2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件，共6页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。

【知识重温】
一、必记3个知识点
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以________的陈述句叫做命题，其中________的语句叫做真命题，________的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________.
3．充分条件、必要条件与充要条件
二、必明2个易误点
1．易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．
2．注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BAA)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AAB)两者的不同．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)“x－3>0”是命题．( )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( )
(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( )
(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
二、教材改编
2．“a>b”是“a2>b2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．“a>b”是“ac2>bc2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
三、易错易混
4．“－eq \f(1,2)A．－eq \f(1,2)C．－eq \f(1,2)5．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是( )
A．若xC．若x>y，则x2>y2 D．若x≥y，则x2≥y2
四、走进高考
6．[2020·天津卷]设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

eq \x(考点一) 命题及其相互关系[互动讲练型]
[例1] (1)对于命题“单调函数不是周期函数”，下列说法正确的是( )
A．逆命题为“周期函数不是单调函数”
B．否命题为“单调函数是周期函数”
C．逆否命题为“周期函数是单调函数”
D．以上都不正确
(2)给出以下四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④若ab是正整数，则a，b都是正整数．
其中为真命题的是________．(写出所有真命题的序号)
悟·技法
1.求一个命题的其他三种命题时，需注意：
(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”的形式；
(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例．
3．当不易直接判断一个命题的真假时，根据互为逆否命题的两个命题同真同假，可转化为判断其等价命题的真假.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．已知命题p：正数a的平方不等于0，命题q：若a不是正数，则它的平方等于0，则q是p的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．否定
2．以下关于命题的说法正确的是________．(填写所有正确说法的序号)
①“若lg2(a＋1)>1，则函数f(x)＝lgax(a>0，a≠1)在其定义域内是增函数”是真命题；
②命题“若a≠0，则a(b＋1)≠0”的否命题是“若a＝0，则a(b＋1)＝0”；
③命题“若x，y都是偶数，则(x＋1)(y＋1)是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．
考点二 充分条件、必要条件的判断
[互动讲练型]
[例2] (1)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β ”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)[2020·浙江卷]已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
悟·技法
充分、必要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题.
[变式练]——(着眼于举一反三)
3．[2021·安徽合肥联考]“x<0”是“ln(x＋1)<0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．[2021·安徽淮南模拟]设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

eq \x(考点三) 利用充分、必要条件求参数的取值范围
[分层深化型]
[例3] [2021·安徽合肥七校联考]“方程eq \f(x2,9－m)＋eq \f(y2,m－5)＝1表示的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是( )
A．m＝7 B．7C．5悟·技法
根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意事项
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
[同类练]——(着眼于触类旁通)
5．不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是( )
A．x∈(0,2) B．x∈[－1，＋∞)
C．x∈(0,1) D．x∈(1,3)

[变式练]——(着眼于举一反三)
6．[2021·四川绵阳模拟]命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )
A．a≥1 B．a>1
C．a≥4 D．a>4

[拓展练]——(着眼于迁移应用)
7．[2021·天津一中月考]已知命题p：x≥k，命题q：eq \f(3,x＋1)<1.如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
【知识重温】
①判断真假 ②判断为真 ③判断为假 ④若q，则p ⑤若綈p，则綈q ⑥若綈q，则綈p ⑦相同 ⑧没有关系 ⑨充分 ⑩必要 ⑪充分不必要 ⑫真子集 ⑬必要不充分 ⑭真子集 ⑮充要 ⑯A＝B ⑰既不充分也不必要 ⑱包含
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．解析：由a>bAa2>b2，且a2>b2Aa>b，所以a>b是a2>b2的既不充分也不必要条件．故选D.
答案：D
3．解析：∵a>b，c2≥0，
∴a>bAac2>bc2(c＝0)，
ac2>bc2⇒a>b.
故a>b是ac2>bc2的必要不充分条件．故选B.
答案：B
4．解析：依题意可知选项中的x的取值范围A－eq \f(1,2)答案：B
5．解析：逆否命题的条件和结论是原命题结论的否定和条件的否定，所以“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
答案：B
6．解析：由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
课堂考点突破
考点一
例1 解析：(1)根据四种命题的构成可知，选项A，B，C均不正确．故选D.
(2)①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然为真命题；②否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，而不全等的三角形的面积也可能相等，故为假命题；③原命题为真，所以它的逆否命题也为真，故③为真命题；④ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－2，故④为假命题．所以答案是①③.
答案：(1)D (2)①③
变式练
1．解析：“正数a的平方不等于0”即“若a是一个正数，则它的平方不等于0”，其否命题为“若a不是正数，则它的平方等于0”．故选B.
答案：B
2．解析：①正确，由lg2(a＋1)>1，得a＋1>2，所以a>1，所以f(x)＝lgax在其定义域内是增函数．②正确，由命题的否命题的定义知，该说法正确．③不正确，原命题的逆命题为“若(x＋1)(y＋1)是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如(3＋1)×(4＋1)＝20为偶数，但x＝3，y＝4.④正确，两者互为逆否命题，因此两命题等价．
答案：①②④
考点二
例2 解析：(1)若存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，则当k＝2n，n∈Z时，α＝2nπ＋β，则sin α＝sin(2nπ＋β)＝sin β；当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝(2n＋1)π－β，则sin α＝sin(2nπ＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β.若sin α＝sin β，则α＝2nπ＋β或α＝2nπ＋π－β，n∈Z，即α＝kπ＋(－1)kβ，k∈Z，故选C.
(2)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交．由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，且B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内．故选B.
答案：(1)C (2)B
变式练
3．解析：由ln(x＋1)<0可得0答案：B
4．解析：当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0,3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行；
若直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行，
则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合．
综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
考点三
例3 解析：若方程eq \f(x2,9－m)＋eq \f(y2,m－5)＝1表示的曲线是椭圆，则由椭圆的定义可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9－m>0，,m－5>0，,9－m≠m－5，))解得5所以“方程eq \f(x2,9－m)＋eq \f(y2,m－5)＝1表示的曲线是椭圆”的充要条件为“5所以结合选项可知“方程eq \f(x2,9－m)＋eq \f(y2,m－5)＝1表示的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是“5答案：C
同类练
5．解析：由x(x－2)<0得0答案：B
变式练
6．解析：命题可化为∀x∈[1,2)，a≥x2恒成立，∵x∈[1,2)，∴x2∈[1,4)，∴命题为真命题的充要条件为a≥4.∴命题为真命题的一个充分不必要条件为a>4，故选D.
答案：D
拓展练
7．解析：由eq \f(3,x＋1)<1得，eq \f(3,x＋1)－1＝eq \f(2－x,x＋1)<0，即(x－2)(x＋1)>0，解得x<－1或x>2，由p是q的充分不必要条件知，k>2，故选B项．
答案：B
若p⇒q，则p是q的________条件，q是p的________条件
p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为B
p是q的________________条件
p⇒q且qDp
A是B的_______
p是q的________________条件
pDq且q⇒p
B是A的________
p是q的________________条件
p⇔q
________
p是q的________________条件
pDq且qDp
A，B互不________