高考数学一轮复习练习案58第八章解析几何第九讲第2课时最值范围证明问题含解析新人教版

这是一份高考数学一轮复习练习案58第八章解析几何第九讲第2课时最值范围证明问题含解析新人教版，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．(2021·广西钦州、崇左质检)抛物线x＝eq \f(y2,4)上的点与其焦点的距离的最小值为( B )
A．2 B．1
C．eq \f(1,16) D．eq \f(1,2)
[解析] 由题意，y2＝4x的焦点F(1,0)，准线为x＝－1，设抛物线上的动点P(x0，y0)，根据抛物线的定义可知，|PF|＝1＋x0，因为x0∈[0，＋∞)，所以|PF|＝1＋x0≥1，故抛物线y2＝4x上的点与其焦点的距离的最小值为1.故应选B.
2．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆eq \f(x2,10)＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是( D )
A．5eq \r(2) B．eq \r(46)＋eq \r(2)
C．7＋eq \r(2) D．6eq \r(2)
[解析] 设Q点坐标为(m，n)(－1≤n≤1)，因为圆心C(0，6)，故|QC|＝eq \r(m2＋n－62)①，因为eq \f(m2,10)＋n2＝1②，联立①②，|QC|＝eq \r(－9n2－12n＋46)，因为－1≤n≤1，故当n＝－eq \f(2,3)时，|QC|有最大值，最大值为5eq \r(2)，所以|PQ|max＝|QC|max＋eq \r(2)＝6eq \r(2).
3．设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( C )
A．9,12 B．8,11
C．8,12 D．10,12
[解析] c＝eq \r(a2－b2)＝4，椭圆的焦点为M′(－4,0)，N′(4,0)，又|PM′|＋|PN′|＝10，∴|PM|＋|PN|的最大值为|PM′|＋|PN′|＋1＋1＝12，最小值为|PM′|＋|PN′|－1－1＝8.故选 C．
4．(2021·四川宜宾模拟)M是抛物线y2＝4x上一点，N是圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线x－y－1＝0的对称圆上的一点，则|MN|的最小值是( C )
A．eq \f(\r(11),2)－1 B．eq \r(3)－1
C．2eq \r(2)－1 D．eq \f(3,2)
[解析] N是圆(x－1)2＋(y－2)2＝1，
设圆心为C(1,2)，半径为1，
圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心关于直线x－y－1＝0的对称点为C′(3,0)
则|MN|＝|C′M|－|C′N|＝|C′M|－1，C′点坐标(3,0)，
由于M在y2＝4x上，设M的坐标为(x，y)，
∴|C′M|＝eq \r(x－32＋y2)＝eq \r(x2－2x＋9)≥2eq \r(2)，
∵圆半径为1，
所以|MN|最小值为：2eq \r(2)－1.
故选：C．
5．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是( C )
A．2 B．eq \r(2)
C．4 D．2eq \r(2)
[解析] ∵eq \f(2,p)＝eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(|AF|＋|BF|,|AF|·|BF|)≥eq \f(2,\r(|AF|·|BF|))，即1≥eq \f(2,\r(|AF|·|BF|))，∴|AF|·|BF|≥4，(当且仅当|AF|＝|BF|时取等号)．故选 C．
6．(2021·绵阳二诊)若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P在椭圆上的任意一点，则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))的最大值为( B )
A．eq \f(21,4) B．6
C．8 D．12
[解析] 设P(x，y)，则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))＝x2＋y2＋x＝eq \f(1,4)x2＋x＋3＝eq \f(1,4)(x＋2)2＋2，(－2≤x≤2)，显然当x＝2时，eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))取得最大值6，故选B.
