))＝x2＋y2－4.
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，
所以Peq \(A,\s\up6(→))·Peq \(B,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.
由圆的方程x2＋(y－3)2＝1知2≤y≤4，
所以当y＝4时，Peq \(A,\s\up6(→))·Peq \(B,\s\up6(→))的值最大，最大值为12.
答案：(1)B (2)12
变式练
1．解析：
x2＋y2－2y＝0可化为x2＋(y－1)2＝1，则圆C为以(0,1)为圆心，1为半径的圆．如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小，直线AB的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,－3)＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离d＝eq \f(16,5)，又|AB|＝eq \r(32＋42)＝5，所以△ABP的面积的最小值为eq \f(1,2)×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)－1))＝eq \f(11,2).
答案：B
2．解析：由题意，得eq \f(y＋1,x)表示过点A(0，－1)和圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上的动点(x，y)的直线的斜率．当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0，则eq \f(|2k－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq \f(4±\r(7),3)，所以zmax＝eq \f(4＋\r(7),3)，zmin＝eq \f(4－\r(7),3).
答案：eq \f(4＋\r(7),3) eq \f(4－\r(7),3)
考点三
例3 解析：(1)设AP的中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知，
P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
变式练
3．解析：(1)设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1.
又kAC＝eq \f(y,x＋1)，kBC＝eq \f(y,x－3)，且kAC·kBC＝－1，
所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－3)＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．
(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝eq \f(x0＋3,2)(x≠3且x≠1)，y＝eq \f(y0＋0,2)，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上运动，
将x0，y0代入该方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．
悟·技法
[变式练]——(着眼于举一反三)
3．已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC中点M的轨迹方程．