高考数学一轮复习练习案69第九章计数原理概率随机变量及其分布第九讲正态分布含解析新人教版

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这是一份高考数学一轮复习练习案69第九章计数原理概率随机变量及其分布第九讲正态分布含解析新人教版，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．(2021·江苏扬州调研)已知随机变量X～N(1，σ2)，P(X≥0)＝0.8，则P(X>2)＝( A )
A．0.2 B．0.4
C．0.6 D．0.8
[解析] 由X～N(1，σ2)，正态曲线关于X＝1对称，∴P(X>2)＝P(X<0)＝1－P(X≥0)＝0.2；故选A.
2．(2021·九江一模)已知随机变量X服从正态分布N(5,4)，且P(X>k)＝P(XA．6 B．7
C．8 D．9
[解析] ∵eq \f(k－4＋k,2)＝5，∴k＝7，故选B.
3．(2020·河北唐山一模)随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，则μ＝( C )
A．6 B．5
C．4 D．3
[解析] 由题意可知P(ξ≥6)＝1－P(ξ<2)－P(2<ξ<6)＝0.2，
∴P(ξ≥6)＝P(ξ<2)，∴μ＝eq \f(6＋2,2)＝4.选C．
4．(2021·湖南益阳调研)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ<4)＝0.9，则P(－2<ξ<4)＝( D )
A．0.2 B．0.4
C．0.6 D．0.8
[解析] 由正态曲线的对称性知
P(－2<ξ<4)＝2P(1<ξ<4)＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－Pξ>4))＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－1－Pξ<4))＝0.8.故选D.
5．(2021·重庆模拟)若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，则P(|X－μ|≤σ)≈0.682 6，P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 4，P(|X－μ|≤3σ)≈0.997 4.已知某校1 000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N(110,100)，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为( C )
A．159 B．46
C．23 D．13
[解析] 由题意，μ＝110，σ＝10，
故P(X>130)＝P(X>μ＋2σ) ＝eq \f(1－0.954 4,2)＝0.022 8.
∴估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为1 000×0.022 8＝22.8≈23.故选 C．
6．(2020·浙江宁波期末)已知随机变量X的分布列是
若E(X)＝eq \f(11,6)，则D(X)的值是( A )
A．eq \f(17,36) B．eq \f(17,18)
C．eq \f(23,9) D．eq \f(23,18)
[解析] 由P1＋P2＋P3＝1，得a＋b＝eq \f(2,3).①
由E(X)＝eq \f(1,3)＋2a＋3b＝eq \f(11,6)，②
得2a＋3b＝eq \f(3,2)，联立①②，
得a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,6).
所以D(X)＝E(X2)－(E(X))2
＝1×eq \f(1,3)＋4×eq \f(1,2)＋9×eq \f(1,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)))2＝eq \f(17,36).故选A.
7．(2021·甘肃兰州一中月考)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝( B )
A．eq \f(8,5) B．eq \f(6,5)
C．eq \f(4,5) D．eq \f(2,5)
[解析] 由题意知X～B(5，eq \f(3,m＋3))，
∴eq \f(5×3,m＋3)＝3，解得m＝2，
∴X～B(5，eq \f(3,5))，∴D(X)＝5×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)＝eq \f(6,5).
8．(2020·福建模拟)已知随机变量X～N(2,1)，其正态分布密度曲线如图所示．若在边长为1的正方形OABC内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为( D )
附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4.
A．0.135 9 B．0.658 7
C．0.728 2 D．0.864 1
[解析] 由题意P(0＜X≤1)＝eq \f(1,2)×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.
在正方形OABC内随机取一点，则该点恰好落在阴影部分的概率为P＝eq \f(1×1－0.135 9,1×1)＝0.864 1.
故选D.
二、多选题
9．(2021·山东青岛模拟)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ，302)和N(280，402)，则下列选项正确的是( ABD )
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σA．若红玫瑰日销售量范围在(μ－30,280)的概率是0.682 6，则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D．白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.3413
[解析] 对于选项A：μ＋30＝280，μ＝250，正确；对于选项BC：利用σ越小越集中，30小于40，B正确，C不正确；对于选项D：P(28010．(2021·湖北荆州中学调研)已知某校高三年级有1 000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为[60,300]，若使标准分X服从正态分布N(180,900)．
(参考数据：①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σA．这次考试标准分超过180分的约有450人
B．这次考试标准分在(90,270]内的人数约为997
C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为eq \f(3,8)
D．P(240[解析] 这次考试标准分超过180分的约有500人，A错；∵P(90三、填空题
11．(2020·吉林长春二模)已知随机变量X服从正态分布N(m，σ2)，若P(x≤－3)＝P(x≥4)，则m＝ eq \f(1,2) .
