高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试导学案，共5页。
类型1 函数性质的判断
【例1】 (1)对于函数f(x)＝eq \f(x＋1,x－1)的性质，下列描述：
①函数f(x)在定义域内是减函数；
②函数f(x)是非奇非偶函数；
③函数f(x)的图象关于点(1,1)对称．
其中正确的有几项( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)设f(x)是定义在R上的增函数，F(x)＝f(x)－f(－x)，那么F(x)必为( )
A．增函数且是奇函数
B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数
D．减函数且是偶函数
(1)C (2)A [(1)∵f(x)＝eq \f(x＋1,x－1)＝1＋eq \f(2,x－1)的定义域{x|x≠1}，在(－∞，1)，(1，＋∞)单调递减，但是在定义域内不是递减，故①错误；由于f(x)的定义域关于原点不对称，即f(x)为非奇非偶函数，②正确；
根据函数图象的平移可知，f(x)＝1＋eq \f(2,x－1)的图象可由y＝eq \f(2,x)的图象向右平移1个单位，向上平移1个单位，故函数的图象的对称中心(1,1)，③正确．故选C.
(2)∵F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，
∴F(x)为定义在R上的奇函数，
设x2>x1，则F(x2)－F(x1)＝f(x2)－f(－x2)－f(x1)＋f(－x1)，
∵x2>x1，∴－x2f(x1)，f(－x1)>f(－x2)，
∴F(x2)－F(x1)＝[f(x2)－f(x1)]＋[f(－x1)－f(－x2)]>0，
∴F(x)为定义在R上的增函数．
综上所述，F(x)必为增函数且为奇函数．故选A.]
类型2 函数的奇偶性、单调性与最值
【例2】 设函数f(x)＝eq \f(x3＋x＋12,x2＋1)在区间[－2,2]上的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2 021的值为__________．
1 [f(x)＝eq \f(x3＋x＋12,x2＋1)＝eq \f(x3＋2x,x2＋1)＋1，
设g(x)＝eq \f(x3＋2x,x2＋1)，则g(－x)＝eq \f(－x3－2x,x2＋1)＝－g(x)，可知函数g(x)为奇函数，
g(x)在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，
故M＋N＝2，∴(M＋N－1)2 021＝(2－1)2 021＝1 .]
类型3 函数的奇偶性、单调性与比较大小
【例3】 (多选)定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立为( )
A．f(b)－f(－a)g(a)－g(－b)
C．f(a)＋f(－b)g(b)－g(－a)
AC [函数f(x)为R上的奇函数，且为单调减函数，
偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，由a>b>0，得f(a)0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－b)＝－f(b)，
所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．
②由①知f(x)为R上的增函数，
因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，
所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.
所以实数m的取值范围为(－∞，4]．
类型5 抽象函数的性质应用
【例5】 设函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)