高考数学一轮复习练习案25第三章三角函数解三角形第六讲解三角形含解析新人教版

这是一份高考数学一轮复习练习案25第三章三角函数解三角形第六讲解三角形含解析新人教版，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( C )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
[解析] 因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cs ∠BAC＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(9＋25－49,30)＝－eq \f(1,2)，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝eq \f(2π,3).故选C.
2．已知△ABC中，A＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(π,4)，a＝1，则b等于( D )
A．2 B．1
C．eq \r(3) D．eq \r(2)
[解析] 由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得eq \f(1,sin \f(π,6))＝eq \f(b,sin \f(π,4))，所以eq \f(1,\f(1,2))＝eq \f(b,\f(\r(2),2))，所以b＝eq \r(2).
3．在△ABC中，c＝eq \r(3)，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为( B )
A．eq \f(π,4) B．π
C．2π D．4π
[解析] 在△ABC中，c＝eq \r(3)，A＝75°，B＝45°，
故C＝180°－A－B＝60°.
设△ABC的外接圆半径为R，
则由正弦定理可得2R＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(\r(3),\f(\r(3),2))，解得R＝1，
故△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝π.
4．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，ccs A＋acs C＝2bcs B，△ABC的面积S＝eq \r(3)，则b等于( A )
A．eq \r(13) B．4
C．3 D．eq \r(15)
[解析] 由题意可得，2sin Bcs B＝sin Ccs A＋sin Acs C＝sin(A＋C)＝sin B，
∴cs B＝eq \f(1,2)，∴B＝eq \f(π,3).
又S＝eq \f(1,2)ac·sin B＝eq \f(1,2)×1×c×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，∴c＝4.
又b2＝a2＋c2－2accs B＝1＋16－2×1×4×eq \f(1,2)＝13，
∴b＝eq \r(13).
5．设△ABC的三内角A，B，C成等差数列，sin A，sin B，sin C成等比数列，则这个三角形的形状是( D )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
[解析] ∵△ABC的三内角A，B，C成等差数列，
∴B＝eq \f(π,3).
∵sin A，sin B，sin C成等比数列，
∴sin2B＝sin Asin C，由正弦定理得b2＝ac.
在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs eq \f(π,3)，
∴ac＝a2＋c2－ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.
∴△ABC为等边三角形．
6．(2021·河北武邑中学调研)黑板上有一道有解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＝2，…，解得b＝eq \r(6)，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件( B )
A．A＝30°，B＝45° B．C＝75°，A＝45°
C．B＝60°，c＝3 D．c＝1，cs C＝eq \f(1,3)
[解析] 由C＝75°，A＝45°可知B＝60°，又eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，∴b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(2sin 60°,sin 45°)＝eq \f(\r(3),\f(\r(2),2))＝eq \r(6)，符合题意，故选B.
二、多选题
7．在△ABC中，a＝4，b＝8，A＝30°，则此三角形的边角情况可能是( ACD )
A．B＝90° B．C＝120°
C．c＝4eq \r(3) D．C＝60°
[解析] ∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，∴sin B＝eq \f(bsin A,a)＝1，∴B＝90°，C＝60°，c＝4eq \r(3).故选A、C、D.
8．(2020·山东德州期中)下列关于正弦定理的叙述中正确的是( ACD )
A．在△ABC中，abc＝sin Asin Bsin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B
C．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B
D．在△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b＋c,sin B＋sin C)
[解析] 对于A，在△ABC中，由正弦定理可得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，所以abc＝sin Asin Bsin C，故A正确；对于B，若sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，可得A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，故B错误；对于C，若sin A>sin B，根据正弦定理a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，得a>b，再根据大边对大角可得A>B.若A>B，则a>b，由正弦定理a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，得sin A>sin B，故C正确；对于D，由eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，再根据比例式的性质可知D正确．故选A、C、D.
三、填空题
9．(2021·佛山模拟)在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为 eq \r(6) 千米．
[解析] ∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，
由正弦定理得eq \f(AC,sin 60°)＝eq \f(AB,sin 45°)＝eq \f(2,sin 45°)，
AC＝eq \r(6)千米．
10．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足eq \f(sin A－sin Ca＋c,b)＝sin A－sin B，则C＝ eq \f(π,3) .
