2022届新高考一轮复习 第三章 函数的概念及基本初等函数 第12讲 函数与方程 教案

这是一份2022届新高考一轮复习 第三章 函数的概念及基本初等函数 第12讲 函数与方程 教案，共29页。教案主要包含了变式1．1，变式1．2，变式2．1，变式3．1，变式4．1，变式5．1，变式5．2，变式6．1等内容，欢迎下载使用。
第三章  函数的概念及基本初等函数第12讲  函数与方程学习目标：1．结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．2．结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系．3．结合具体连续函数及其图象特点，理解函数零点存在定理．1．函数零点定义对于函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．2．几个等价关系方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．3．零点存在定理如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间上有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根．4．二分法对于区间上连续不断的且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法．注意：（1）函数的零点不是一个点，而是一个实数，是方程的实数根，也是函数的图象与轴的交点的横坐标．（2）①零点存在性定理能确定在上有零点，但零点不一定只有一个；②如果在上的图象是连续不断的，且是单调函数，，则在内有唯一的零点．  【例1】函数的零点所在的区间是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数为单调递增函数，且，，所以零点所在的区间是，故选B．【变式1．1】函数的零点一定位于区间（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得为连续函数，且在单调递增，，，，，根据零点存在性定理，所以零点一定位于区间，故选C．【变式1．2】已知函数，若的零点都在区间内，当取最小值时，则等于（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】依题意，当时，根据等比数列求和公式，有，故函数在上为增函数．，，故函数零点在区间内，所以零点在内，故当取最小值时，，所以，故选C．【例2】函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，是上的增函数，在和上都是减函数，因此在和上都是增函数，由选项只考虑上的情形，，，所以在上有零点．所以函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为，故选B．【变式2．1】设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于函数与的图象的交点为，则所在的区间是函数的零点所在的区间，因为函数与都是增函数，所以函数为增函数，又因为，，所以，，故选C． 零点存在区间的判断方法：1．零点存在性定理首先满足零点存在性定理的两个条件，即：①函数在所给的区间上连续；②在给定的区间端点处的函数值符号相反．若函数在给定区间上还是单调的，则函数在给定区间上存在唯一的零点．2．数形结合判断零点所在的区间当函数由两个函数的和或差构成时，则可以考虑使用图象分析，将零点问题，转化成两个函数的交点问题，判断交点的位置，即可得到零点所在的区间．  【例3】函数在区间上的零点个数为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】由，得或．其中，由，得，故．又因为，所以，所以零点的个数为个，故选D．【变式3．1】函数在的零点个数为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由，得或，，，在的零点个数是，故选B．【例4】函数的图象与函数的图象的交点个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】在同一直角坐标系中分别作出两个函数的图象，可知有两个交点．【变式4．1】函数的零点个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】函数的零点，即令，根据此题可得，在平面直角坐标系中分别画出幂函数和指数函数的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B．【例5】设函数满足，，且当时，．又函数，则函数在上的零点个数为（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】因为当时，，所以当时，，．当时，；当时，，注意到函数，都是偶函数，且，，，作出函数，的大致图象，函数除了这两个零点之外，分别在区间，，，上各有一个零点，共有6个零点，故选B．【变式5．1】函数的零点个数为_________．【答案】【解析】函数的零点个数等价于方程的根的个数，即函数与的图象交点个数．于是，分别画出其函数图象如下图所示，由图可知，函数与的图象有2个交点．【变式5．2】已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】求导得，显然是方程的两个不等实根，不妨设，于是关于的方程的解就是或，根据题意画图：所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A． 函数零点个数的判断方法：1．解方程当方程可解，那么方程的解得个数就是函数零点的个数．2．零点存在性定理若函数在给定的区间上满足零点存在性定理的条件且是单调的，则函数在给定的区间上有唯一的零点．3．数型结合的方法将求函数的零点个数的问题，转化成两个函数图象交点个数的问题，交点的个数即为函数零点的个数．  【例6】已知函数，若满足，（，，互不相等），则的取值范围是______．【答案】【解析】根据题意，作出函数图象，不妨设，如图，根据三角函数的对称性得与关于对称，所以，另一方面，，即，所以，故答案为．【变式6．1】设函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是_________．【答案】【解析】作出函数的图象，设，如下图所示：二次函数的图象关于直线对称，则，由图可得，可得，解得，所以，故答案为．【例7】（多选）已知函数，若，且，则（    ）A．  B．C． D．【答案】ABC【解析】当时，．设函数，则有，，，故是偶函数，且最小值为0．当时，，所以在上单调递增，又是偶函数，所以在上单调递减，把的图象向右平移一个单位长度，得到函数的图象，故函数的图象关于直线对称，故可得到函数在上的图象．又，故函数的图象与轴的交点为．作平行于轴的直线，当时，直线与函数的图象有四个交点，数形结合可知，故A正确；由，得，又根据题意知，所以，即，即，所以，故B正确；令，则，，得，，因此，故C正确；又时，，且函数在上单调递增，所以，故D错误，故选ABC．【变式7．1】已知，若，且，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】先画出的图象，如图：∵，，，互不相同，不妨设．且，，．∴，，即，，故，由图象可知：，由二次函数的知识可知：，即，∴的范围为，故选C．  【例8】（多选）设函数，若函数有五个零点，则实数可取（    ）A． B． C． D．【答案】CD【解析】函数有五个零点等价于与有五个不同的交点，作出图象可知，当时，，若与有五个不同的交点，则，，故选CD．【变式8．1】已知函数，方程有四个不同的实数根，则a的取值范围是___________．