2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（二十一） 数列与其函数的交汇

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[例] [2021·大庆模拟]设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且x∈[0,1)时，f(x)＝sin πx.当x∈[0，＋∞)时，将函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1，a2，a3，…，an，…，并记相应的极大值为b1，b2，b3，…bn，…，则数列{an＋bn}的前9项和为________．
解析：函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，则f(x)＝2f(x－1)，
且当x∈[0,1)时，f(x)＝sin πx，
则当x∈[n－1，n)(n∈N*)，x－(n－1)∈[0,1)，
f(x)＝2f(x－1)＝22f(x－2)＝…＝2n－1f[x－(n－1)]＝2n－1sin[πx－π(n－1)]，
f′(x)＝2n－1πcs[πx－π(n－1)]，
当x∈[n－1，n)(n∈N*)时，x－(n－1)∈[0,1)，则[πx－π(n－1)]∈[0，π)，
令f′(x)＝0，可得πx－π(n－1)＝eq \f(π,2)，解得x＝n－eq \f(1,2)，
当n－1