[解析] 由正态分布的性质可知，m＝eq \f(－3＋4,2)＝eq \f(1,2).
12．(2021·苏鲁名校联考)设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ<2)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝ 0.6 .
[解析] 由题意知P(1<ξ<2)＝P(ξ<2)－0.5＝0.3，
∴P(0<ξ<2)＝2P(1<ξ<2)＝0.6.
13．(2021·吉林一中模拟)若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4.设ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≥3)＝0.158 7，则σ＝ 2 .
[解析] ∵P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，∴P(ξ≥μ＋σ)＝eq \f(1,2)×(1－0.682 6)＝0.158 7，∵ξ～N (1，σ2)，P(ξ≥1＋σ)＝0.158 7＝P(ξ≥3)，∴1＋σ＝3，即σ＝2.
四、解答题
14．(2021·重庆巴蜀中学适应性考试)新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即2019新型冠状病毒.2020年2月7日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现，基于目前流行病学调查，潜伏期为1～14天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能成为传染源，某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取10 000人，答题成绩统计如图所示．
(1)由直方图可认为答题者的成绩z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别为答题者的平均成绩eq \(x,\s\up6(－))和成绩的方差s2，那么这10 000名答题者成绩超过84.81分的人数估计有多少人？(同一组中的数据用该组的区间中点值作代表)
(2)如果成绩超过56.19分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这10 000名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取4人，“防御知识合格者”的人数为ξ，求P(ξ≤3)．(精确到0.001)
附：①s2＝204.75，eq \r(204.75)＝14.31；②z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ[解析] (1)由题意知：
eq \(x,\s\up6(－))＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝ 70.5，
因为z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝eq \(x,\s\up6(－))＝70.5，
σ2＝ D(ξ)＝204.75，σ＝14.31，
∴z服从正态分布N(μ，σ2)＝N(70.5,14.312)，
而P(μ－σ∴P(z≥84.81)＝eq \f(1－0.682 6,2)＝0.158 7，
∴竞赛成绩超过84.81的人数估计为
0．158 7×10 000＝1 587人．
(2)由(1)知，成绩超过56.19的概率为
1－0.158 7＝0.841 3，
而ξ～B(4,0.841 3)，
∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－Ceq \\al(4,4)·0.841 34＝1－0.501＝0.499.
15．(2021·广东六校联考)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．
方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为eq \f(4,5).第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1 000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．
方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为eq \f(2,5)，每次中奖均可获得奖金400元．
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；
(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？
[解析] (1)由题意，X的所有可能取值为0,500,1 000.
则P(X＝0)＝eq \f(1,5)＋eq \f(4,5)×eq \f(1,2)×eq \f(1,5)＝eq \f(7,25)，
P(X＝500)＝eq \f(4,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,5)，
P(X＝1 000)＝eq \f(4,5)×eq \f(1,2)×eq \f(4,5)＝eq \f(8,25)，
∴某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为
(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望E(X)＝500×eq \f(2,5)＋1 000×eq \f(8,25)＝520，
若选择方案乙进行抽奖，中奖次数ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(2,5)))，则E(ξ)＝3×eq \f(2,5)＝eq \f(6,5)，
抽奖所获奖金X的期望E(X)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，
故选持方案甲较划算．
B组能力提升
1．(2020·北京朝阳期末)春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差D(X)＝2.1，P(X＝3)[解析] 由题意可知：X～B(10，p)，
且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10p1－p＝2.1,PX＝3即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1( 100p2－100p＋21＝0,p>0.5))，∴p＝0.7.
2．(2021·新高考八省联考)对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,n)))，为使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.954 5，至少要测量 32 次(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<2σ)＝0.954 5)．
[解析] 根据正态曲线的对称性知：
要使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.954 5，
则(μ－2σ，μ＋2σ)⊂(－0.5,0.5)且μ＝0，
σ＝eq \r(\f(2,n))，所以0.5≥2eq \r(\f(2,n))⇒n≥32.故答案为：32.
3．(2021·河南洛阳统测)若某单位员工每月网购消费金额(单位：元)近似地服从正态分布N(1 000，5002)，现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2 000元之间的人数为ξ，则ξ的数学期望为( C )
参考数据：若随机变量X服从正态分布则N(μ，σ2)，则P(μ－σA．2.718 B．6.827
C．8.186 D．9.545
[解析] P(1 000－500＝P(1 000－2×500＝P(1 000－2×500－eq \f(P1 000－2×500＝eq \f(0.9545＋0.6827,2)＝0.818 6，
ξ的数学期望为0.8186×10＝8.186，
故选 C．
4．(2021·云南名校适应性考试)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每道题正确完成的概率都是eq \f(2,3)，且每道题正确完成与否互不影响．
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；
(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
[解析] (1)设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的可能取值为1,2,3.
