高考数学一轮复习练习案31高考大题规范解答系列二_三角函数含解析新人教版

这是一份高考数学一轮复习练习案31高考大题规范解答系列二_三角函数含解析新人教版，共7页。试卷主要包含了设函数f＝sin x，x∈R.等内容，欢迎下载使用。

1．(2020·浙江，18)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2bsin A－eq \r(3)a＝0.
(1)求角B的大小；
(2)求cs A＋cs B＋cs C的取值范围．
[解析] 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识，同时考查数学运算等素养．
(1)由正弦定理得2sin Bsin A＝eq \r(3)sin A，
故sin B＝eq \f(\r(3),2)，由题意得B＝eq \f(π,3).
(2)由A＋B＋C＝π得C＝eq \f(2π,3)－A，
由△ABC是锐角三角形得A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2))).
由cs C＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－A))＝－eq \f(1,2)cs A＋eq \f(\r(3),2)sin A得cs A＋cs B＋cs C＝eq \f(\r(3),2)sin A＋eq \f(1,2)cs A＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))＋eq \f(1,2)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)＋1,2)，\f(3,2))).故cs A＋cs B＋cs C的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)＋1,2)，\f(3,2))).
2．(2020·新高考Ⅰ，17)在①ac＝eq \r(3)，②csin A＝3，③c＝eq \r(3)b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝eq \r(3)sin B，C＝eq \f(π,6)， ？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解析] 方案一：选条件①.
由C＝eq \f(π,6)和余弦定理得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3),2).
由sin A＝eq \r(3)sin B及正弦定理得a＝eq \r(3)b.
于是eq \f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq \f(\r(3),2)，由此可得b＝c.
由①ac＝eq \r(3)，解得a＝eq \r(3)，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
方案二：选条件②.
由C＝eq \f(π,6)和余弦定理得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3),2).
由sin A＝eq \r(3)sin B及正弦定理得a＝eq \r(3)b.
于是eq \f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq \f(\r(3),2)，由此可得b＝c，B＝C＝eq \f(π,6)，A＝eq \f(2π,3).
由②csin A＝3，所以c＝b＝2eq \r(3)，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2eq \r(3).
方案三：选条件③.
由C＝eq \f(π,6)和余弦定理得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3),2).
由sin A＝eq \r(3)sin B及正弦定理得a＝eq \r(3)b.
于是eq \f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq \f(\r(3),2)，由此可得b＝c.
由③c＝eq \r(3)b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
3．(2019·浙江)设函数f(x)＝sin x，x∈R.
(1)已知θ∈[0，2π]，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))))eq \s\up12(2)的值域．
[解析] (1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)．
即sin xcs θ＋cs xsin θ＝－sin xcs θ＋cs xsin θ，
故2sin xcs θ＝0，所以cs θ＝0.
又θ∈[0，2π)，因此θ＝eq \f(π,2)或eq \f(3π,2).
(2)y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))))eq \s\up12(2)
＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))
＝eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))),2)＋eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))),2)
＝1－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs 2x－\f(3,2)sin 2x))
＝1－eq \f(\r(3),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
因此函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(3),2)，1＋\f(\r(3),2))).
4．(2019·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2a，3csin B＝4asin C．
(1)求cs B的值；
(2)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2B＋\f(π,6)))的值．
[解析] (1)在△ABC中，由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，得bsin C＝csin B，又由3csin B＝4asin C，得3bsin C＝4asin C，即3b＝4a.又因为b＋c＝2a，得到b＝eq \f(4,3)a，c＝eq \f(2,3)a.由余弦定理可得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a2＋\f(4,9)a2－\f(16,9)a2,2·a·\f(2,3)a)＝－eq \f(1,4).
(2)由(1)可得sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(\r(15),4)，从而sin 2B＝2sin Bcs B＝－eq \f(\r(15),8)，cs 2B＝cs2B－sin2B＝－eq \f(7,8)，故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2B＋\f(π,6)))＝sin 2Bcs eq \f(π,6)＋cs 2Bsin eq \f(π,6)＝－eq \f(\r(15),8)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(7,8)×eq \f(1,2)＝－eq \f(3\r(5)＋7,16).
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量m＝(2sin B，2－cs 2B)，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(B,2)))，－1))，m⊥n.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝eq \r(3)，b＝1，求c的值．
[解析] (1)∵m⊥n，∴m·n＝0，
∴2sin B·2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(B,2)))＋(2－cs 2B)·(－1)＝0.
∴2sin B·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋B))))＋cs 2B－2＝0.
∴2sin B＋2sin2B＋(1－2sin2B)－2＝0.
∴sin B＝eq \f(1,2).
∵0(2)∵a＝eq \r(3)>b，∴B＝eq \f(π,6).
解法一：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accs B．
∴c2－3c＋2＝0，∴c＝1或c＝2.
解法二：由正弦定理，得eq \f(b,sin B)＝eq \f(a,sin A).
即eq \f(1,\f(1,2))＝eq \f(\r(3),sin A)，∴sin A＝eq \f(\r(3),2).
∵0若A＝eq \f(π,3)，∵B＝eq \f(π,6)，∴C＝eq \f(π,2)，∴c＝2.
若A＝eq \f(2π,3)，则C＝π－eq \f(2π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)，∴c＝b＝1.
综上所述，c＝1或c＝2.
6．(2020·长沙四校一模)已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cs x，eq \r(3)sin 2x)，b＝(cs x，1)，x∈R.
