高考数学一轮复习第八章8.2空间几何体的表面积和体积课时作业理含解析

这是一份高考数学一轮复习第八章8.2空间几何体的表面积和体积课时作业理含解析，共10页。

一、选择题
1．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积比是( )
A．3:2B．2:1
C．4:3D．5:3
2．[2021·重庆一中调考]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．3πB．4π
C．2π＋4D．3π＋4
3．[2021·福州市高中毕业班质量检测]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的正视图、俯视图，则该三棱锥的体积为( )
A．81B．27
C．18D．9
4．[2020·天津卷，5]若棱长为2eq \r(3)的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．12πB．24π
C．36πD．144π
5．[2021·广州市高三年级阶段训练题]陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为( )
A．(7＋2eq \r(2))πB．(10＋2eq \r(2))π
C．(10＋4eq \r(2))πD．(11＋4eq \r(2))π
6．[2021·大同市高三学情调研测试试题]体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为( )
A．4eq \r(3)πB．8eq \r(3)π
C．12eq \r(3)πD．6eq \r(3)π
7．[2021·河北省九校高三联考试题]下图网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．7π＋8＋4eq \r(2)B．7π＋4＋4eq \r(2)
C．5π＋8＋4eq \r(2)D．5π＋4＋4eq \r(2)
8．[2021·广东省七校联合体高三联考试题]已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为( )
A.eq \f(2,3)B.eq \f(4,9)
C.eq \f(2\r(6),9)D.eq \f(8,27)
9．[2021·北京昌平区检测]《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？已知米堆所形成的几何体的三视图如图所示，一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有( )
A．21斛B．34斛
C．55斛D．63斛
10.[2020·全国卷Ⅱ，10]已知△ABC是面积为eq \f(9\r(3),4)的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为( )
A.eq \r(3)B.eq \f(3,2)
C．1D.eq \f(\r(3),2)
二、填空题
11．[2021·南昌市高三年级摸底测试卷]已知一个圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为________．
12．[2021·广州市普通高中毕业班综合测试]如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为________，表面积为________．
13．[2021·广州市高三年级调研检测]已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为eq \f(125π,6)，三视图如图所示，则其侧视图的面积为________．
14．[2021·石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试]已知正三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为2eq \r(3)的正三角形，侧棱长为2eq \r(5)，则球O的表面积为________．
[能力挑战]
15．[2021·广州市普通高中毕业班综合测试]已知直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，若P，Q分别在AA1，CC1上，且AP＝eq \f(1,3)AA1，CQ＝eq \f(1,3)CC1，则四棱锥B－APQC的体积为( )
A.eq \f(1,6)VB.eq \f(2,9)V
C.eq \f(1,3)VD.eq \f(7,9)V
16．[2021·福建省高三毕业班质量检测]某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内．若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )
A.eq \f(16π,9)B.eq \f(8π,9)
C.eq \f(16π,27)D.eq \f(8π,27)
17．[2021·河南省豫北名校高三质量考评]如图为一个正方体ABCD－A1B1C1D1与一个半球O1构成的组合体，半球O1的底面圆与该正方体的上底面A1B1C1D1的四边相切，O1与正方形A1B1C1D1的中心重合．将此组合体重新置于一个球O中(球O未画出)，使该正方体的下底面ABCD的顶点均落在球O的表面上，半球O1与球O内切，设切点为P，若四棱锥P－ABCD的表面积为4＋4eq \r(10)，则球O的表面积为( )
A.eq \f(121π,6)B.eq \f(121π,9)
C．12πD．9π
课时作业41
1．解析：底面半径r＝eq \f(\f(2,3)π,2π)l＝eq \f(1,3)l，故圆锥中S侧＝eq \f(1,3)πl2，S表＝eq \f(1,3)πl2＋πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)l))2＝eq \f(4,9)πl2，所以表面积与侧面积的比为4:3.故选C.
答案：C
2.
解析：由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示，表面积为2×2＋2×eq \f(1,2)×π×12＋π×1×2＝4＋3π，故选D.
答案：D
3．解析：由已知条件可以确定该几何体为三棱锥，其高为6，底面积为俯视图中三角形的面积，故底面积S＝36－eq \f(1,2)×3×3－2×eq \f(1,2)×3×6＝eq \f(27,2)，所以该三棱锥的体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(27,2)×6＝27.故选B.
答案：B
4．解析：设外接球的半径为R，易知2R＝eq \r(3)×2eq \r(3)＝6，所以R＝3，于是表面积S＝4πR2＝36π，故选C.
答案：C
5．解析：由三视图知，该陀螺是一个圆锥与一个圆柱的组合体，其中圆锥的底面半径为2、高为2，圆柱的底面半径为1、高为3，所以该陀螺的表面积为π×2×eq \r(22＋22)＋π×22＋2π×1×3＝(10＋4eq \r(2))π，故选C.
答案：C
6．解析：由正方体的体积为8，可知其棱长为2，且正方体的体对角线为其外接球的直径，所以其外接球的半径R＝eq \f(\r(22＋22＋22),2)＝eq \r(3)，则外接球的体积V＝eq \f(4π,3)R3＝4eq \r(3)π.故选A.
答案：A
7．解析：由三视图可知，该几何体是上方为一个八分之一球，下方是一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，故所求表面积S＝eq \f(1,8)×4π×22＋eq \f(1,4)×π×22×3＋2×2×2＋2eq \r(2)×2＝5π＋8＋4eq \r(2)，故选C.
