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2022版新高考数学人教版一轮课件：第5章 第3讲 等比数列及其前n项和
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这是一份2022版新高考数学人教版一轮课件：第5章 第3讲 等比数列及其前n项和，共60页。PPT课件主要包含了a1qn－1，amqn－m，na1，错位相减法，×××等内容，欢迎下载使用。
第三讲 等比数列及其前n项和
1 知识梳理·双基自测
2 考点突破·互动探究
3 名师讲坛·素养提升
知识点一 等比数列的概念(1)等比数列的定义如果一个数列_____________________________________________ ___________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_______，通常用字母____表示．符号语言：________(n∈N*，q为非零常数)．
从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么____叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝_____.注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个．
知识点三 等比数列的主要性质设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．
题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( )(2)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( )(3)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( )
3．(必修5P54A组T8改编)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_________.[解析] 设该数列的公比为q，由题意知，192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48.
题组三 走向高考5．(2020·课标Ⅰ，10,5分)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝( )A．12 B．24 C．30 D．32[解析] 设等比数列{an}的公比为q，故a2＋a3＋a4＝q(a1＋a2＋a3)，又a2＋a3＋a4＝2，a1＋a2＋a3＝1，∴q＝2，∴a6＋a7＋a8＝q5(a1＋a2＋a3)＝25＝32，故选D．
等比数列基本量的求法等比数列的计算涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知其三就能求其二，即根据条件列出关于a1，q的方程组求解，体现了方程思想的应用．特别提醒：在使用等比数列的前n项和公式时，q的值除非题目中给出，否则要根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．提醒：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中．
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N*，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
[引申]本例(2)中若去掉条件“各项都是正数”，结果如何？[解析] 由本例解法一知q3＝2或－3，当q3＝2时，S12＝S9＋q9S3＝70＋80＝150；当q3＝－3时，S12＝S9＋q9S3＝70－270＝－200.故选C．
[分析] (1)用等差、等比数列基本公式求解．(2)分组求和即可．
[引申](1)本例中数列{Cn}的前n项和Tn＝_____________________.(2)本例中若Cn＝an·bn，则{Cn}的前n项和Tn＝___________________.
(n－1)·2n＋1＋2
〔变式训练3〕(2019·课标Ⅱ，18,12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝lg2an，求数列{bn}的前n项和．
[解析] (1)设{an}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0，解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得bn＝(2n－1)lg22＝2n－1，因此数列{bn}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.
第三讲 等比数列及其前n项和
1 知识梳理·双基自测
2 考点突破·互动探究
3 名师讲坛·素养提升
知识点一 等比数列的概念(1)等比数列的定义如果一个数列_____________________________________________ ___________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_______，通常用字母____表示．符号语言：________(n∈N*，q为非零常数)．
从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么____叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝_____.注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个．
知识点三 等比数列的主要性质设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．
题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( )(2)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( )(3)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( )
3．(必修5P54A组T8改编)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_________.[解析] 设该数列的公比为q，由题意知，192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48.
题组三 走向高考5．(2020·课标Ⅰ，10,5分)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝( )A．12 B．24 C．30 D．32[解析] 设等比数列{an}的公比为q，故a2＋a3＋a4＝q(a1＋a2＋a3)，又a2＋a3＋a4＝2，a1＋a2＋a3＝1，∴q＝2，∴a6＋a7＋a8＝q5(a1＋a2＋a3)＝25＝32，故选D．
等比数列基本量的求法等比数列的计算涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知其三就能求其二，即根据条件列出关于a1，q的方程组求解，体现了方程思想的应用．特别提醒：在使用等比数列的前n项和公式时，q的值除非题目中给出，否则要根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．提醒：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中．
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N*，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
[引申]本例(2)中若去掉条件“各项都是正数”，结果如何？[解析] 由本例解法一知q3＝2或－3，当q3＝2时，S12＝S9＋q9S3＝70＋80＝150；当q3＝－3时，S12＝S9＋q9S3＝70－270＝－200.故选C．
[分析] (1)用等差、等比数列基本公式求解．(2)分组求和即可．
[引申](1)本例中数列{Cn}的前n项和Tn＝_____________________.(2)本例中若Cn＝an·bn，则{Cn}的前n项和Tn＝___________________.
(n－1)·2n＋1＋2
〔变式训练3〕(2019·课标Ⅱ，18,12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝lg2an，求数列{bn}的前n项和．
[解析] (1)设{an}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0，解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得bn＝(2n－1)lg22＝2n－1，因此数列{bn}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.
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