高考数学一轮复习练习案28第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第三讲平面向量的数量积含解析新人教版

这是一份高考数学一轮复习练习案28第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第三讲平面向量的数量积含解析新人教版，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝( B )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析] 由已知得|a|＝|b|＝1，a与b的夹角θ＝60°，
则(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cs θ－|b|2
＝2×1×1×cs 60°－12＝0，故选B.
2．(2021·安徽六校联考)向量a＝(2，4)，b＝(5，3)，则a·(a－b)＝( D )
A．－10 B．14
C．－6 D．－2
[解析] ∵a－b＝(－3，1)，∴a·(a－b)＝－6＋4＝－2.故选D.
3．若向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|a＋2b|＝2eq \r(3)，则|b|＝( B )
A．eq \r(3) B．1
C．4 D．3
[解析] 因为a＝(2，0)，所以|a|＝2，又因为|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4×|a|×|b|×cs 60°＋4|b|2＝(2eq \r(3))2，所以|b|2＋|b|－2＝0，解得|b|＝1(－2舍去)，故选B.
4．(2021·安徽十校高三摸底考试)在△ABC中，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))，且|eq \(CP,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，|eq \(CA,\s\up6(→))|＝8，∠ACB＝eq \f(2π,3)，则eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝( A )
A．24 B．12
C．24eq \r(3) D．12eq \r(3)
[解析] 设|eq \(CB,\s\up6(→))|＝x，∵2eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))，两边平方得48＝64＋x2－8x，解得x＝4，∴eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))·eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)×(64－16)＝24.故选A.
5．(2021·甘肃兰州高三模拟)已知非零单位向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b－a的夹角为( D )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C.eq \f(π,4) D．eq \f(3π,4)
[解析] 解法一：设a与b－a的夹角为θ.
因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，
即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，
所以a·b＝0.
因为a，b为非零单位向量，
所以(b－a)2＝2，即|b－a|＝eq \r(2).
因为a·(b－a)＝a·b－a·a＝－1＝|a||b－a|cs θ，
所以cs θ＝eq \f(－1,1×\r(2))＝－eq \f(\r(2),2)，因为θ∈[0，π]，
所以θ＝eq \f(3π,4).
解法二：几何法，如图，|a＋b|与|a－b|分别表示以a，b为邻边(共起点)的菱形两对角线长度，且长度相等，从而菱形为正方形，再作出b－a知所求为eq \f(3π,4).
解法三：坐标法，由|a＋b|＝|a－b|得a⊥b，又a，b为单位向量，则在平面直角坐标系中取a＝(1，0)，b＝(0，1)，则b－a＝(－1，1)，由向量夹角的坐标运算知a与b－a的夹角为eq \f(3π,4).
6．(2021·河北省武邑模拟)△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，|eq \(AO,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|，则eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影等于( C )
A．－eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(3),2)
C．eq \f(3,2) D．3
[解析] 因为△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
所以点O在BC上，且O为BC的中点，如图所示，
所以BC是△ABC外接圆的直径，故∠BAC＝90°.
因为|eq \(CO,\s\up6(→))|＝|eq \(AO,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|，所以△OAC是等边三角形，所以∠ACB＝60°，所以∠ABC＝30°.
在Rt△ABC中，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|sin 60°＝eq \r(3)，
所以eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影为
|eq \(BA,\s\up6(→))|cs ∠ABC＝|eq \(BA,\s\up6(→))|cs 30°＝eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3,2).
二、多选题
7．(2021·上海模拟改编)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，则下列向量是单位向量的是( CD )
A．a＋b B．a＋eq \f(1,2)b
C．a－b D．eq \f(2\r(3),3)a－eq \f(\r(3),3)b
[解析] ∵a，b均是单位向量且夹角为60°，∴a·b＝eq \f(1,2)，∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×eq \f(1,2)＋1＝1，即|a－b|＝1，∴a－b是单位向量．又|eq \f(2\r(3),3)a－eq \f(\r(3),3)b|2＝eq \f(1,3)(4a2－4a·b＋b2)＝1，故选C、D.
[优解] 如图，令eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，∵a，b均是单位向量且夹角为60°，∴△OAB为等边三角形，∴|eq \(BA,\s\up6(→))|＝|a－b|＝|a|＝|b|＝1，
∴a－b是单位向量.eq \f(2\r(3),3)a－eq \f(\r(3),3)b＝eq \f(2\r(3),3)(a－eq \f(1,2)b)＝eq \f(2\r(3),3)eq \(DA,\s\up6(→))，又∵|eq \(DA,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(3),2)，故选C、D.
8．(2021·江西南昌二中期末改编)已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围可以是( BC )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))
C．(2，＋∞) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))
[解析] ∵a与b的夹角为钝角，∴－2λ－1－eq \f(1,2).又a≠μb(μsin A，∴B>A，故A为锐角，
∴cs A＝eq \f(3,5)，
∴cs C＝－cs(A＋B)＝－cs Acs B＋sin Asin B＝eq \f(33,65).
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B得，
16＝a2＋c2－eq \f(10,13)ac≥2ac－eq \f(10,13)ac＝eq \f(16,13)ac，当且仅当a＝c时等号成立，∴ac≤13，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝accs(π－B)＝－accs B＝－eq \f(5,13)ac≥－5.
故eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))的最小值为－5.