2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：2.5 指数与指数函数

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：2.5 指数与指数函数，共7页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。


【知识重温】
一、必记4个知识点
1．根式
(1)根式的概念
(2)两个重要公式
(ⅰ)eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(⑥ ,|a|＝\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(⑦ a≥0,⑧ a<0)))) eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(n为奇数,,n为偶数))；
(ⅱ)(eq \r(n,a))n＝⑨________(注意a必须使eq \r(n,a)有意义)．
2．分数指数幂
(1)正数的正分数指数幂是：＝⑩____________(a>0，m，n∈N*，n>1)．
(2)正数的负分数指数幂是：＝⑪______________＝⑫______________(a>0，m，n∈N*，n>1)．
(3)0的正分数指数幂是⑬________，0的负分数指数幂无意义．
3．有理指数幂的运算性质
(1)ar·as＝⑭________(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝⑮________(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝⑯________(a>0，b>0，r∈Q)．
4．指数函数的图象与性质
二、必明2个易误点
1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．
2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1还是0【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1) eq \r(4,π－44)＝π－4.( )
(2) ＝＝eq \r(－1).( )
(3)函数y＝a－x(a>0且a≠1)是R上的增函数．( )
(4)函数y＝ax(a>0且a≠1)与x轴有且只有一个交点．( )
(5)若am>an，则m>n.( )
(6)函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．( )
二、教材改编
2．如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝6x，y＝(eq \f(1,2))x的一个是( )
A．① B．② C．③ D．④
3．已知函数f(x)＝a－eq \f(2,2x＋1)(a∈R)为奇函数，则a＝________.

三、易错易混
4．式子a eq \r(－\f(1,a))化简得( )
A.eq \r(－a) B.eq \r(a) C．－eq \r(a) D．－eq \r(－a)
5．若函数y＝ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为eq \f(a,2)，则a的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(2,3)或2 D.eq \f(1,2)或eq \f(3,2)

四、走进高考
6．[2019·全国卷Ⅰ]已知a＝lg20.2，b＝20.2，c＝0.20.3则( )
A．aC．ceq \x(考点一) 指数幂的化简与求值[自主练透型]
1．下列等式不成立的是( )

