高考数学一轮复习练习案65第九章计数原理概率随机变量及其分布第五讲古典概型含解析新人教版

这是一份高考数学一轮复习练习案65第九章计数原理概率随机变量及其分布第五讲古典概型含解析新人教版，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．(2021·甘肃兰州一中月考)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点分别为x，y，则lg2xy＝1的概率为( C )
A．eq \f(1,6) B．eq \f(5,36)
C．eq \f(1,12) D．eq \f(1,2)
[解析] 要使lg2xy＝1，则要求2x＝y，∴符合题意的基本事件数为3，而基本事件总数为36，∴概率为eq \f(3,36)＝eq \f(1,12).
2．(2021·陕西汉中质检)中国将于今年9月3日至5日举行国家领导人第九次会晤．某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译．随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是( C )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(3,5) D．eq \f(2,3)
[解析] P＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,2),C\\al(2,5))＝eq \f(3,5).故选 C．
3．(2021·安徽皖江名校联考)疫情期间，某市教育局为了解学生线上学习情况，准备从10所学校(其中6所中学4所小学)随机选出3所进行调研，其中A中学与B小学同时被选中的概率为( C )
A．eq \f(1,5) B．eq \f(1,8)
C．eq \f(1,15) D．eq \f(3,20)
[解析] 基本事件共Ceq \\al(3,10)＝120，其中A中学与B小学被选中包含Ceq \\al(1,8)＝8个基本事件，故所求概率为P＝eq \f(8,120)＝eq \f(1,15)，故选 C．
4．(2021·河北石家庄质检)北京冬奥会将于2022年2月4日到20日在北京和张家口举行．为纪念申奥成功，中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为( C )
A．eq \f(3,10) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(3,5) D．eq \f(7,10)
[解析] P＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(2,3),C\\al(3,5))＝eq \f(3,5).故选 C．
5. (2021·湖南郴州质检)《易经》是中国传统文化中的精髓．图是易经先天八卦图，每一卦由三根线组成(“——”表示一根阳线，“— —”表示一根阴线)，现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目相同的概率为( C )
A．eq \f(1,14) B．eq \f(1,7)
C．eq \f(3,14) D．eq \f(3,28)
[解析] P＝eq \f(2C\\al(2,3),C\\al(2,8))＝eq \f(3,14)，故选 C．
6．(2020·山东省潍坊市期中)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜，则田忌获胜的概率为( B )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,6)
C．eq \f(1,9) D．eq \f(1,36)
[解析] 设齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C，设田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．基本事件有：(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Bc，Ca)，(Ab，Ba，Cc)，(Ac，Bb，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，共6个，田忌获胜包含的基本事件有：(Ac，Ba，Cb)，只有1个，∴田忌获胜的概率为P＝eq \f(1,6)，故选：B.
7．(2021·百所名校联考)中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏(pá)、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器， “土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为( B )
A．eq \f(3,14) B．eq \f(11,14)
C．eq \f(1,14) D．eq \f(2,7)
[解析] 从“八音”中任取不同的“两音”共有Ceq \\al(2,8)＝28种取法；“两音”中含有打击乐器的取法共有Ceq \\al(2,8)－Ceq \\al(2,4)＝22种取法；∴所求概率P＝eq \f(22,28)＝eq \f(11,14).故选：B.
8．(2021·重庆巴蜀中学模拟)已知平面上有3个点A，B，C，在A处放置一个小球，每次操作时将小球随机移动到另一个点处，则4次操作之后，小球仍在A点的概率为( D )
A．eq \f(11,16) B．eq \f(5,8)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(3,8)
[解析] 由图可知所求概率P＝eq \f(6,16)＝eq \f(3,8)，故选D.
9．(2020·江西新余期末)今年4月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作，为了进一步解决“两不愁，三保障”的突出问题，当地安排包括甲、乙在内的5名专家对石柱县的3个不同的乡镇进行调研，要求每个乡镇至少安排一名专家，则甲、乙两名专家安排在不同乡镇的概率为( A )
A．eq \f(19,25) B．eq \f(17,20)
C．eq \f(16,25) D．eq \f(19,40)
[解析] 记甲、乙两名专家被分配在同乡镇的事件为A,5名专家分到3个不同的乡镇，共有2种情况，1种情况为1,1,3人，另1种情况为1,2,2人．那么P(A)＝eq \f(C\\al(1,3)A\\al(3,3)＋C\\al(1,3)A\\al(3,3),\f(C\\al(1,5)C\\al(1,4)C\\al(3,3),A\\al(2,2))A\\al(3,3)＋\f(C\\al(1,5)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(2,2))A\\al(3,3))＝eq \f(6,10＋15)＝eq \f(6,25)，所以甲、乙两名专家不在同乡镇的概率为：P(eq \(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)＝eq \f(19,25).故选A.
