数学六年级上册八 探索乐园教学设计

教学环节

师生活动

设计意图

一、激趣引入，揭示课题。

（播放美国挑战者号失事视频）

二、理解题意，初步推理。

1.理解题意。

2.猜测结果。

3.从2个球中

找重球。

4.从3个球中

找重球。

三、深入探究，体会最优。

1.从8个球中

找重球。

2.从9个球中

找重球。

3.比较，总结方法。

4、验证反思，

   总结规律。

五、顺水推舟，圆满收官。

师：先来观看一段新闻报道

师：这次飞机失事遇难的宇航员共有7名，其中有一名女教师原本打算在太空给她的学生进行现场授课，但不幸献出了宝贵的生命。你们想不想知道引发这次爆炸的原因？

生：想

师：根据调查委员会的报告，爆炸是由于火箭推进器上的一个特小的O型环失效所致。

师:一个不合格零件引起了世界航天史上最大的悲剧。在生产生活中，经常会有一些不合格的产品，我们称之为次品。次品虽小，危害却大。因此国家要设置质监局，由质检员担任找次品的重任。我们冀教版教材也将《找次品》一课作为单独的篇章列出来供我们学习。这节课我们就来当小小质检员，一起来研究如何利用天平“找次品”。

（板书：找次品）

师:用你的理解说一说什么是次品？

生：外观有瑕疵

生：成分不合要求

生：不一样重（师补：也就是质量不同，和标准质量有一定差距）

师：次品的种类很多，今天我们要找的是众多外观一样的产品当中，隐藏的一个稍轻或稍重的次品。（板书：质量不同）

出示例题：81个乒乓球中,只有1个球稍重。如果只能利用没有砝码的天平，最少称几次，才能保证找到这个稍重的球？

指读例题

师：我们一起来看题，这道题是在什么里面找什么样的次品？

生：在81个球中，找稍重的一个球

师：用什么找次品？

生：用没有砝码的天平找

师：为什么用没有砝码的天平找？

生：用有砝码的天平一次称一个，没有砝码的天平左右两边都能放，通过比较找次品

师：那怎样利用没有砝码的天平找次品？

生:天平两边放同样数量的球

师：此刻，天平会怎样？

生：可能平衡，也可能不平衡

师:猜一猜答案会是几？

生：1次、4次、40次、80次

师：到底哪个同学的猜想是正确的，或是更接近准确结果呢？我们一起来研究。

师:81个球数量太多，该怎么办？以往在学习过程中，遇到复杂的问题，不好处理时，我们往往要怎么做？

生：化繁为简

师：好思路。一下子从81个球中找次品，数字太大了，我们可以先少拿几个球，研究一下究竟怎么做才能找到次品？研究出方法后再去解决数量多的问题。这就是转化的方法。

师：你们打算从几个球开始研究？

生:2个

师：为什么选两个？

生：两个好放

生:说一说怎么称?

生：分别在天平的两边各放一个，此刻天平一定不平衡，重球在下沉一边，称1次找到重球

（板书直观图）

师：此刻你是不是更加理解了为什么用没有砝码的天平找次品了吧？

生:用有砝码的天平称需要两次，用没有砝码的天平称只需一次，通过比较就有结果了

师:这也是题目要求用没有砝码的天平找次品的原因

师：3个球中有1个重球又该怎么办？

生：天平两边各放1个球，天平不平衡时，重球在下沉的一端，天平平衡时，重球在旁边，无论平衡还是不平衡，只需称一次就能找到重球

（指导直观图）

师:2个球、3个球，都只需称1次就能找到重球。

师：我们再研究多一点好不好？大家还想研究几个？

生：4个、5个、6个、8个

师：都想研究呀，我们从里边挑一个大点的，8，来咱们试试从8个球中找重球，小组合作完成，看看怎么分，会出现什么情况？

边讨论边记录，记录的时候也学着老师黑板上的样子（数量多了，我们就要考虑先怎么分，接下来再怎么分）

生动手操作，师巡视指导，收集投影展示

师：看看刚才老师收集了同学们这么多的分法，为了便于更好的观察，老师把这些方法汇总在一起，请看

师：谁用的这种方法，来解释下

汇报交流：

生1：8个球分成（4，4），天平一定不平衡，称一次就能确定重球在哪个盘子里，接着从4个中找，把4分成（1，1，2），运气不好要从2个中找，合起来一共用3次就能找到重球。

生2：8个球分成（3,3,2），称1次就能确定重球在哪。天平平衡时，接下来要从2个中找，用1次，天平不平衡时，接下来要从3个中找，用1次，不管哪种情况都共需要2次找到重球；