7．(2021·重庆巴蜀中学适应性考试)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－3)2＋(y－1)2＝1没有交点，则双曲线C的离心率e的取值范围是( C )
A．e>eq \f(5,4) B．e>eq \f(5,3)
C．1[解析] 因为双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线y＝±eq \f(a,b)x与圆(x－3)2＋(y－1)2＝1没有交点，
所以eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3\f(a,b)－1)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))2＋1))>1，解得eq \f(a,b)>eq \f(3,4)，
又因为c2＝a2＋b2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)又e>1，∴18．(2021·河南商丘、周口、驻马店联考)已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)右焦点为F1，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，抛物线y2＝－16x的焦点为F，若△ABF为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( D )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(13),2)，＋∞)) B．(eq \r(13)，＋∞)
C．(1,3) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1＋\r(13),2)))
[解析] 在双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,b2)＝1中，当x＝c时，y＝±eq \f(b2,2)，取Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,2))).因为△ABF是锐角三角形，所以∠AFF11，则1二、多选题
9．(2021·皖西南期末改编)若椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上存在一点P，使得|PF1|＝8|PF2|，其中F1，F2分别是C的左右焦点，则C的离心率的值可能是( BCD )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(7,9)
C．eq \f(4,5) D．eq \f(\r(3),2)
[解析] 由|PF1|＋|PF2|＝2a，且|PF1|＝8|PF2|知|PF2|＝eq \f(2a,9)，∴a－c≤eq \f(2a,9)≤a＋c，∴e＝eq \f(c,a)≥eq \f(7,9)，即e∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,9)，1))，故选BCD.
10．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且|AF|＝3|BF|，M为AB的中点，则下列结论正确的是( AC )
A．∠CFD＝90°
B．△CMD为等腰直角三角形
C．直线AB的斜率为±eq \r(3)
D．△AOB的面积为4
[解析] 不妨设A在第一象限，如图作BH⊥AC于H，
记|BF|＝a，则|AH|＝2a，|AB|＝4a，
∴∠HAB＝60°，∴kAB＝eq \r(3).
(同理当A在第四象限时kAB＝－eq \r(3))，C正确；
又AB：y＝eq \r(3)(x－1)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x,y＝\r(3)x－1))得A(3,2eq \r(3))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－\f(2\r(3),3)))，
∴S△AOB＝eq \f(1,2)|OF|·|yA－yB|＝eq \f(4\r(3),3)，D错；
又eq \(CF,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＝(2，－2eq \r(3))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2\r(3),3)))＝0，
∴eq \(CF,\s\up6(→))⊥eq \(DF,\s\up6(→))，即∠CFD＝90°，A正确；
又Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(2\r(3),3)))，
∴eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，－\f(4\r(3),3)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，\f(4\r(3),3)))＝eq \f(16,9)≠0，
即eq \(CM,\s\up6(→))与eq \(DM,\s\up6(→))不垂直，B错．故选AC．
三、填空题
11．(2021·甘肃诊断)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为A，其准线与x轴的交点为B，如果在直线3x＋4y＋25＝0上存在点M，使得∠AMB＝90°，则实数p的取值范围是 [10，＋∞) .
[解析] 由题意可知以O为圆心，eq \f(p,2)为半径的圆与直线有公共点，即5≤eq \f(p,2)，∴p≥10.
12．(2021·河南安阳模拟)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1，F2为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则eq \f(|PF1|2,|PF2|)的最小值为 4 .
[解析] 因为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的两焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，离心率为eq \f(1,2)，故双曲线C的离心率为2，c＝1，从而a＝eq \f(1,2)，|PF2|≥eq \f(1,2)，所以eq \f(|PF1|2,|PF2|)＝eq \f(2a＋|PF2|2,|PF2|)＝|PF2|＋eq \f(4a2,|PF2|)＋4a＝|PF2|＋eq \f(1,|PF2|)＋2≥2eq \r(|PF2|·\f(1,|PF2|))＋2＝4(当且仅当|PF2|＝1时，等号成立)．
13．(2021·江苏南通调研)椭圆与双曲线有相同的焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，椭圆的一个短轴端点为B，直线F1B与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2＝ 1 ；且3eeq \\al(2,1)＋eeq \\al(2,2)的最小值为 2eq \r(3) .
[解析] 设椭圆方程为eq \f(x2,a\\al(2,1))＋eq \f(y2,b\\al(2,1))＝1，
双曲线方程为eq \f(x2,a\\al(2,2))－eq \f(y2,b\\al(2,2))＝1，
则由直线F1B与双曲线的一条渐近线平行，
得eq \f(b1,c)＝eq \f(b2,a2)⇒eq \f(b\\al(2,1),c2)＝eq \f(b\\al(2,2),a\\al(2,2))⇒eq \f(a\\al(2,1)－c2,c2)＝eq \f(c2－a\\al(2,2),a\\al(2,2))⇒eq \f(1,e\\al(2,1))＝eeq \\al(2,2)，
∴e1e2＝1；
所以3eeq \\al(2,1)＋eeq \\al(2,2)≥2eq \r(3)e1e2＝2eq \r(3)，
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(e\\al(2,1)＝\f(\r(3),3),e\\al(2,2)＝\r(3)))取等号．
四、解答题
14．(2021·河南开封模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)，直线l：x＝－1.点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，动点Q满足RQ⊥PF，PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹方程E；
(2)若直线PF与曲线E交于A，B两点，过点F作直线PF的垂线与曲线E相交于C，D两点，求eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))·eq \(FD,\s\up6(→))的最大值．
[解析] (1)由题意可知R是线段PF的中点，
因为RQ⊥PF，所以RQ为PF的中垂线，
即|QP|＝|QF|，又因为PQ⊥l，
即Q点到点F的距离和到直线l的距离相等，
设Q(x，y)，则|x＋1|＝eq \r(x－12＋y2)，
化简得y2＝4x，所以动点Q的轨迹方程E为：y2＝4x.
