2022版新高考数学人教版一轮课件：第2章 第11讲 导数的概念及运算

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第十一讲　导数的概念及运算
1 知识梳理·双基自测
2 考点突破·互动探究
3 名师讲坛·素养提升
知识点一　导数的概念与导数的运算1．函数的平均变化率
2．导数的概念(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝______________________.
f′(x)±g′(x) 　
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 　
5．复合函数的导数复合函数y＝f[g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为_______________.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
yx′＝yu′·ux′ 　
知识点二　导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为_______________________.
y－y0＝f′(x0)(x－x0) 　
题组一　走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x)与f′(x0)(x0为常数)表示的意义相同．(　　)(2)在曲线y＝f(x)上某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义相同．(　　)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)
3．(选修2－2P18AT5改编)已知函数f(x)＝2xf′(1)＋xln x，则f′(1)＝(　　)A．e B．1 C．－1 D．－e [解析]　f′(x)＝2f′(1)＋ln x＋1，当x＝1时，f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1，故选C.
4．(选修2－2P3例题改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝_________________m/s，加速度a＝__________m/s2.[解析]　v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.
－9.8t＋6.5 　
题组三　走向高考5．(2020·课标Ⅰ理，6,5分)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1 [解析]　本题考查导数的几何意义．f′(x)＝4x3－6x2，则f′(1)＝－2，易知f(1)＝－1，由点斜式可得函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.
6．(2019·江苏，5分)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是____________.
(2)若函数f(x)＝ln x－f′(1)x2＋3x－4，则f′(3)＝_______.[分析]　①直接求导；②③化简后再求导；④利用商的导数运算法则求解；⑤⑥用复合函数求导法则求导．(2)先求出f′(1)得出导函数的解析式，再把x＝3代入导函数解析式得f′(3)．
导数计算的原则和方法(1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商再求导．(2)方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；⑥复合函数：由外向内，层层求导．
3x2＋12x＋11 　
(3－x2)e2－x 　
已知曲线f(x)＝x3－x，则(1)曲线在点(1,0)处的切线方程为_______________；(2)曲线过点(1,0)的切线方程为____________________________；(3)曲线平行于直线5x－y＋1＝0的切线方程为________________________________.
角度1　求曲线的切线方程
2x－y－2＝0或x＋4y－1＝0 　
[分析]　(1)解决曲线的切线问题直接利用导数的几何意义求切线斜率可得；(2)由于在点P处的切线平行于直线5x－y＋1＝0，则在点P处的切线斜率为5.
[解析]　f′(x)＝3x2－1.(1)曲线在点(1,0)处切线的斜率为k＝f′(1)＝2.∴所求切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
求曲线的切线方程的两种类型(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程和求曲线过点P(x0，y0)的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．(2)在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(3)求过点P的曲线的切线方程的步骤为：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
角度3　求参数的值(或范围)(1)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b＝_____.(2)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－2] B．(－∞，2)C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
〔变式训练2〕(1)(角度1)(2019·全国卷Ⅱ，5分)曲线y＝2sin x＋cs x在点(π，－1)处的切线方程为(　　)A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0(2)(角度1)过点(1，－1)的曲线y＝x3－2x的切线方程为____________________________.　
x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0 　
(3)(角度2)曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是(　　)A．(0,1) B．(1，－1) C．(1,3) D．(1,0)(4)(角度3)(2019·全国卷Ⅲ，5分)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
[引申]本例中两曲线公切线方程为___________________.
y＝2x＋1－ln 2 　
〔变式训练3〕　若曲线y＝x＋ln x与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1存在过点(0，－1)的公切线，则a＝_____.
∴切线l的方程为y＝2x－1.又直线l与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切．∴方程2x－1＝ax2＋(a＋2)x＋1即ax2＋ax＋2＝0的判别式Δ＝a2－8a＝0，∴a＝8或0(舍去)．