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2022版新高考数学人教版一轮课件：第2章 第12讲 第3课时 导数与函数的零点或方程的根、不等式
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这是一份2022版新高考数学人教版一轮课件：第2章 第12讲 第3课时 导数与函数的零点或方程的根、不等式，共53页。PPT课件主要包含了××√×等内容，欢迎下载使用。
第十二讲 导数在研究函数中的应用
第三课时 导数与函数的零点或方程的根、不等式
1 知识梳理·双基自测
2 考点突破·互动探究
3 名师讲坛·素养提升
知识点一 利用导数研究函数零点的方法方法一：(1)求函数f(x)的单调区间和极值．(2)根据函数f(x)的性质作出图象．(3)判断函数零点的个数．方法二：(1)求函数f(x)的单调区间和极值．(2)分类讨论，判断函数零点的个数．
知识点二 利用导数解决不等式问题的常见题型及解题策略(1)利用导数证明不等式若证明f(x)
4．(选修2－2P32BT1改编)求证：ln x≤x－1(x>0)．
题组三 走向高考5．(2018·江苏，5分)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为_______.[解析] f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(a∈R)，当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝1，所以此时f(x)在(0，＋∞)内无零点，不满足题意．
(2020·全国Ⅰ，20)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．[解析] (1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－2，则f′(x)＝ex－1.当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
(2)f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增，故f(x)至多存在1个零点，不合题意．当a>0时，由f′(x)＝0可得x＝ln a，当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，ln a)单调递减，在(ln a，＋∞)单调递增，故当x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－a(1＋ln a)．
利用导数研究方程根或函数零点的方法(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．(2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置．(3)通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
〔变式训练1〕 (2021·安徽合肥调研性检测)已知函数f(x)＝kx－ln x－1(k>0)．若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k的值．
角度1 证明不等式设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
[破题思路] 第(1)问
[解析] (1)由f(x)＝ex－2x＋2a(x∈R)，知f′(x)＝ex－2.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.当xln 2时，f′(x)>0，故函数f(x)在区间(ln 2，＋∞)上单调递增．所以f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a，无极大值．
(2)证明：要证当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1，即证当a>ln 2－1且x>0时，ex－x2＋2ax－1>0.设g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x≥0)．则g′(x)＝ex－2x＋2a，由(1)知g′(x)min＝g′(ln 2)＝2ln 2＋2a＋2.又a>ln 2－1，则g′(x)min>0.于是对∀x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增．于是对∀x>0，都有g(x)>g(0)＝0.即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
角度2 不等式恒成立或有解问题已知f(x)＝xln x－ax，g(x)＝－x2－2，对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
角度3 解不等式(2020·湖南五市十校联考)设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，当x>0时，xln x·f′(x)<－f(x)，则使得(x2－2x－8)f(x)>0成立的x的取值范围是( )A．(－2,0)∪(4，＋∞) B．(－∞，－4)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(0,4) D．(－∞，－2)∪(4，＋∞)
(1)利用导数解不等式的思路已知一个含f′(x)的不等式，可构造和f(x)有关的函数g(x)，利用g(x)的单调性，然后可利用函数单调性解不等式．(2)利用导数证明不等式的方法①构造法：证明f(x)
赋值法证明正整数不等式
(1)函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量．通过多次求和达到证明的目的．此类问题一般至少2问，所证的不等式常由第一问根据待证式的特征而得到．(2)已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如ex>x＋1可化为ln(x＋1)
[答案] (1)a＝1 (2)略
第十二讲 导数在研究函数中的应用
第三课时 导数与函数的零点或方程的根、不等式
1 知识梳理·双基自测
2 考点突破·互动探究
3 名师讲坛·素养提升
知识点一 利用导数研究函数零点的方法方法一：(1)求函数f(x)的单调区间和极值．(2)根据函数f(x)的性质作出图象．(3)判断函数零点的个数．方法二：(1)求函数f(x)的单调区间和极值．(2)分类讨论，判断函数零点的个数．
知识点二 利用导数解决不等式问题的常见题型及解题策略(1)利用导数证明不等式若证明f(x)
4．(选修2－2P32BT1改编)求证：ln x≤x－1(x>0)．
题组三 走向高考5．(2018·江苏，5分)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为_______.[解析] f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(a∈R)，当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝1，所以此时f(x)在(0，＋∞)内无零点，不满足题意．
(2020·全国Ⅰ，20)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．[解析] (1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－2，则f′(x)＝ex－1.当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
(2)f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增，故f(x)至多存在1个零点，不合题意．当a>0时，由f′(x)＝0可得x＝ln a，当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，ln a)单调递减，在(ln a，＋∞)单调递增，故当x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－a(1＋ln a)．
利用导数研究方程根或函数零点的方法(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．(2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置．(3)通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
〔变式训练1〕 (2021·安徽合肥调研性检测)已知函数f(x)＝kx－ln x－1(k>0)．若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k的值．
角度1 证明不等式设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
[破题思路] 第(1)问
[解析] (1)由f(x)＝ex－2x＋2a(x∈R)，知f′(x)＝ex－2.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.当x
(2)证明：要证当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1，即证当a>ln 2－1且x>0时，ex－x2＋2ax－1>0.设g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x≥0)．则g′(x)＝ex－2x＋2a，由(1)知g′(x)min＝g′(ln 2)＝2ln 2＋2a＋2.又a>ln 2－1，则g′(x)min>0.于是对∀x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增．于是对∀x>0，都有g(x)>g(0)＝0.即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
角度2 不等式恒成立或有解问题已知f(x)＝xln x－ax，g(x)＝－x2－2，对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
角度3 解不等式(2020·湖南五市十校联考)设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，当x>0时，xln x·f′(x)<－f(x)，则使得(x2－2x－8)f(x)>0成立的x的取值范围是( )A．(－2,0)∪(4，＋∞) B．(－∞，－4)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(0,4) D．(－∞，－2)∪(4，＋∞)
(1)利用导数解不等式的思路已知一个含f′(x)的不等式，可构造和f(x)有关的函数g(x)，利用g(x)的单调性，然后可利用函数单调性解不等式．(2)利用导数证明不等式的方法①构造法：证明f(x)
赋值法证明正整数不等式
(1)函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量．通过多次求和达到证明的目的．此类问题一般至少2问，所证的不等式常由第一问根据待证式的特征而得到．(2)已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如ex>x＋1可化为ln(x＋1)
[答案] (1)a＝1 (2)略
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