(2)由题可知直线PF的斜率存在且不为0，
设直线PF：y＝k(x－1)，CD：y＝－eq \f(1,k)(x－1)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1,y2＝4x))，联立可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)，x1·x2＝1.
因为向量eq \(FA,\s\up6(→))，eq \(FB,\s\up6(→))方向相反，所以
eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＝－|eq \(FA,\s\up6(→))||eq \(FB,\s\up6(→))|＝－(x1＋1)(x2＋1)＝－(x1x2＋x1＋x2＋1)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,k2)＋4))，
同理，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，
可得eq \(FC,\s\up6(→))·eq \(FD,\s\up6(→))＝－|eq \(FC,\s\up6(→))|·|eq \(FD,\s\up6(→))|＝－4k2－4，
所以eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))·eq \(FD,\s\up6(→))＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k2＋\f(1,k2)))－8，
因为k2＋eq \f(1,k2)≥2，当且仅当k2＝1，即k＝±1时取等号，
所以eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))·eq \(FD,\s\up6(→))的最大值为－16.
15．(2021·湖南益阳调研)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(6),3)，且经过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2))).
(1)求椭圆C的方程；
(2)若不过坐标原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，且满足eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))，求△MON面积最大时直线l的方程．
[解析] (1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\f(\r(6),3),\f(3,4a2)＋\f(3,4b2)＝1,a2＝b2＋c2))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝3,b2＝1))，
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线MN的斜率显然存在，
设直线MN的方程为y＝kx＋m(m≠0)，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,3)＋y2＝1,y＝kx＋m))得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0.
Δ＝36k2m2－4(3k2＋1)(3m2－3)＝12(3k2＋1－m2)>0①
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－\f(6km,3k2＋1),x1·x2＝\f(3m2－3,3k2＋1)))，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝eq \f(2m,3k2＋1)，
因为eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－\f(6km,3k2＋1)＝\f(\r(3),2)λ,y1＋y2＝\f(2m,3k2＋1)＝\f(\r(3),2)λ))，
解得k＝－eq \f(1,3)，
代入①得－eq \f(2\r(3),3)所以，S△MON＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－x2))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m))eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m))eq \f(\r(123k2＋1－m2),3k2＋1)＝eq \f(3\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m))\r(4－3m2),4)
＝eq \f(\r(3)\r(3m24－3m2),4)≤eq \f(\r(3),4)·eq \f(3m2＋4－3m2,2)＝eq \f(\r(3),2)，
当且仅当3m2＝4－3m2，即m＝±eq \f(\r(6),3)时上式取等号，此时符合题意，
所以直线MN的方程为y＝－eq \f(1,3)x±eq \f(\r(6),3).
B组能力提升
1．(2021·桂林模拟)若点P在椭圆7x2＋4y2＝28上，则点P到直线3x－2y－16＝0的距离的最大值为( C )
A．eq \f(12\r(13),13) B．eq \f(16\r(13),13)
C．eq \f(24\r(13),13) D．eq \f(28\r(13),13)
[解析] 将椭圆方程7x2＋4y2＝28化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,7)＝1.
