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2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（六） 换元法求解与指数型函数有关的最值问题
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[例] 已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数的值域．
解析：y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，
则y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，∵x≥0，∴t≥1，∴当a>1时，y≥2.
当0∵g(0)＝－1，g(1)＝2，
∴当0综上所述，当a>1时，函数的值域是[2，＋∞)；
当0名师点评
1．此例利用了换元法，把函数f(x)转化为y＝t2＋2t－1，将问题转化为求二次函数的最值(值域)问题，从而减少了运算量．
2．对于同时含有ax与a2x(a>0且a≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t＝ax进行换元巧解，但一定要注意新元的范围；对数函数中的类似问题，也用这种方法．
[变式练] 已知函数y＝4x＋m·2x－2在区间[－2,2]上单调递增，则m的取值范围为________．
微专题(六)
变式练
解析：设t＝2x，则y＝4x＋m·2x－2＝t2＋mt－2.
因为x∈[－2,2]，所以t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4)).
又函数y＝4x＋m·2x－2在区间[－2,2]上单调递增，
即y＝t2＋mt－2在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4))上单调递增，
故有－eq \f(m,2)≤eq \f(1,4)，解得m≥－eq \f(1,2).
所以m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).
答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))
[例] 已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数的值域．
解析：y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，
则y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，∵x≥0，∴t≥1，∴当a>1时，y≥2.
当0
∴当0
当0
1．此例利用了换元法，把函数f(x)转化为y＝t2＋2t－1，将问题转化为求二次函数的最值(值域)问题，从而减少了运算量．
2．对于同时含有ax与a2x(a>0且a≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t＝ax进行换元巧解，但一定要注意新元的范围；对数函数中的类似问题，也用这种方法．
[变式练] 已知函数y＝4x＋m·2x－2在区间[－2,2]上单调递增，则m的取值范围为________．
微专题(六)
变式练
解析：设t＝2x，则y＝4x＋m·2x－2＝t2＋mt－2.
因为x∈[－2,2]，所以t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4)).
又函数y＝4x＋m·2x－2在区间[－2,2]上单调递增，
即y＝t2＋mt－2在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4))上单调递增，
故有－eq \f(m,2)≤eq \f(1,4)，解得m≥－eq \f(1,2).
所以m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).
答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))
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