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,2),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5)；P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2),C\\al(3,6))＝eq \f(3,5)；
P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(3,4)C\\al(0,2),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5).
∴应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为
∴E(ξ)＝1×eq \f(1,5)＋2×eq \f(3,5)＋3×eq \f(1,5)＝2.
设乙正确完成面试的题数为η，则η的可能取值为0,1,2,3.
P(η＝0)＝Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3＝eq \f(1,27)；P(η＝1)＝Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))1·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(6,27)；
P(η＝2)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝eq \f(12,27)；
P(η＝3)＝Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(8,27).
应聘者乙正确完成题数η的分布列为
E(η)＝0×eq \f(1,27)＋1×eq \f(6,27)＋2×eq \f(12,27)＋3×eq \f(8,27)＝2.
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或因为η～B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(2,3)))，所以Eη＝3×\f(2,3)＝2))
(2)因为D(ξ)＝(1－2)2×eq \f(1,5)＋(2－2)2×eq \f(3,5)＋(3－2)2×eq \f(1,5)＝eq \f(2,5)，D(η)＝3×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).所以D(ξ)5．(2021·辽宁大连模拟)某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．
(1)请你为其选择一条由A到B的最短路线，且使得途中发生堵车事件的概率最小；
(2)若记路线ACFB中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望E(ξ)．
[解析] (1)∵各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，
∴路段ACDB中遇到堵车的概率P1＝1－eq \f(4,5)×eq \f(7,8)×eq \f(2,3)＝eq \f(8,15).
同理线路ACFB中遇到堵车的概率P2＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(小于\f(8,15)))；
路线AEFB中遇到堵车的概率P3＝eq \f(5,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(大于\f(8,15))).
所以选择路线ACFB，可使得途中发生堵车事件的概率最小．
(2)路线ACFB中遇到堵车次数ξ可取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝eq \f(4,5)×eq \f(3,4)×eq \f(5,6)＝eq \f(1,2)，
P(ξ＝1)＝eq \f(1,5)×eq \f(3,4)×eq \f(5,6)＋eq \f(4,5)×eq \f(1,4)×eq \f(5,6)＋eq \f(4,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,6)＝eq \f(47,120)，
P(ξ＝2)＝eq \f(1,5)×eq \f(1,4)×eq \f(5,6)＋eq \f(1,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,6)＋eq \f(4,5)×eq \f(1,4)×eq \f(1,6)＝eq \f(12,120)＝eq \f(1,10)，
P(ξ＝3)＝eq \f(1,5)×eq \f(1,4)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,120)，
∴E(ξ)＝0×eq \f(1,2)＋1×eq \f(47,120)＋2×eq \f(12,120)＋3×eq \f(1,120)＝eq \f(37,60).
6．(2021·河南洛阳尖子生联考)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．
(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数eq \(x,\s\up6(－))(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55，38.45)内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望．
附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ＝eq \r(142.75)≈11.95；
②若Z～N(μ，σ2)，则
P(μ－σP(μ－2σ[解析] (1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数eq \(x,\s\up6(－))为：
eq \(x,\s\up6(－))＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.
(2)①∵Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，
∴P(14.55＝P(26.5－11.95∴Z落在(14.55,38.45)内的概率是0.682 6.
②根据题意得X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,2)))，
P(X＝0)＝Ceq \\al(0,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4＝eq \f(1,16)；
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4＝eq \f(1,4)；
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4＝eq \f(3,8)；
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4＝eq \f(1,4)；
P(X＝4)＝Ceq \\al(4,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4＝eq \f(1,16).
∴X的分布列为
∴E(X)＝4×eq \f(1,2)＝2.
X
1
2
3
P
eq \f(1,3)
a
b
X
0
500
1 000
P
eq \f(7,25)
eq \f(2,5)
eq \f(8,25)
ξ
1
2
3
P
eq \f(1,5)
eq \f(3,5)
eq \f(1,5)
η
0
1
2
3
P
eq \f(1,27)
eq \f(6,27)
eq \f(12,27)
eq \f(8,27)
X
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,16)
eq \f(1,4)
eq \f(3,8)
eq \f(1,4)
eq \f(1,16)