高考数学一轮复习练习案7第二章函数导数及其应用第四讲函数的奇偶性与周期性含解析新人教版

这是一份高考数学一轮复习练习案7第二章函数导数及其应用第四讲函数的奇偶性与周期性含解析新人教版，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．函数f(x)＝eq \f(1,x)－x的图象关于( C )
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
[解析] ∵f(－x)＝－eq \f(1,x)＋x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－x))＝－f(x)，且定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∴f(x)为奇函数．∴f(x)的图象关于坐标原点对称．
2．(2021·西藏山南二高模拟)下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( D )
A．y＝2x B．y＝eq \r(x)
C．y＝|x| D．y＝－x2＋1
[解析] A选项，根据y＝2x的图象知该函数非奇非偶，可知A错误；B选项，由y＝eq \r(x)的定义域为[0，＋∞)，知该函数非奇非偶，可知B错误；C选项，当x∈(0，＋∞)时，y＝|x|＝x为增函数，不符合题意，可知C错误；D选项；由－(－x)2＋1＝－x2＋1，可知该函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在(0，＋∞)上单调递减，可知D正确．故选D.
3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x4＋1，x>0，,cs 2x，x≤0，))，则下列结论正确的是( D )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
[解析] 因为y＝x4＋1(x>0)的值域为(1，＋∞)，且y＝cs 2x(x≤0)的值域为[－1,1]，所以，f(x)的值域为(1，＋∞)∪[－1,1]＝[－1，＋∞)．故选D.
4．已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝( B )
A．1 B．5
C．－1 D．－5
[解析] 令g(x)＝f(x)＋x，
由题意可得g(－2)＝g(2)＝f(2)＋2＝3.
又g(－2)＝f(－2)－2，故f(－2)＝g(－2)＋2＝5.
5．(2019·全国Ⅱ，6)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝( D )
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
[解析] ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
当x<0时，－x>0，f(－x)＝e－x－1＝－f(x)，
即f(x)＝－e－x＋1.故选D.
6．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(x＋1)＋f(x－1)＝0，且当x∈(－1,0)时，f(x)＝eq \f(1,2)＋lg2(－x)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,2)))＝( B )
A．1 B．eq \f(1,2)
C．－eq \f(1,2) D．－1
[解析] ∵f(－x)＋f(x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数，
∵f(x＋1)＋f(x－1)＝0，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，
令x＝x＋1，则f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋8))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，
又当x∈(－1,0)时，f(x)＝eq \f(1,2)＋lg2(－x)，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(1,2)＋lg2eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)－1＝－eq \f(1,2)，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,2)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(1,2)，故选B.
7．(2021·甘肃天水一中阶段测试)已知函数f(x)＝e|x|＋x2，(e为自然对数的底数)，且f(3a－2)>f(a－1)，则实数a的取值范围是( C )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞))
[解析] 显然f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，∴f(3a－2)>f(a－1)⇔|3a－2|>|a－1|⇔(3a－2)2>(a－1)2⇔a>eq \f(3,4)或a二、多选题
8．若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则下列结论中正确的是( ABC )
A．函数f[g(x)]是偶函数
B．函数g[f(x)]是偶函数
C．函数f(x)·g(x)是奇函数
D．函数f(x)＋g(x)是奇函数
[解析] 对于选项A，f[g(x)]是偶函数，A正确；对于选项B，g[f(x)]是偶函数，B正确；对于选项C，设h(x)＝f(x)g(x)，h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)是奇函数；对于选项D，f(x)＋g(x)不一定具备奇偶性，故选A、B、C.
9．(2021·山东普通高校招生春季考试)奇函数y＝f(x)的局部图象如图，则下列结论不正确的是( BCD )
A．f(2)>0>f(4)
B．f(2)<0C．f(2)>f(4)>0
D．f(2)[解析] 因为奇函数y＝f(x)，所以f(－4)＝－f(4)，f(－2)＝－f(2)．因为f(－4)>0>f(－2)，所以－f(4)>0>－f(2)，即f(2)>0>f(4)．故选B、C、D.