答案：C
8．解析：设圆锥底面圆的半径为R，球的半径为r，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，如图所示，所以r＝eq \f(\r(3),3)R，S球＝4πr2＝4π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)R))2＝eq \f(4π,3)R2，S圆锥＝πR·2R＋πR2＝3πR2，所以球与圆锥的表面积之比eq \f(S球,S圆锥)＝eq \f(\f(4π,3)R2,3πR2)＝eq \f(4,9)，故选B.
答案：B
9．解析：设圆锥的底面eq \f(1,4)圆的半径为r，则eq \f(π,2)r＝8，解得r＝eq \f(16,π)，
故米堆的体积为eq \f(1,4)×eq \f(1,3)×π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,π)))2×5＝eq \f(320,3π)(立方尺)．
∵1斛米的体积约为1.62立方尺，
∴eq \f(320,3π)÷1.62≈21(斛)，故选A.
答案：A
10．解析：设等边△ABC的边长为a，外接圆半径为r，球心O到平面ABC的距离为h，球的半径为R，依题意得eq \f(\r(3),4)a2＝eq \f(9\r(3),4)，解得a＝3(负值舍去)，则△ABC的外接球半径为r＝eq \f(\r(3),3)a＝eq \r(3)，因为球O的表面积为16π，即4πR2＝16π，所以R＝2.由R2＝h2＋r2得h＝eq \r(22－\r(3)2)＝1.故选C.
答案：C
11．解析：因为圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，所以圆锥的底面半径r＝1，母线l＝eq \r(2)，所以圆锥的侧面积S＝πrl＝eq \r(2)π.
答案：eq \r(2)π
12．解析：根据三视图可知，该几何体为圆锥，其底面半径r＝1，母线长l＝2，所以该圆锥的高h＝eq \r(l2－r2)＝eq \r(3)，所以这个几何体的体积为eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×π×12×eq \r(3)＝eq \f(\r(3)π,3)，表面积为π·r2＋π·r·l＝π×12＋π×1×2＝3π.
答案：eq \f(\r(3)π,3) 3π
13．解析：
画出正三棱锥的直观图如图所示，其中F是等边三角形ABC的中心，E是正三棱锥外接球的球心，G是BC的中点．根据正三棱锥的几何性质有DF⊥平面ABC.由俯视图可知，等边三角形ABC的边长为2eq \r(3)，所以△ABC的高为2eq \r(3)×sin60°＝3.根据等边三角形的几何性质可知，等边三角形ABC的外接圆半径FA＝eq \f(2,3)×3＝2.设正三棱锥的外接球半径为R，则eq \f(4π,3)R3＝eq \f(125π,6)，解得R＝eq \f(5,2)，故DE＝EA＝R＝eq \f(5,2)，所以EF＝eq \r(EA2－FA2)＝eq \r(\f(25,4)－4)＝eq \f(3,2).所以正三棱锥的高DF＝ED＋EF＝eq \f(5,2)＋eq \f(3,2)＝4，即侧视图的高为4.所以侧视图的面积为eq \f(1,2)×3×4＝6.
答案：6
14．解析：如图，延长SO交球O于点D，设△ABC的外心为点E，连接AE，AD，
由正弦定理得2AE＝eq \f(2\r(3),sin60°)＝4，∴AE＝2，
易知SE⊥平面ABC，由勾股定理可知，三棱锥S－ABC的高SE＝eq \r(SA2－AE2)＝eq \r(2\r(5)2－22)＝4，由于点A是以SD为直径的球O上一点，∴∠SAD＝90°，由射影定理可知，球O的直径2R＝SD＝eq \f(SA2,SE)＝5，
因此，球O的表面积为4πR2＝π×(2R)2＝25π.
答案：25π
15．解析：如图，设D是BB1上一点，且BD＝eq \f(1,3)BB1，连接DP，DQ，由于AP＝eq \f(1,3)AA1，CQ＝eq \f(1,3)CC1，所以平面DPQ∥平面ABC.所以V四棱锥B－APQC＝V三棱柱ABC－PDQ×eq \f(2,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)×V三棱柱ABC－A1B1C1))×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)V.故选B.
答案：B
16．解析：解法一 如图，OC＝2，OA＝3，由△AED∽△AOC可得eq \f(ED,OC)＝eq \f(AE,AO).设圆柱体的底面半径r＝ED＝2x(0解法二 同解法一，则圆柱体的体积V＝12πx2(1－x)＝6π·x·x(2－2x)≤6π·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(x＋x＋2－2x,3)))3＝eq \f(16π,9)，当且仅当x＝2－2x，即x＝eq \f(2,3)时等号成立，故圆柱体的最大体积是eq \f(16π,9).故选A.
答案：A
17．解析：如图，设球O，半球O1的半径分别为R，r，由题意知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2r，四棱锥P－ABCD为正四棱锥．设正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心为G，连接AC，PG，则四棱锥P－ABCD的高PG＝3r，其各侧面的高为eq \r(3r2＋r2)＝eq \r(10)r.由题意得(2r)2＋4×eq \f(1,2)×2r×eq \r(10)r＝4＋4eq \r(10)，解得r＝1.易知球O的球心在线段O1G上，连接OC，则在Rt△OGC中，OC＝R，OG＝3－R，CG＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)＝eq \r(2)，于是由勾股定理，得(3－R)2＋(eq \r(2))2＝R2，解得R＝eq \f(11,6)，所以球O的表面积S＝4πR2＝eq \f(121π,9)，故选B.
答案：B