[解析] 在△ABC中，∵eq \f(sin A－sin Ca＋c,b)＝sin A－sin B，
∴eq \f(a－ca＋c,b)＝a－b.
∴a2＋b2－c2＝ab，∴cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2).∴C＝eq \f(π,3).
11．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝eq \r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋c2－b2,2)))2)))，若a2sin C＝5sin A，(a＋c)2＝16＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为 2 .
[解析] ∵a2sin C＝5sin A，∴a2c＝5a，即ac＝5，
因为(a＋c)2＝16＋b2，所以a2＋c2－b2＝16－2ac＝6，
从而△ABC的面积为2，故答案为2.
12．(2021·山西五校联考)如图，飞机的航线和山顶在同一铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15 000 m，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过108 s后看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为 6_340 m.(取eq \r(3)＝1.732)
[解析] ∵108 s＝0.03 h，∴AB＝1 000×0.03＝30 km，
∵∠C＝75°－15°＝60°，∴eq \f(AB,sin 60°)＝eq \f(BC,sin 15°)，
∴BC＝eq \f(ABsin 15°,sin 60°)，∴C到AB边的距离为h＝BCsin 75°＝20eq \r(3)sin 15°sin 75°＝10eq \r(3)sin 30°＝5eq \r(3)＝5×1.732＝8.66 km，
∴山顶的海拔高度为(15－8.66)km＝6 340 m.
四、解答题
13．(2021·新高考八省联考)在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1.
(1)若AB＝eq \f(3,2)，求BC；
(2)若AB＝2BC，求cs∠BDC.
[解析] (1)在△ABD中，cs∠ABD＝eq \f(\f(1,2)AB,BD)＝eq \f(3,4).
∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD.
∴在△BCD中，BC2＝BD2＋DC2－2×BD×DC×cs∠BDC＝12＋12－2×1×1×eq \f(3,4)＝eq \f(1,2)，∴BC＝eq \f(\r(2),2).
(2)设BC＝x，则AB＝2x，cs∠ABD＝eq \f(\f(1,2)AB,BD)＝x.
在△BCD中，BC2＝BD2＋DC2－2×BD×CD×cs∠BDC，
∴x2＝1＋1－2x，∴x2＋2x－2＝0，
解得x＝eq \r(3)－1.
∴cs∠BDC＝cs∠ABD＝x＝eq \r(3)－1.
14．(2020·北京，17,13分)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和△ABC的面积．
条件①：c＝7，cs A＝－eq \f(1,7)；
条件②：cs A＝eq \f(1,8)，cs B＝eq \f(9,16).
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
[解析] 若选条件①：
(1)∵a＋b＝11，∴b＝11－a，
已知c＝7，cs A＝－eq \f(1,7)，
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，得a2＝(11－a)2＋72－2×(11－a)×7×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,7)))，解得a＝8.
(2)∵cs A＝－eq \f(1,7)，∴sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(4\r(3),7).
∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，∴sin C＝eq \f(csin A,a)＝eq \f(\r(3),2).
又∵b＝11－a＝11－8＝3，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×3×7×eq \f(4\r(3),7)＝6eq \r(3).
若选条件②：
(1)∵cs A＝eq \f(1,8)，∴sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(3\r(7),8).
∵cs B＝eq \f(9,16)，∴sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(5\r(7),16).
由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得eq \f(a,\f(3\r(7),8))＝eq \f(b,\f(5\r(7),16))，∴5a＝6b，
又∵a＋b＝11，∴a＝6.
(2)由(1)可得b＝11－a＝5.
sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B＝eq \f(3\r(7),8)×eq \f(9,16)＋eq \f(1,8)×eq \f(5\r(7),16)＝eq \f(\r(7),4)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×6×5×eq \f(\r(7),4)＝eq \f(15\r(7),4).
B组能力提升
1．(2020·课标Ⅲ，11)在△ABC中，cs C＝eq \f(2,3)，AC＝4，BC＝3，则tan B＝( C )
A．eq \r(5) B．2eq \r(5)
C．4eq \r(5) D．8eq \r(5)
[解析] 解法一：由余弦定理及cs C＝eq \f(2,3)，AC＝4，BC＝3，知AB＝3，于是cs B＝eq \f(9＋9－16,2×3×3)＝eq \f(1,9)>0，所以sin B＝eq \f(4\r(5),9)，所以tan B＝4eq \r(5)，故选C.
