数学八年级上册第一章 全等三角形综合与测试课后练习题

第1章 《全等三角形》 证明与计算综合训练

1．在四边形ABCD中，AE平分∠BAD，且AE平分BC，∠AED＝α°．

（1）如图1，当α＝90时，求证：AD＝AB+CD；

（2）如图2，当α＝120，且DE平分∠ADC时，探究线段AB、BC、CD、AD之间的数量关系，并证明你的结论．

2．如图1，在△ABC中，∠A＝120°，∠C＝20°，BD平分∠ABC，交AC于点D．

（1）求证：BD＝CD．

（2）如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE＝AC．

（3）如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论．

3．如图，BA＝BE，∠A＝∠E，∠ABE＝∠CBD，ED交BC于点F，且∠FBD＝∠D．

求证：AC∥BD．

证明：∵∠ABE＝∠CBD（已知）

∴∠ABE+∠EBC＝∠CBD+∠EBC（　      　）

即∠ABC＝∠EBD

在△ABC和△EBD中，

∴△ABC≌△EBD（　      　）

∴∠C＝∠D（　      　）

∵∠FBD＝∠D

∴∠C＝　      　（等量代换）

∴AC∥BD（　      　）

4．探究

问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE＝kDF，则k的值为　 　．

拓展

问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC＝∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE＝DF．

推广

问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB＝CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．

5．如图，已知B（0，1），C（﹣2，0），过点B作AB⊥BC，使得AB＝BC，AB交x轴于点F．

（1）求点A到y轴的距离；

（2）点P从A出发，以1个单位/秒的速度沿射线AB运动，运动时间为t秒，请用含有t的式子表示△ACP的面积S；

（3）在（2）的条件下，当BC平分∠PCF时，求此时P点坐标．

6．如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，E是边AB上的一点，AE＝AC，F是边AC上的一点，联结DE、CE、FE，当EC平分∠DEF时，猜测EF、BC的位置关系，并说明理由．

解：EF、BC的位置关系是　      　．

说理如下：

因为AD是∠BAC的角平分线（已知）

所以∠1＝∠2．

在△AED和△ACD中，

所以△AED≌△ACD（S．A．S）．

得　      　（全等三角形的对应边相等）．

（完成以下说理过程）

7．已知：如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，D为AC的中点，连接BD，过点C作CF⊥BD交BD的延长线于点F，过点A作AE⊥AF于点A．

（1）求证：△ABE≌△ACF；

（2）过点A作AH⊥BF于点H，求证：CF＝EH．

8．如图①A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD．

（1）图①中有　 　对全等三角形，并把它们写出来　 　；

（2）求证：BD与EF互相平分于G；

（3）若将△ABF的边AF沿GA方向移动变为图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立，如果成立，请予证明．

9．已知∠AOB＝90°，OC是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题．

（1）将三角板的直角顶点P在射线OC上移动，两直角边分别与OA，OB交于M，N，如图①，求证：PM＝PN；

（2）将三角板的直角顶点P在射线OC上移动，一条直角边与OB交于N，另一条直角边与射线OA的反向延长线交于点M，并猜想此时①中的结论PM＝PN是否成立，并说明理由．

10．已知，如图1，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，点C在直线BD上且与F重合，AB＝FD，BC＝DE

（1）请说明△ABC≌△FDE，并判断AC是否垂直FE？

（2）若将△ABC 沿BD方向平移至如图2的位置时，且其余条件不变，则AC是否垂直FE？请说明为什么？

11．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC．

（1）求∠APO+∠DCO的度数；

（2）求证：AC＝AO+AP．

12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）

（1）运动　 　秒时，AE＝DC；

（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；

（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，则∠ADE＝　 　（用含α的式子表示）．

13．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝16厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动．设运动的时间为t秒．

（1）直接写出：

①BD＝　   　厘米；②BP＝　   　厘米；

③CP＝　   　厘米；④CQ＝　   　厘米；

（可用含t、a的代数式表示）

（2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a、t的值；

（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动．设运动的时间为t秒；直接写出t＝　   　秒时点P与点Q第一次相遇．

14．如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，点E为AB中点，如果点P在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．设运动时间为t秒．

（1）当t＝2时，求△EBP的面积；

（2）若点Q以与点P不同的速度运动，经过几秒△BPE与△CQP全等，此时点Q的速度是多少？

（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿长方形ABCD的四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在长方形ABCD的哪条边上相遇？

15．在△ABC中AB＝AC，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，交AC、AB于点D、E．

（1）如图①，求证：BD＝CE；

（2）如图②，BD、CE交于点F，作AG∥CE交BD延长线于点G，若AE＝CE，请直接写出图中与BE相等的线段．

16．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．

（1）求证：△AEC≌△BED；

（2）若∠1＝40°，求∠BDE的度数．

17．如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD．AG．

（1）求证：AD＝AG；

（2）AD与AG的位置关系如何．

18．如图1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB，点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE，连接EA，EA满足条件EA⊥AB．

（1）若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，BC＝2，求AB的长度；

（2）求证：AE＝AF+BC；

（3）如图2，点F是线段BA延长线上一点，探究AE、AF、BC之间的数量关系，并证明你的结论．

19．（1）已知，如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE＝BD+CE．

（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

20．如图，在∠ABC＝90°，∠DBE＝90°，BA＝BC，BD＝BE，连接AE、CD，AE所在直线交CD于点F，连接BF．

（1）连接AD，EC，求证：AD＝EC；

（2）若BF⊥AF，求证：点F为CD的中点．