2022版新高考数学人教版一轮课件：第5章第2讲等差数列及其前n项和

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这是一份2022版新高考数学人教版一轮课件：第5章第2讲等差数列及其前n项和，共60页。PPT课件主要包含了同一个常数，a1＋n－1d，ap＋aq，倒序相加法，×√×，n2－2n，an＝6n－3，－10等内容，欢迎下载使用。

第二讲　等差数列及其前n项和
1 知识梳理·双基自测
2 考点突破·互动探究
3 名师讲坛·素养提升
知识点一　等差数列的有关概念(1)等差数列的定义如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的差等于_____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_______，通常用字母____表示，定义的表达式为_____________________.
an＋1－an＝d(n∈N*)　
(2)等差中项如果a，A，b成等差数列，那么____叫做a与b的等差中项且________.(3)通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an＝______________＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(4)前n项和公式：Sn＝______________＝_______.
知识点二　等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝_________.(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为_____.(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
题组一　走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)
(4)若{an}是等差数列，公差为d，则数列{a3n}也是等差数列．(　　)(5)若{an}，{bn}都是等差数列，则数列{pan＋qbn}也是等差数列．(　　)
[解析]　(1)同一个常数．(2)因为在等差数列{an}中，当公差d>0时，该数列是递增数列，当公差d<0时，该数列是递减数列，当公差d＝0时，该数列是常数数列，所以命题正确．(3)常数列的前n项和公式为一次函数．
(4)因为{an}是等差数列，公差为d，所以a3(n＋1)－a3n＝3d(与n值无关的常数)，所以数列{a3n}也是等差数列．(5)设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则pan＋1＋qbn＋1－(pan＋qbn)＝p(an＋1－an)＋q(bn＋1－bn)＝pd1＋qd2(与n值无关的常数)，即数列{pan＋qbn}．也是等差数列．
题组二　走进教材2．(必修5P38例1(1)改编)已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为______[解析]　依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487.
题组三　走向高考5．(2020·课标Ⅱ，14,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝_____.
6．(2020·新高考Ⅰ，14,5分)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为__________.
等差数列基本量的求法(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
等差数列的判定方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数．(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立．(3)通项公式法：验证an＝pn＋q.(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.
提醒：在解答题中常应用定义法和等差中项法证明，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项an，an＋1，an＋2使得这三项不满足2an＋1＝an＋an＋2即可．各项不同号的等差数列各项的绝对值不构成等差数列，但其前n项和可用等差数列前n项和公式分段求解，分段的关键是找出原等差数列中变号的项．
[分析]　由于确定等差数列需两个条件，而这三个小题都只有一个条件，故可确定a1与d的关系式，将其整体代入即可解决问题，但更简捷的方法是直接利用等差数列性质am＋an＝ap＋aq⇔m＋n＝p＋q求解(注意项数不变，脚标和不变)．
[分析]　思路1：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，根据题意列方程组求得a1、d，进而可用等差数列前n项和公式求S40；思路2：设{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn，由题意列出方程组求得A、B，从而得Sn，进而得S40；思路3：利用等差数列前n项和性质S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，由前三项求得S20，从而得此数列的公差，进而求得S40－S30，得S40；
(3)因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3.又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114.
[分析]　(1)由S5＝S9可求得a1与d的关系，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为负，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解；(2)利用Sn>0⇔a1＋an>0求解．[解析]　(1)解法一：由S5＝S9得a6＋a7＋a8＋a9＝0，即a7＋a8＝0，∴2a1＋13d＝0，又a1>0，∴d<0.∴a7>0，a8<0，∴a1>a2>…>a7>0>a8>a9>…，∴Sn最大时，n＝7，故选B．
[引申]①本例(1)中若将“S5＝S9”改为“S5＝S10”，则当Sn取最大值时n＝_______；②本例(1)中，使Sn<0的n的最小值为_____；③本例(2)中，使Sn取最大值时n＝_____.
求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法：
〔变式训练3〕(1)(2021·长春市模拟)等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为(　　)A．6　　B．7　　C．8　　D．9(2)(2019·北京)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝____，Sn的最小值为_______.
[解析]　(1)∵|a6|＝|a11|且公差d>0，∴a6＝－a11，∴a6＋a11＝a8＋a9＝0，且a8<0，a9>0，∴a1