设椭圆上点P的坐标为P(2csα，eq \r(7)sinα)、则点P到直线3x－2y－16＝0的距离
d＝eq \f(|6csα－2\r(7)sinα－16|,\r(13))＝eq \f(|8csα＋φ－16|,\r(13))，
∴dmax＝eq \f(|－8－16|,\r(13))＝eq \f(24\r(13),13).故选 C．
2．(2021·河北联考)如图，由抛物线y2＝8x与圆E：(x－2)2＋y2＝9的实线部分构成图形Ω，过点P(2,0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点A、B，则|AB|的取值范围为( D )
A．[2,3] B．[3,4]
C．[4,5] D．[5,6]
[解析] 由题意可知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，圆(x－2)2＋y2＝9的圆心为E(2,0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|＝3.设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB|＝x0＋2，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝8x，,x－22＋y2＝9))得(x－2)2＋8x＝9，整理得x2＋4x－5＝0，解得x1＝1，x2＝－5(舍去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xC＝xD＝1，因此0≤x0≤1，又|AB|＝|AP|＋|BP|＝3＋x0＋2＝x0＋5，所以|AB|＝x0＋5∈[5,6]，故选D.
3．(2021·北京延庆统测)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为4，则C的焦距的最小值为 4eq \r(2) .
[解析] ∵双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
∴双曲线的渐近线方程是y＝±eq \f(b,a)x，
∵直线x＝a与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点
不妨设D在第一象限，E在第四象限，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a,y＝\f(b,a)x))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a,y＝b))，即D(a，b)
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a,y＝－\f(b,a)x))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a,y＝－b))，即E(a，－b)
∴|ED|＝2b；
∴△ODE面积为：S△ODE＝eq \f(1,2)a×2b＝ab＝4；
∵双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
∴其焦距为2c＝2eq \r(a2＋b2)≥2eq \r(2ab)＝2eq \r(8)＝4eq \r(2)；
当且仅当a＝b＝2时，取等号；
∴C的焦距的最小值为4eq \r(2).
4．(2021·山西长治联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2交于点M.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若l1⊥l2，求三角形△MAB面积的最小值．
[解析] (1)焦点到准线的距离为2，即p＝2，
所以求抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)抛物线的方程为x2＝4y，即y＝eq \f(1,4)x2，
所以y′＝eq \f(1,2)x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
l1：y－eq \f(x\\al(2,1),4)＝eq \f(x1,2)(x－x1)，
l2：y－eq \f(x\\al(2,2),4)＝eq \f(x2,2)(x－x2)，
由于l1⊥l2，所以eq \f(x1,2)·eq \f(x2,2)＝－1，即x1x2＝－4，
设直线l方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m,x2＝4y))所以x2－4kx－4m＝0，
Δ＝16k2＋16m>0，x1＋x2＝4k，
x1x2＝－4m＝－4，所以m＝1，即l：y＝kx＋1，
联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(x1,2)x－\f(x\\al(2,1),4),y＝\f(x2,2)x－\f(x\\al(2,2),4)))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2k,y＝－1))，
即M(2k，－1)，
M点到直线l的距离
d＝eq \f(|k·2k＋1＋1|,\r(1＋k2))＝eq \f(2|k2＋1|,\r(1＋k2))
|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝4(1＋k2)，
所以S＝eq \f(1,2)×4(1＋k2)×eq \f(2|k2＋1|,\r(1＋k2))＝4(1＋k2)eq \f(3,2)≥4，
当k＝0时，△MAB面积取得最小值4.
5．(2021·陕西质检)已知椭圆D：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率是eq \f(\r(3),2).
(1)求椭圆D的方程；
(2)点Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，2))，轨迹D上的点A，B满足eq \(EA,\s\up6(→))＝λeq \(EB,\s\up6(→))，求实数λ的取值范围．
[解析] (1)由已知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝b2＋c2,b＝1,\f(c,a)＝\f(\r(3),2)))⇒a＝2，b＝1，c＝eq \r(3)，
所以D的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)过Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，2))的直线若斜率不存在，则λ＝eq \f(1,3)或3.
设直线斜率k存在，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2,x2＋4y2－4＝0))⇒(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
又eq \(EA,\s\up6(→))＝λeq \(EB,\s\up6(→))，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝16k2－481＋4k2≥0， ①,x1＋x2＝\f(－16k,1＋4k2)， ②,x1x2＝\f(12,1＋4k2)， ③,x1＝λx2， ④))
由②④解得x1，x2代入③式得
eq \f(λ,1＋λ2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－16k,1＋4k2)))2＝eq \f(12,1＋4k2)，
化简得eq \f(λ,1＋λ2)＝eq \f(3,64)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k2)＋4))，
由(1)Δ≥0解得k2≥eq \f(3,4)代入上式右端得
eq \f(3,16)综上实数λ的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，3)).