10．(2021·湖北武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟联考)已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是( B )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(5,16)
C．eq \f(3,8) D．eq \f(1,2)
[解析] 由题意可知第6次移动后回到原点⇔6次移动中向左移了3次，故所求概率P＝eq \f(C\\al(3,6),26)＝eq \f(5,16).故选B.
二、多选题
11．以下对各事件发生的概率判断正确的是( BCD )
A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是eq \f(1,3)
B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如8＝3＋5，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为eq \f(1,15)
C．将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是eq \f(5,36)
D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是eq \f(1,2)
[解析] 玩一局甲不输的概率为eq \f(2,3)，A错；不超过14的素数为2,3,5,7,11,13共6个，故从中任取两个数，其和等于14的概率为eq \f(1,C\\al(2,6))＝eq \f(1,15)，B正确；对于C，点数之和为6的情况只有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)5种情况，所求概率P＝eq \f(5,C\\al(1,6)C\\al(1,6))＝eq \f(5,36)，C正确；对于D，所求概率P＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,4))＝eq \f(1,2)，D正确．故选BCD.
12．(2021·江苏徐州一中、兴化中学期中)已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1,2,3,4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1,2,3,5,6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，则( BC )
A．事件A发生的概率为eq \f(1,2)
B．事件A∪B发生的概率为eq \f(11,20)
C．事件A∩B发生的概率为eq \f(2,5)
D．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为eq \f(1,5)
[解析] P(A)＝eq \f(11,20)，A错；P(A∪B)＝eq \f(11,20)，B正确；P(A∩B)＝eq \f(8,20)＝eq \f(2,5)，C正确；从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为eq \f(1,4)，D错，故选BC．
三、填空题
13．(2021·广东调研)某中学音乐社共有9人，其中高一的同学有4人，高二的同学有3人，高三的同学有2人，他们排成一排合影，则同年级的同学都排在一起的概率为 eq \f(1,210) .
[解析] 由捆绑法可得所求概率P＝eq \f(A\\al(2,2)A\\al(3,3)A\\al(4,4)A\\al(3,3),A\\al(9,9))＝eq \f(1,210).
14．(2021·湖北龙泉中学、荆州中学、宜昌一中联考)5人并排站成一行，甲、乙两人之间恰好有一人的概率是 eq \f(3,10) .(用数字作答)
[解析] 5人排一行共有Aeq \\al(5,5)种排法，甲、乙两人之间恰有
一人有Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)种排法，故所求概率P＝eq \f(C\\al(1,3)A\\al(2,2)A\\al(3,3),A\\al(5,5))＝eq \f(3,10).
15．(2021·武汉调研)某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e>eq \r(5)的概率是eq \f(1,6).
[解析] 由e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))>eq \r(5)，得b>2a.当a＝1时，b＝3,4,5,6四种情况；当a＝2时，b＝5,6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有36种结果．∴所求事件的概率P＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6).
四、解答题
16．(2021·兰州双基测试)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
[解析] (1)由题意，所有可能的结果为33，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，
所以P(A)＝eq \f(3,27)＝eq \f(1,9)，因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为eq \f(1,9).
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件eq \x\t(B)包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P(B)＝1－P(eq \x\t(B))＝1－eq \f(3,27)＝eq \f(8,9)，因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为eq \f(8,9).
17．(2021·华南师大附中综合测试)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数，单位：分)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，画出如下不完整的频率分布直方图．观察图中的信息，回答下列问题：
(1)求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并估计该校高一年级学生的数学成绩的中位数；
(2)从被抽取的数学成绩是70分以上(包括70分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率．
[解析] (1)因为各组的频率之和等于1，故第四小组的频率为f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.
补全的频率分布直方图如图：
中位数是xc＝70＋10×eq \f(0.1,0.3)＝73.33.