(1)求函数y＝f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝2，a＝eq \r(7)，且sin B＝2sin C，求△ABC的面积．
[解析] (1)f(x)＝a·b＝2cs2x＋eq \r(3)sin 2x＝eq \r(3)sin 2x＋cs 2x＋1＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋1.
令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
解得－eq \f(π,3)＋kπ≤x≤eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z，
∴函数y＝f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)＋kπ，\f(π,6)＋kπ))，k∈Z.
(2)∵f(A)＝2，∴2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,6)))＋1＝2，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,6)))＝eq \f(1,2).
又∵0∵sin B＝2sin C，∴b＝2c.②
由①②得c2＝eq \f(7,3)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(7\r(3),6).
7．(2021·济南模考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bsin C＝acs C＋ccs A，B＝eq \f(2π,3)，c＝eq \r(3).
(1)求角C；
(2)若点E满足eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，求BE的长．
[解析] (1)解法一：由题设及正弦定理得2sin Bsin C＝sin Acs C＋sin Ccs A，
又sin Acs C＋sin Ccs A＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B，
所以2sin Bsin C＝sin B．
由于sin B＝eq \f(\r(3),2)≠0，所以sin C＝eq \f(1,2).
又0解法二：由题设及余弦定理可得2bsin C＝a×eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＋c×eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，化简得2bsin C＝b.
因为b>0，所以sin C＝eq \f(1,2).
又0解法三：由2bsin C＝acs C＋ccs A，
结合b＝acs C＋ccs A，
可得2bsin C＝b.
因为b>0，所以sin C＝eq \f(1,2).
又0(2)解法一：由正弦定理易知eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2eq \r(3)，解得b＝3.
又eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，所以AE＝eq \f(2,3)AC＝eq \f(2,3)b，即AE＝2.
在△ABC中，因为∠ABC＝eq \f(2π,3)，C＝eq \f(π,6)，所以A＝eq \f(π,6)，
所以在△ABE中，A＝eq \f(π,6)，AB＝eq \r(3)，AE＝2，
由余弦定理得BE＝eq \r(AB2＋AE2－2AB·AEcs \f(π,6))＝eq \r(3＋4－2×\r(3)×2×\f(\r(3),2))＝1，
所以BE＝1.
解法二：在△ABC中，因为∠ABC＝eq \f(2π,3)，C＝eq \f(π,6)，所以A＝eq \f(π,6)，a＝c＝eq \r(3).
由余弦定理得b＝
eq \r(（\r(3)）2＋（\r(3)）2－2×\r(3)×\r(3)×cs \f(2,3)π)＝3.
因为eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，所以EC＝eq \f(1,3)AC＝1.
在△BCE中，C＝eq \f(π,6)，BC＝eq \r(3)，CE＝1，
由余弦定理得BE＝eq \r(BC2＋EC2－2BC·ECcs \f(π,6))＝eq \r(3＋1－2×\r(3)×1×\f(\r(3),2))＝1，所以BE＝1.
解法三：在△ABC中，因为∠ABC＝eq \f(2π,3)，C＝eq \f(π,6)，所以A＝eq \f(π,6)，a＝c＝eq \r(3).
因为eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，所以eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→)).
则|eq \(BE,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,9)(eq \(BA,\s\up6(→))＋2eq \(BC,\s\up6(→)))2＝eq \f(1,9)(|eq \(BA,\s\up6(→))|2＋4eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋4|eq \(BC,\s\up6(→))|2)＝eq \f(1,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－4×\r(3)×\r(3)×\f(1,2)＋4×3))＝1，所以BE＝1.
8．(2020·洛阳市第二次联考)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝2eq \r(3)，BD＝3＋eq \r(6)，△BCD的面积S＝eq \f(3（\r(2)＋\r(3)）,2).
(1)求CD；
(2)求∠ABC.
[解析] (1)在△BCD中，S＝eq \f(1,2)BD·BC·sin ∠CBD＝eq \f(3（\r(2)＋\r(3)）,2)，
∵BC＝2eq \r(3)，BD＝3＋eq \r(6)，
∴sin ∠CBD＝eq \f(1,2).
∵∠ABC为锐角，∴∠CBD＝30°.
在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cs ∠CBD＝(2eq \r(3))2＋(3＋eq \r(6))2－2×2eq \r(3)×(3＋eq \r(6))×eq \f(\r(3),2)＝9，
∴CD＝3.
(2)在△BCD中，由正弦定理得eq \f(BC,sin ∠BDC)＝eq \f(CD,sin ∠CBD)，
即eq \f(2\r(3),sin ∠BDC)＝eq \f(3,sin 30°)，解得sin ∠BDC＝eq \f(\r(3),3).
∵BC在△ACD中，由正弦定理得eq \f(AC,sin ∠ADC)＝eq \f(CD,sin ∠CAD)，
即eq \f(AC,cs ∠BDC)＝eq \f(3,sin ∠CAD).①
在△ABC中，由正弦定理得eq \f(AC,sin ∠ABC)＝eq \f(BC,sin ∠BAC)，
即eq \f(AC,sin ∠ABC)＝eq \f(2\r(3),sin ∠BAC).②
∵AC平分∠BAD，∴∠CAD＝∠BAC.
由①②得eq \f(sin ∠ABC,cs ∠BDC)＝eq \f(3,2\r(3))，解得sin ∠ABC＝eq \f(\r(2),2).
∵∠ABC为锐角，∴∠ABC＝45°.