苏教版选修13.1导数的概念教学设计

这是一份苏教版选修13.1导数的概念教学设计，共4页。教案主要包含了知识梳理，诊断练习，范例导析，解题反思等内容，欢迎下载使用。

2．了解平均变化率，瞬时变化率与导数的关系，理解函数在一点处导数的定义和导数的几何意义.
二、知识梳理
1. 平均变化率
一般地，函数在区间[x1，x2]上的平均变化率为.
2. 函数在x＝x0处的导数
设函数在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值=无限趋近于一个常数A，则称在点x＝x0处可导，并称该常数为函数在点x＝x0处的 导数 ，记作.
3. 导数的几何意义
导数的几何意义就是曲线在点(x0，)处的 切线的斜率 .
4. 导函数(导数)
若对于区间(a，b)内任一点都可导，则在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作.
5．瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t的导数，即.
瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t的导数，即；
解析:
1.导数即为函数在处的瞬时变化率.
2.曲线在某点处(或过某点)的切线:
1)与该点的位置有关;
2)曲线切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.
三、诊断练习
1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。上课时提问学生，或让学生上黑板板演，进一步剖析学生的错误，直击易错点，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害。
2、诊断练习点评
题1. 如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8， 则f(5)＋f′(5)＝______.
第1题答案： 2
题2. 设函数，则在处的切线斜率为 ．
【分析与点评】求导法则是什么？如何求曲线上某个点处曲线的切线的斜率？
题3．已知一辆轿车在公路上作加速直线运动，设t秒时的速度为(米/秒)，则t=3秒时轿车的瞬时加速度为 ．答案：6米/秒².
【分析与点评】瞬时加速度的含义是什么？
瞬时加速度就是v对t的瞬时变化率，即v对t的导数．
题4．(1)曲线y＝x＋sin x在点(0,0)处的切线方程是________.
(2)已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(0,16)且与曲线y＝f(x)相切的切线方程为y＝ax＋16，则实数a的值是________.
第4题答案：(1)2x－y＝0 (2)9
【分析与点评】（1）如何求曲线上某个点处曲线的切线的斜率？
（2）求出斜率后如何写出切线方程？
3、要点归纳
（1）理解并牢记求平均变化率的公式：，无限趋近于0时，无限趋近于某个常数A，则A为函数在处的瞬时变化率；
（2）导数的几何意义．
四、范例导析
例1．已知函数y＝f(x)＝2x2＋1
（1）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝1，Δx＝eq \f(1,2)时平均变化率的值．
(2)利用导数的定义求函数y＝f(x)在处的导数
答案：（1）函数f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为：
eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq \f([2（x0＋Δx）2＋1]－（2xeq \\al(2,0)＋1）,Δx)
＝4x0＋2Δx.
当x0＝1，Δx＝eq \f(1,2)时，
平均变化率为4×1＋2×eq \f(1,2)＝5.
(2)因为
当时，
函数y＝f(x)在处的导数为4
【教学处理】让学生先回答解题思路，然后学生作答解题过程，教师板书。
【引导分析与精讲建议】提问学生时，提出以下问题：
问题：利用定义来求一个函数在的导数，可以分哪几步求解？
强调分三步来求解：①计算=；②求；③当无限趋近于0时，若无限趋近于一个常数，则这个常数即为所求．
【变式】用导数的定义求函数的导数．答案：
点评：无限趋近于一个关于x的函数，则这个函数为所求的导函数。
例2．设函数为奇函数，其图象在点 处的切线与直线垂直，导函数的最小值为，求，，的值.答案：，，.
【教学处理】可以让投影学生的解题过程教师点评，或者直接学生自己点评。
【引导分析与精讲建议】教师提问：如何求曲线在某点处的切线方程？
要求学生回答出解题步骤和切线方程的一般表达形式。
【变式】1. 求曲线在点P（0,11）的切线方程．答案：
2.求曲线过点P（1,11）的切线方程．答案：；
点评：（1）两个变式的区别在哪里？
（2）点P非切点时，求切线方程还需要什么条件?
通过上面的两个问题，让学生明确“在”点P处的切线与“过”点P的切线的区别：在P点处的切线，点P在曲线上，且点P一定是切点；而过点P的切线，点P可在曲线上，也可不在曲线上，关键的是——点P不一定是切点。要让学生归纳、总结出解决“过点P的曲线的切线方程”的解题步骤，老师可将具体步骤板书。注意解题关键是设出并求出切点的坐标，并注意让学生辨认并理解切线方程．
例3．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程
【教学处理】指导学生画图并独立思考，指名回答，教师点评并板书解题过程。
【引导分析与精讲建议】引导学生思考：已知直线与曲线相切于一点，能推出什么结论？
由导数的几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点.
教师完善归纳，应该得到三个方面的结论：（1）点在直线上（2）点在曲线上（3）曲线在切点处的导数值即为切线斜率．三个方程三个未知数，解出
五、解题反思
本课主要涉及以下3种题型：
1、利用导数的定义求函数在某点处的导数，解题时主要分三步，①求，②求，③无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称在处可导，并称该常数A为函数在处的导数，记作；若在区间内任一点都可导，则在各点的导数也随自变量的变化而变化，因而也就是自变量的函数，该函数称为的导函数，在不引起混淆时，导函数也简称为的导数。当是关于的无理分式时，可利用平方差公式对分子有理化．
2、利用导数的物理意义求变化率；
3、利用导数的几何意义求曲线在一点处的切线方程：要分清是“在”某点处的切线，还是“过”某点的切线，如果是“过”某点的切线，要先设出切点的坐标，根据切点的横坐标，求出曲线在该点处的导数值，即切线的斜率，根据切点和斜率，利用点斜式写出切线方程。
涉及到曲线的斜率问题，如果不知道切点的坐标，一般情况下，都是先设出切点坐标，再求解。