【答案】或【解析】∵，∴在和上递增，在，，上递减，且，，，作出函数的图象，作出直线，由图可得当或时，它们有四个交点，即方程有四个不等实根．故答案为或．【例9】已知函数，给出下列四个结论：①若，则有两个零点；②，使得有一个零点；③，使得有三个零点；④，使得有三个零点．以上正确结论得序号是_______．【答案】①②④【解析】对于①，当时，由，可得或，①正确；对于②，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，存在，使得只有一个零点，②正确；对于③，当直线过点时，，解得，所以，当时，直线与曲线有两个交点，若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，直线与曲线有一个交点，所以，此不等式无解，因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；对于④，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，当时，函数有三个零点，④正确，故答案为①②④．【变式9．1】已知函数，若有2个零点，则________．【答案】【解析】令，则，问题转化为函数与的图象有两个交点，易知函数与的图象在上有1个交点，由，得，由，解得（舍去），故答案为．【例10】已知，若关于的方程有四个不等实根，则实数的取值范围为_________．【答案】【解析】当时，，，令，得．当时，；当时，，所以当时，在上单调递增，在上单调递减，，，时，，当时，，，所以当时，在上单调递增；当时，，时，，时，，故的大致图象如下：令，则关于的方程有四个不等实根，转化为关于的方程有2个不等实根，且两个根满足，，所以，解得，则实数的取值范围为，故答案为．【变式10．1】已知函数，若函数有且只有1个零点，则实数a的取值范围是（    ）A． B．C．  D．【答案】C【解析】由函数，当时，．作出的图象如图所示：令，因为有且只有一个根，所以，当时，对应的x只有一个解，此时，即；当时，对应的x只有一个解，此时，即，综上所述：实数a的取值范围是，故选C．【例11】（多选）已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值可以为（    ）A． B． C． D．【答案】AB【解析】构造函数， 的定义域为，且，即是偶函数，故关于的方程有4个不同的实数根等价于在上有两个零点．当时，，则等价于，令，则．令，则，故在区间上单调递增．又，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，即在处取得极小值且．当时，；当时，，故当时，关于的方程在区间上有两个不同的实数根，即关于的方程有个不同的实数根．对照四个选项：A、B符合，故选AB．【变式11．1】若M，N为函数图象上的两个不同的点，且M，N两点关于原点对称，则称点对(M，N)为函数的一个“配合点对”(点对(M，N)与点对(N，M)为同一“配合点对”)．现给定函数(e为自然对数的底数)，若函数的图象上恰有两个“配合点对”，则实数m的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的图象关于原点对称的图象所对应的函数为，的图象上恰好有两个“配合点对”等价于函数与函数有两个交点，即方程有两个不等式的正实数根，即有两个不等式的正实数根，即转化为函数图象与函数图象有2个交点．，，所以在上单调递增，且，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，且时，，时，，所以，如图，函数图象与函数图象有两个交点，则，解得，故选B． 
一、选择题．1．函数的零点所在的区间为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由为增函数，为增函数，故为增函数，由，，根据零点存在性定理可得使得，故选B．2．若曲线与轴有且只有2个交点，则实数的取值范围是（    ）A．  B．C．或  D．或【答案】D【解析】作出函数与的图象，当时，只有B一个零点；当时，有A，B两个零点；当时，有A一个零点；当时，有A，C两个零点；综上，实数的取值范围是：或，故选D．3．已知函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，设，，当时，；当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故，，因为函数有三个零点，故，故选B．4．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ）A．  B．C．  D．【答案】D【解析】方程，即为，因为方程有两个不相等的实数根，所以函数与的图象有两不同的交点，在同一坐标系中作出函数与的图象如图所示：由图象知：当直线过点时，，当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即，解得，所以实数的取值范围是，故选D．5．已知函数，若函数的图象与的图象有3个交点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，当时，二者有1个交点；由，得，即曲线在点处的切线的斜率为；当时，二者若有2个交点，必须，解得，故选C．6．已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数有四个不同的零点等价于函数的图象与直线有四个不同的交点．画出的大致图象，如图所示．由图可知．不妨设，则，且，所以，所以，则，因为，所以，所以，所以，所以，故选A．7．（多选）已知函数，若关于的方程有5个不同的实根，则实数可能的取值有（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】当时，，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，作出的图象，如图所示，令，则，令，由题意得方程有两个不同的根：①有两个不同的根，，且，，则有，解得；②有两个不同的根，，且，，则有，则，方程为，得，，满足条件；③有两个不同的根，，且，，因为，则，方程为，得，，不符合题意，舍去，综上所述，实数，故选BCD． 二、填空题．8．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】当时，由，得．函数有两个不同的零点，当时，函数还有一个零点，令，得，，，实数的取值范围是，故答案为．9．方程的两实根一个大于2，另一个小于2，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】记函数，因为方程的两实根一个大于2，另一个小于2，所以只需，即，解得，所以实数的取值范围是，故答案为．10．已知函数，设，若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】因为方程有两个不相等的实数根，所以方程有两个不相等的实数根，在同一坐标系中画出函数，的图象，如图所示：由图象知，解得，所以实数的取值范围是，故答案为．11．已知函数，若且，则的最小值是________．【答案】【解析】作出函数的大致图象如图所示，设，则．由，可得；由，可得．令，其中，则．由，得．当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增，所以，即的最小值为，故答案为．12．已知函数，若有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_____________．【答案】【解析】定义域为R，令，两边同除以可得，令，则，设，构造函数，，所以当时，，单调递增，则，由于函数有两个不同的零点，则关于t的二次方程两根均满足，，则有，解得，故答案为．