A．(－2)－2＝eq \f(1,4) B．2a－3＝eq \f(1,2a3)(a>0)
C．(－2)0＝1 D．(a－eq \f(1,4))4＝eq \f(1,a)(a>0)
2．化简：(a2·eq \r(5,a3))÷(eq \r(a)·eq \r(10,a9))＝________(用分数指数幂表示)．
3. eq \r(6\f(1,4))＋－10×(eq \r(5)－2)－1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,9)))0＋的值为________．
4．若＋＝3，则的值为________．
悟·技法
[注意] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一.
考点二 指数函数的图象及应用[互动讲练型]
[例1] (1)[2021·贵阳监测]已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是( )
A．(1,6) B．(1,5)
C．(0,5) D．(5,0)
(2)函数f(x)＝21－x的大致图象为( )
悟·技法
有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
2．若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．
考点三 指数函数的性质及其应用
[分层深化型]
考向一：比较指数幂的大小
[例2] [2021·许昌四校联考]设a，b满足0A．aa考向二：解指数不等式
[例3] 不等式>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋4的解集为__________．
考向三：探究指数型函数的性质
[例4] (1)函数f(x)＝的单调递减区间为________．
(2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
悟·技法
应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略
[提醒] 在研究指数型函数的单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论.
[变式练]——(着眼于举一反三)
3．已知a＝，b＝，c＝，则下列关系式中正确的是( )
A．cC．a4．若≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x－2，则函数y＝2x的值域是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，2)) B. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，2))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,8))) D．[2，＋∞)
5．[2019·北京卷]设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________．
第五节 指数与指数函数
【知识重温】
①xn＝a ②正数 ③负数 ④两个 ⑤相反数 ⑥a ⑦a ⑧－a ⑨a ⑩eq \r(n,am) ⑪ ⑫eq \f(1,\r(n,am)) ⑬0 ⑭ar＋s ⑮ars ⑯arbr ⑰R ⑱(0，＋∞) ⑲增函数 ⑳减函数
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
(5)× (6)√
2．解析：已知其中的三个函数都是指数函数，指数函数的图象一定过点(0,1)，图象②不过点(0,1)，故选B.
答案：B
3．解析：由f(－x)＝－f(x)，
得：a－eq \f(2,2－x＋1)＝－a＋eq \f(2,2x＋1)，
即2a＝eq \f(2,2x＋1)＋eq \f(2,2－x＋1)，
∵eq \f(2,2x＋1)＋eq \f(2,2－x＋1)＝2，∴a＝1.
答案：1
4．解析：由题意知a<0，
∴a eq \r(－\f(1,a))＝aeq \r(－\f(a,a2))＝－eq \r(－a).故选D.
答案：D
5．解析：当a>1时，y＝ax在[1,2]上的最大值为a2，最小值为a，
故有a2－a＝eq \f(a,2)，解得a＝eq \f(3,2)或a＝0(舍去)
当0解得a＝eq \f(1,2)或a＝0(舍去)．
综上a＝eq \f(3,2)或a＝eq \f(1,2).
答案：D
6．解析：∵a＝lg20.2b＝20.2>20＝1,0∴a答案：B
课堂考点突破
考点一
1．解析：对于A，(－2)－2＝eq \f(1,4)，故A正确；对于B,2a－3＝eq \f(2,a3)，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C正确；对于D，(a－eq \f(1,4))4＝eq \f(1,a)，故D正确．
答案：B
2．解析：(a2·eq \r(5,a3))÷(eq \r(a)·eq \r(10,a9))＝(a2·)÷(·)＝÷＝＝
答案：
3．解析：原式＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))2)＋－10×(eq \r(5)＋2)－1＋＝eq \f(5,2)＋10eq \r(5)－10eq \r(5)－20－1＋2－2＝2.5－21＋0.25＝－18.25.
答案：－18.25
4．解析：由＋＝3，得x＋x－1＋2＝9，所以x＋x－1＝7，所以x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47.因为＋＝(＋)3－3(＋)＝27－9＝18，所以原式＝eq \f(18＋2,47＋3)＝eq \f(2,5).
答案：eq \f(2,5)
考点二
例1 解析：(1)由x－1＝0得x＝1，f(1)＝4＋2a0＝6.所以函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点(1,6)．
(2)函数f(x)＝21－x在R上是减函数，其图象过点(0,2)，故选A.
答案：(1)A (2)A
变式练
1．解析：函数y＝ax－a的图象过点(1,0)，排除A，B，D.
答案：C
2．解析：函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(－∞，0]．
答案：(－∞，0]
考点三
例2 解析：指数函数y＝ax(0ab，A错误；指数函数y＝bx(0bb，B错误；幂函数y＝xa(0ab，D错误．
答案：C
例3 解析：∵ >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋4，
∴ >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋4，
∴x2－2x答案：{x|－1例4 解析：(1)设u＝－x2＋2x＋1，
因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))u为减函数，所以函数y＝的减区间，即函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．
又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，
所以所求减区间为(－∞，1]．
(2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，＋∞))上单调递增，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(m,2)))上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有eq \f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
答案：(1)(－∞，1] (2)(－∞，4]
变式练
3．解析：把b化简为b＝，而函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在R上为减函数，又eq \f(4,3)>eq \f(2,3)>eq \f(1,3)，所以<<，即b＜a＜c.
答案：B
4．解析：因为≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x－2＝24－2x，
则x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，所以－3≤x≤1，所以eq \f(1,8)≤y≤2.
答案：B
5．解析：∵f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)的定义域为R，
∴f(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，∴a＝－1.
∵f(x)＝ex＋ae－x，∴f′(x)＝ex－ae－x＝ex－eq \f(a,ex).
∵f(x)是R上的增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，
即ex≥eq \f(a,ex)在R上恒成立，∴a≤e2x在R上恒成立．
又e2x>0，∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0]．
答案：－1 (－∞，0]
根式的概念
符号表示
备注
如果①________，那么x叫做a的n次方根.
n>1且
n∈N*
当n为奇数时，正数的n次方根是一个②________，负数的n次方根是一个③________.
eq \r(n,a)
零的n次
方根是零
当n为偶数时，正数的n次方根有④________________，它们互为⑤________________.
±eq \r(n,a)
负数没有
偶次方根
a>1
0图象
定义域
⑰____________
值域
⑱____________
性质
(1)过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
(2)在(－∞，＋∞)上是⑲________
(2)在(－∞，＋∞)上是⑳________
题型
求解策略
比较幂值
的大小
(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小
解简单指数
不等式
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解
探究指数型
函数的性质
与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致