2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（三） 抽象函数单调性的判断方法

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[例] [2021·西安模拟]已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1.
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
解题视点：(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点．要构造出f(M)解析：(1)令x＝y＝0得f(0)＝－1.
证明如下：在R上任取x1>x2，
则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.
又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以，函数f(x)在R上是单调增函数．
(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.
由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，
又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，
解之，得x<－2或x>1，
故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
答题模板：解函数不等式问题的一般步骤
第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性；
第二步：将函数不等式转化为f(M)第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组；
第四步：解不等式或不等式组确定解集；
第五步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．
答题启示：对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或f(x1)，f(x2)同号时比较eq \f(fx1,fx2)与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2·eq \f(x1,x2)或x1＝x2＋x1－x2等．