2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（九） 构造法在导数中的应用

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此类涉及到已知f(x)与f′(x)的一些关系式，比较有关函数式大小的问题，可通过构造新的函数，创造条件，从而利用单调性求解．
[例] 设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)
解析：令F(x)＝eq \f(fx,x)，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F′(x)＝eq \f(xf′x－fx,x2)，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，所以F(x)＝eq \f(fx,x)在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F(x)＝eq \f(fx,x)在(－∞，0)上单调递增，又f(－1)＝0，f(1)＝0，数形结合可知，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．故选A.
答案：A
名师点评 利用导数研究不等式问题，可以先构造函数．
然后对构造的新函数求导，判断函数的单调性，从函数的单调性判断不等式是否成立．
[变式练1] [2021·江西宜春质检]已知f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的函数，其导函数为f′(x)，且不等式xf′(x)<2f(x)恒成立，则( )
A．4f(1)f(2)
C．f(1)<4f(2) D．f(1)<2f′(2)
[变式练2] [2021·河南濮阳模拟]已知a＝lneq \r(3,3)，b＝e－1，c＝eq \f(3ln 2,8)，则a，b，c的大小关系为( )
A．b>c>a B．a>c>b
C．a>b>c D．b>a>c
微专题(九)
变式练1
解析：因为xf′(x)<2f(x)，则xf′(x)－2f(x)<0，
令g(x)＝eq \f(fx,x2)(x>0)，则g′(x)＝eq \f(xf′x－2fx,x3)<0，
即g′(x)<0，g(x)在(0，＋∞)递减，故g(1)>g(2)，
故4f(1)>f(2)．故选B项．
答案：B
变式练2
解析：依题意，得a＝lneq \r(3,3)＝eq \f(ln 3,3)，b＝e－1＝eq \f(ln e,e)，c＝eq \f(3ln 2,8)＝eq \f(ln 8,8).令f(x)＝eq \f(ln x,x)，则f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)，易知函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．所以f(x)max＝f(e)＝eq \f(1,e)＝b，且f(3)>f(8)，即a>c，所以b>a>c.故选D项．
答案： D