10．(2021·吉林长春质检)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＋ f(2－x)＝0，则下列结论正确的是( ABD )
A．f(x)的图象关于点(1,0)对称
B．f(x＋2)＝f(x)
C．f(3－x)＝f(x－1)
D．f(x－2)＝f(x)
[解析] 本题考查函数图象的对称性．对于A，由f(x)＋f(2－x)＝0得f(x)的图象关于点(1,0)对称，选项A正确；对于B，用－x替换f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(－x)＋f(2＋x)＝0，所以f(x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，选项B正确；对于C，用x－1替换f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(3－x)＝－f(x－1)，选项C错误；对于D，用x－2替换f(x＋2)＝f(x)中的x，得f(x－2)＝f(x)，选项D正确．
三、填空题
11．若函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图象的对称轴方程为 x＝1 .
[解析] 解法一：由已知得f(x＋1)＝f(－x＋1)，所以y＝f(x)关于x＝1对称．
解法二：将y＝f(x＋1)右移1个单位，得到y＝f(x)图象，关于x＝1对称．
12．设f(x)是周期为3的函数，当1≤x≤3时，f(x)＝2x＋3，则f(8)＝ 7 .－2≤x≤0时，f(x)＝ 2x＋9 .
[解析] 因为f(x)是周期为3的函数，所以f(8)＝f(2)＝2×2＋3＝7.当－2≤x≤0时，f(x)＝f(x＋3)＝2(x＋3)＋3＝2x＋9.
13．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，则f(x)>0的解集为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
[解析] 由已知可构造y＝f(x)的示意图象，
所以f(x)>0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
14．(2018·课标全国Ⅲ，16)已知函数f(x)＝ln(eq \r(1＋x2)－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝ －2 .
[解析] 本题考查函数的奇偶性．
易知f(x)的定义域为R，
令g(x)＝ln(eq \r(1＋x2)－x)，则g(x)＋g(－x)＝0，
∴g(x)为奇函数，∴f(a)＋f(－a)＝2，
又f(a)＝4，∴f(－a)＝－2.
B组能力提升
1．(多选题)(2020·陕西西安中学模拟改编)设f(x)－x2＝g(x)，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可能为( BC )
A．g(x)＝x3 B．g(x)＝cs x
C．g(x)＝x2＋1 D．g(x)＝xex
[解析] 因为f(x)＝x2＋g(x)，且f(x)为偶函数，所以有(－x)2＋g(－x)＝x2＋g(x)，即g(－x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项B、C中的函数为偶函数，故选B、C.
2．(2020·全国Ⅱ，10)设函数f(x)＝x3－eq \f(1,x3)，则f(x)( A )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减
[解析] 本题考查函数的奇偶性与单调性．由题意，知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为f(－x)＝(－x)3－eq \f(1,－x3)＝－x3＋eq \f(1,x3)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3－\f(1,x3)))＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．又易知y＝x3和y＝－eq \f(1,x3)在(0，＋∞)都单调递增，所以函数f(x)＝x3－eq \f(1,x3)在(0，＋∞)单调递增，故选A.
3．已知函数f(x)＝asin x＋beq \r(3,x)＋4，若f(lg 3)＝3，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg \f(1,3)))＝( C )
A．－3 B．－5
C．5 D．0
[解析] 由f(lg 3)＝asin(lg 3)＋beq \r(3,lg 3)＋4＝3得asin(lg 3)＋beq \r(3,lg 3)＝－1，而feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg \f(1,3)))＝f(－lg 3)＝－asin(lg 3)－beq \r(3,lg 3)＋4＝－[asin(lg 3)＋beq \r(3,lg 3)]＋4＝1＋4＝5.故选C.
4．(2021·黑龙江哈尔滨六中高三月考)若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则f(x－1)A．(－∞，2) B．(－∞，1)
C．(2，＋∞) D．(1，＋∞)
[解析] ∵f(x)＝ex－ae－x为奇函数，∴f(0)＝0，即f(0)＝1－a＝0.则a＝1，即f(x)＝ex－e－x，则函数f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，又f(1)＝e－eq \f(1,e)，则不等式f(x－1)5．(2021·长春市质量监测)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( B )
A．6 B．7
C．8 D．9
[解析] 因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x＋1)，
所以当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1.
由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x≤6时，f(x)＝0有三个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6，故f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.