因而估计该校高一年级学生的数学成绩的中位数是73.33分．
(2)分数在[70, 80)，[80, 90)，[90,100]的人数分别是0.03×10×60＝18,0.025×10×60＝15,0.005×10×60＝3.
所以从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选2人，他们在同一分数段的概率P＝eq \f(C\\al(2,18)＋C\\al(2,15)＋C\\al(2,3),C\\al(2,36))＝eq \f(29,70).
B组能力提升
1．(2021·湖北武汉部分学校质检)我国古人认为宇宙万物是由金，木，水，火，土这五种元素构成，历史文献《尚书·洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出．这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质属性中随机选取三种，则取出的三种物质属性中，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为( B )
A．eq \f(3,5) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(2,5) D．eq \f(1,3)
[解析] 从5个里面选3个共有10种情况，其中恰好有一个相生关系和两个相克关系的有5种情况，所以概率为eq \f(1,2)，故选B.
2．(2021·安徽六校联考)2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”．现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为( B )
A．eq \f(27,64) B．eq \f(9,16)
C．eq \f(81,256) D．eq \f(7,16)
[解析] 4名同学去旅游的所有情况有：44＝256种，恰有一个地方未被选中共有：Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(2,4)·Aeq \\al(3,3)＝144种情况，∴恰有一个地方未被选中的概率：P＝eq \f(144,256)＝eq \f(9,16).故选B.
3．(2021·四川成都月考)2021年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率( D )
A．eq \f(1,36) B．eq \f(1,16)
C．eq \f(1,8) D．eq \f(1,6)
[解析] 每个人的选法有Ceq \\al(2,4)＝6种，两人选的不同结果有36种，选法相同的有6种，故所求概率P＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6).故选D.
4．(2021·广西柳州铁路一中、玉林一中联考)共有编号分别为1,2,3,4,5的五个座位，在甲同学不坐2号座位，乙同学不坐5号座位的条件下，甲、乙两位同学的座位号相加是偶数的概率为( A )
A．eq \f(5,13) B．eq \f(5,12)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,12)
[解析] 所求事件的概率P＝eq \f(C\\al(1,1)C\\al(1,1)＋C\\al(1,2)＋C\\al(1,2),C\\al(1,4)＋C\\al(1,3)C\\al(1,3))＝eq \f(5,13)，选A.
5．(2020·安徽芜湖期末)某校高三年级有男生410人，学号为001,002，…，410；女生290人，学号为411,412，…，700对高三学生进行问卷调查，按学号采用系统抽样的方法，从这700名学生中抽取10人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为030)；再从这10名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是( D )
A．eq \f(1,5) B．eq \f(3,10)
C．eq \f(7,10) D．eq \f(4,5)
[解析] 由30＋70k≤410且k∈N知k＝0,1，…，5.∴抽取的10人中男生6人，女生4人．记“抽取的3人中既有男生又有女生”为事件A，则P(A)＝1－eq \f(C\\al(3,4)＋C\\al(3,6),C\\al(3,10))＝eq \f(4,5)(或P(A)＝eq \f(C\\al(1,6)C\\al(2,4)＋C\\al(2,6)C\\al(1,4),C\\al(3,10))＝eq \f(4,5))．故选D.
6．(2021·河北名优校联考)为了解学生课外使用手机的情况，某学校收集了本校500名学生2019年12月课余使用手机的总时间(单位：小时)的情况．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50名学生中，恰有3名女生课余使用手机的总时间在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(10，12))，现在从课余使用手机总时间在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(10，12))的样本对应的学生中随机抽取3名，则至少抽到2名女生的概率为( C )
A．eq \f(15,56) B．eq \f(3,8)
C．eq \f(2,7) D．eq \f(5,28)
[解析] ∵这50名学生中，恰有3名女生的课余使用手机总时间在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(10，12))，课余使用手机总时间在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(10，12))的学生共有500×0.08×2＝8(名)，
∴从课余使用手机总时间在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(10，12))的学生中随机抽取3人，基本事件总数n＝Ceq \\al(3,8)＝56，
至少抽到2名女生包含的基本事件个数m＝Ceq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,5)＝16，
则至少抽到1名女生的概率为p＝eq \f(m,n)＝eq \f(16,56)＝eq \f(2,7).
故选 C．