2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：4.5 三角恒等变换

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：4.5 三角恒等变换，共3页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。


【知识重温】
一、必记3个知识点
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.与二倍角有关的公式变形
(1)2sin αcs α＝sin 2α，sin αcs α＝eq \f(1,2)sin 2α，cs α＝eq \f(sin 2α,2sin α)，cs2α－sin2α＝cs 2α，eq \f(2tan α,1－tan2α)＝tan 2α.
(2)1±sin 2α＝sin2α＋cs2α±2sin αcs α＝(sin α±cs α)2.
(3)降幂公式：
cs2α＝⑧________________.
sin2α＝⑨________________.
二、必明2个易误点
1．实施简单的三角恒等变换首先要准确记忆相关的三角公式．由于本章三角公式多，记错、记混三角公式是屡见不鲜的．
2．凡是涉及“开平方”的问题，必须注意符号的选取，而符号的选取最终取决于角的范围．如果不能确定，则要进行分类讨论，防止丢解．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )
(2)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．( )
(3)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
二、教材改编
2．[必修4·P130例4改编]sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°＝( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
3．[必修4·P127练习 T2改编]若cs α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限的角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A．－eq \f(\r(2),10) B.eq \f(\r(2),10) C．－eq \f(7\r(2),10) D.eq \f(7\r(2),10)

三、易错易混
4．设α、β都是锐角，且cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq \f(3,5)，则cs β＝( )
A.eq \f(2\r(5),5) B.eq \f(2\r(5),25) C.eq \f(2\r(5),5)或eq \f(2\r(5),25) D.eq \f(\r(5),5)或eq \f(\r(5),25)
5．已知α、β为锐角，且cs α＝eq \f(1,\r(10))，cs β＝eq \f(1,\r(5))，则α＋β＝________.

四、走进高考
6．[2020·全国卷Ⅰ]已知α∈(0，π)，且3cs 2α－8cs α＝5，则sin α＝( )
A.eq \f(\r(5),3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(5),9)
第五节 三角恒等变换
【知识重温】
①cs αcs β－sin αsin β ②sin αcs β＋cs αsin β ③eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) ④eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
⑤2sin αcs α ⑥cs2α－sin2α ⑦eq \f(2tan α,1－tan2α) ⑧eq \f(1＋cs 2α,2) ⑨eq \f(1－cs 2α,2)
【小题热身】
1．答案：(1)√ (2)√ (3)√
2．解析：sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°
＝sin 20°cs 10°＋cs 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).
答案：D
3．解析：根据题意可得sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(3,5)，
则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)sin α＋eq \f(\r(2),2)cs α
＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,5)))
＝－eq \f(7\r(2),10).
答案：C
4．解析：因为α是锐角，cs α＝eq \f(\r(5),5)，
所以sin α＝eq \f(2\r(5),5)>eq \f(\r(2),2)，即eq \f(π,4)<α又β是锐角，且sin(α＋β)＝eq \f(3,5)所以cs(α＋β)＝－eq \f(4,5)，
所以cs β＝cs[(α＋β)－α]＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α＝－eq \f(4,5)×eq \f(\r(5),5)＋eq \f(3,5)×eq \f(2\r(5),5)＝eq \f(2\r(5),25).故选B.
答案：B
5．解析：因为α，β为锐角，且cs α＝eq \f(1,\r(10))，cs β＝eq \f(1,\r(5))，所以sin α＝eq \f(3,\r(10))，sin β＝eq \f(2,\r(5)).由α，β为锐角，可得0<α＋β<π，cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝－eq \f(\r(2),2)，故α＋β＝eq \f(3π,4).
答案：eq \f(3π,4)
6．解析：由3cs 2α－8cs α＝5，得3cs2α－4cs α－4＝0，所以cs α＝－eq \f(2,3)或cs α＝2(舍去)，因为α∈(0，π)，所以sin α＝eq \f(\r(5),3)，故选A.
答案：A
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和
的余弦
cs(α＋β)
＝①________________
C(α＋β)
α，β∈R
两角差
的余弦
cs(α－β) ＝cs αcs β＋sin αsin β
C(α－β)
两角和
的正弦
sin(α＋β) ＝②____________
S(α＋β)
α，β∈R
两角差
的正弦
sin(α－β) ＝sin αcs β－cs αsin β
S(α－β)
两角和
的正切
tan(α＋β) ＝③______________
T(α＋β)
α，β，α＋β≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)
两角差
的正切
tan(α－β) ＝④______________
T(α－β)
α，β，α－β≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)
记法
公式
S2α
sin 2α＝⑤____________
C2α
cs 2α＝⑥____________
T2α
tan 2α＝⑦____________