人教B版 (2019)必修第一册3.1.2 函数的单调性第1课时课后复习题

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这是一份人教B版 (2019)必修第一册3.1.2 函数的单调性第1课时课后复习题，共6页。试卷主要包含了证明等内容，欢迎下载使用。

课后篇巩固提升
合格考达标练
1.(多选题)(2020福建厦门高一检测)如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论中正确的是( )

A.f(x1)-f(x2)x1-x2>0
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C.f(a)≤f(x1)D.f(x1)>f(x2)
答案AB
解析由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B正确;对于选项C,D,因为x1,x2的大小关系无法判断,则f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断,故C,D不正确.故选AB.
2.下列有关函数单调性的说法,不正确的是( )
A.若f(x)为增函数,g(x)为增函数,则f(x)+g(x)为增函数
B.若f(x)为减函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为减函数
C.若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为增函数
D.若f(x)为减函数,g(x)为增函数,则f(x)-g(x)为减函数
答案C
解析根据不等量的关系,两个相同单调性的函数相加单调性不变,选项A,B正确;对于选项D,g(x)为增函数,则-g(x)为减函数,f(x)为减函数,f(x)+(-g(x))为减函数,选项D正确;对于选项C,若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)的单调性不确定.例如f(x)=x+2为R上的增函数,当g(x)=-12x时,f(x)+g(x)=x2+2在R上为增函数;当g(x)=-3x时,f(x)+g(x)=-2x+2在R上为减函数,故不能确定f(x)+g(x)的单调性.故选C.
3.(2020山西大同第四中学高一期中)已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)A.23,+∞B.23,1
C.(0,2)D.(0,+∞)
答案B
解析因为函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)1-a,-1<2a-1<1,-1<1-a<1,解得234.已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-1)答案(1,2]
解析由题意得-1≤x-1≤1,-1≤x2-1≤1,x-11,即15.已知函数f(x)=ax2-(3a-1)x+a2在[1,+∞)内是增函数,则a的取值范围是 .
答案[0,1]
解析当a=0时,f(x)=x,显然f(x)在[1,+∞)内是增函数;当a≠0时,a>0,--(3a-1)2a≤1,所以0综上所述,0≤a≤1,即a的取值范围是[0,1].
6.证明:函数y=x+9x在区间(0,3]上是减函数.
证明任取00,
Δy=y2-y1=x2+9x2-x1+9x1
=(x2-x1)-9(x2-x1)x1x2
=(x2-x1)1-9x1x2.
∵00,9x2x1>1,即1-9x2x1<0.
∴Δy=y2-y1<0,
∴函数y=x+9x在(0,3]上是减函数.
等级考提升练
7.定义在R上的函数y=f(x)关于y轴对称,且在[0,+∞)内是增函数,则下列关系成立的是( )
A.f(3)B.f(-π)C.f(-4)D.f(3)答案D
解析依题意得f(-π)=f(π),f(-4)=f(4),又f(x)在[0,+∞)内是增函数,所以f(3)8.函数y=121-x2的单调递增区间是 .
答案[-1,0]
解析由1-x2≥0,得-1≤x≤1,∴函数y=121-x2的定义域为[-1,1].设u=1-x2,当-1≤x≤0时,u是x的增函数,而y是u的增函数,∴y是x的增函数;当0≤x≤1时,u是x的减函数,而y是u的增函数,∴y是x的减函数.∴y=121-x2的单调递增区间是[-1,0],单调递减区间是[0,1].
9.已知f(x)=ax+1x+2在区间(-2,+∞)内是增函数,则实数a的取值范围是 .
答案12,+∞
解析设x1,x2是(-2,+∞)内的任意两个不相等的实数,且-2则f(x2)-f(x1)=ax2+1x2+2-ax1+1x1+2=(x2-x1)(2a-1)(x1+2)(x2+2).
∵-20,(x1+2)(x2+2)>0.
∴x2-x1(x1+2)(x2+2)>0.
又∵f(x)在(-2,+∞)内为增函数,
∴f(x2)-f(x1)>0,∴2a-1>0,即a>12.
即实数a的取值范围是12,+∞.
10.函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x>0时,f(x)>1.
(1)求证:f(x)是R上的增函数;
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
(1)证明设x1则Δx=x2-x1>0,Δy=f(x2)-f(x1),
由已知得f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1,
∴Δy=f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1.
∵x10.
∴f(x2-x1)>1.
∴f(x2-x1)-1>0.
∴Δy>0.
∴f(x)是R上的增函数.
(2)解令a=b=2,则f(4)=f(2)+f(2)-1=5,
∴f(2)=3.
∴原不等式可化为f(3m2-m-2)由(1)得3m2-m-2<2,
∴3m2-m-4<0.
∴(3m-4)(m+1)<0.
∴-1∴原不等式的解集为-1,43.
新情境创新练
11.如果函数y=f(x)(x∈D)满足:
(1)f(x)在D上是单调函数;
(2)存在闭区间[a,b]⊆D,使f(x)在区间[a,b]上的值域也是[a,b].
那么就称函数y=f(x)为闭函数.
试判断函数y=x2+2x在[-1,+∞)内是否为闭函数.如果是闭函数,那么求出符合条件的区间[a,b];如果不是闭函数,请说明理由.
解设x1,x2是[-1,+∞)内的任意两个不相等的实数,且-1≤x1f(x2)-f(x1)=(x22+2x2)-(x12+2x1)
=(x22-x12)+2(x2-x1)=(x2-x1)(x1+x2+2).
∵-1≤x10,x1+x2+2>0.
∴(x2-x1)(x1+x2+2)>0.
∴f(x2)>f(x1).
∴函数y=x2+2x在[-1,+∞)内是增函数.
假设存在符合条件的区间[a,b],则有
f(a)=a,f(b)=b,即a2+2a=a,b2+2b=b,
解得a=0,b=0或a=0,b=-1或a=-1,b=0或a=-1,b=-1.
又∵-1≤a∴函数y=x2+2x在[-1,+∞)内是闭函数,符合条件的区间是[-1,0].

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