解法二：作BD⊥AC于D，由cs C＝eq \f(2,3)，BC＝3，知CD＝2，即D为边AC的中点，所以三角形ABC是等腰三角形，且BD＝eq \r(5)，于是tan eq \f(B,2)＝eq \f(2,\r(5))，故tan B＝eq \f(2×\f(2,\r(5)),1－\f(4,5))＝4eq \r(5)，故选C.
2．(多选题)(2020·山东临沂一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝2eq \r(3)，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是( AD )
A．cs C＝eq \f(\r(3),3) B．sin B＝eq \f(\r(2),3)
C．a＝3 D．S△ABC＝eq \r(2)
[解析] 本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式．A＋3C＝π，故B＝2C.根据正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，得2eq \r(3)sin C＝3×2sin Ccs C，又sin C>0，故cs C＝eq \f(\r(3),3)，sin C＝eq \f(\r(6),3)，故A正确；sin B＝sin 2C＝2sin Ccs C＝eq \f(2\r(2),3)，故B错误；由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C，将b＝2eq \r(3)，c＝3代入得a2－4a＋3 ＝0，解得a＝3或a＝1.若a＝3，则A＝C＝eq \f(π,4)，且B＝eq \f(π,2)，与sin B＝eq \f(2\r(2),3)矛盾，故a＝1，故C错误；S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×1×2eq \r(3)×eq \f(\r(6),3)＝eq \r(2)，故D正确．故选AD.
3．(多选题)(2020·广东中山期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则满足下面条件的三角形一定为直角三角形的是( ACD )
A．sin A＋sin B＝sin C(cs A＋cs B)
B.eq \f(tan A,tan B)＝eq \f(a2,b2)
C．cs2eq \f(B,2)＝eq \f(a＋c,2c)
D．acs B－bcs A＝c
[解析] 本题考查正弦定理、余弦定理的应用．对于A，sin A＋sin B＝sin C(cs A＋cs B)，由正弦定理角化边得a＋b＝c(cs A＋cs B)，由sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C得a＝bcs C＋ccs B，同理得b＝acs C＋ccs A，代入上式整理得ccs B＋bcs C＋acs C＋ccs A＝c(cs A＋cs B)，即(a＋b)cs C＝0，因为a＋b>0，所以cs C＝0，则C＝eq \f(π,2)，故A正确；
对于B，可知当三角形为等边三角形时，等式同样成立，故B错误；
对于C，cs2eq \f(B,2)＝eq \f(a＋c,2c)，根据半角公式有eq \f(cs B＋1,2)＝eq \f(a＋c,2c)，即ccs B＝a，即ccs B＝ccs B＋bcs C，整理得bcs C＝0，因为b≠0，所以cs C＝0，即C＝eq \f(π,2)，故C正确；
对于D，acs B－bcs A＝c，由A知在任意的三角形中都有acs B＋bcs A＝c，所以两式相减可得bcs A＝0，因为b≠0，所以cs A＝0，即A＝eq \f(π,2)，故D正确，故选ACD.
4．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cs θ的值为 eq \f(\r(21),14) .
[解析] 由△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs 120°＝2 800⇒BC＝20eq \r(7).
由正弦定理，得eq \f(AB,sin ∠ACB)＝eq \f(BC,sin ∠BAC)⇒sin ∠ACB＝eq \f(AB,BC)·sin ∠BAC＝eq \f(\r(21),7).
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cs ∠ACB＝eq \f(2\r(7),7).
由θ＝∠ACB＋30°，得cs θ＝cs(∠ACB＋30°)
＝cs ∠ACBcs 30°－sin ∠ACBsin 30°＝eq \f(\r(21),14).
5．(2020·课标Ⅱ，17)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin BsinC．
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
[解析] (1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcs A．②
由①②得cs A＝－eq \f(1,2).因为0(2)由正弦定理及(1)得eq \f(AC,sin B)＝eq \f(AB,sin C)＝eq \f(BC,sin A)＝2eq \r(3)，从而AC＝2eq \r(3)sin B，AB＝2eq \r(3)sin(π－A－B)＝3cs B－eq \r(3)sinB．
故BC＋AC＋AB＝ 3＋eq \r(3)sin B＋3cs B
＝3＋2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3))).
又0