生3：8个球分成(2,2,4)，称1次就能确定重球在哪，运气不好的话，接下来要从4个中找，共需要3次肯定能找到。

生4：8个球分成（1 1 6），运气不好的话，接下来要从6个中找，把6分成（2，2，2），称1次就能确定重球在哪，接下来要从2个中找，一共需要3次

生:8个球分成（2  2  2  2），运气不好的话，接下来要从右边的两份中找，这时，才把重球范围缩小到2中，共用3次

师：右边的两份合起来是几？（4）也就是说称一次后接下来从几个中找？（4）你发现没，这种分法和哪种一样？（2   2   4）

生：8个球分成8份，称1次后可能要从剩余的6份中找重球

师：那你是不是很快就发现了，一次只能称2份，剩下的一堆是1份，分成8份其实还是3份，和（1  1  6）是一样的。4份也好，8份也好，其实也是分成了3份，大家发现没，分的份数多，并不能让称的次数变少。通过研究8，我们得到一个启示，不管多少个球最终只能分成两份或分成三份。因为一次只能同时称2份，分再多也没用。

（其它小组补充，将所有方法化归到二分法和三分法）

师：同样是8个球，分法不同，称的次数就不同。比较这些方法，看看哪种方法需要的次数最少？

师：想一想为什么这种方法需要的次数最少？

生：第一种分成两份，第二种分成了三份。

师：分成两份，称一次能确定在哪个盘子吗？分成三份，称一次能确定在哪个盘子吗？这好像不是根本原因。

师提示：分两份，每边4个；分三份，每边3个……

生：分的份数越多，每份数越少，每份分的少，重球所在的范围就小。

师：分两份，接下来要从4个中找；分成三份，接下来要从2个或3个中找，从2个、3个中好找还是从4个中好找？

师：再来看，三分法一共有几种?这么多三分法，为什么只有这种是2次？

生：2 2 4接下来要从4中找，1 1 6接下来要从6中找。从4个、6个中找比2个、3个中难找

师：看来，我们在分的过程中，要尽可能的把重球的范围缩小，怎么才能把重球范围缩小呢？进一步研究，8完了是几？拿9再来试一试？

汇报：

生：9个球分成(4、4、1)，接下来把4分成（1、1、2），再把2分成(1、1)，用3次找到重球。

生：9个球分成（3，3，3），天平平衡与不平衡，重球缩小到3个的范围中。用2次找到重球。

生:9个球分成（2、2、5），接下来把5分成（2、2、1），再把2分成（1、1），用3次找到重球。

生:9个球分成（1、1、7），接下来把7分成（2、2、3），再把3分成（1、1、1），用3次找到重球。

师：看看哪种方法需要的次数最少?

生：把9平均分成3份，用的次数最少。

师：为了让大家看得更清楚，老师把刚才我们探究的过程归纳在一起，观察对比，你能不能说一说，在什么情况下，才能达到称的次数最少？

生：分成3分，每份数据差距尽量小

师：不管是8还是9，有称2次，也有称3次，2次有什么相同的地方？

生：都是将球分成3份

（板书：一分为三）

师：都是分3份，为什么这个是2次，那些是3次？不一样的地方在哪？观察每一份的数量，2次里肯定有小窍门，一起来研究

生：这3份几乎是平均分的

板书：尽量平均

师：究竟为什么一分为三的方法找到重球的次数最少？

师：为了让大家明白其中的道理，老师用一组图片来说明。把一堆球平均分成2份，称一次能确定重球在哪个盘子中吗？（能）平均分成三份，称一次能确定在哪个盘子中吗？（能）但不同的是把一堆球平均分成2份，接下来是从一堆球的二分之一中找；把一堆球平均分成3份，天平不平衡，重球在这一堆，天平平衡，重球在这一堆，无论平衡还是不平衡，接下来是从一堆球的三分之一中找。从二分之一中好找还是从三分之一中好找？（三分之一）那我们分成8份行不行？不行，称一次根本确定不了重球在哪一份当中。分三份是由天平的特点决定的，次品的位置无外乎三个位置，即两个托盘上和旁边的第三个盘子中。

师：是不是分成三份就是最简单的呢？如果3份不平均，数据相差很大呢？以8个球为例，分成（1、1、6），接下来是从75%中找重球，分成（2、2、4），接下来是从50%中找重球，分成（3、3、2），接下来是从30%左右中找重球，看来，重球范围一次性缩的越小，找到重球所需次数越少。因此，分的三分要尽量平均。

师：通过操作、分析，我们找到了找重球次数最少的小窍门，一堆球一分为三，尽量平均，这样就能很快找到重球。

师：找到方法，需要进行验证。我们再来试一试。每组同学任选两个数据来验证我们刚刚推断的结论，看看是不是用最快的速度找到结果。

找不同的小组汇报

师：刚才同学们用我们总结的窍门很快就找到了重球，既然是验证，大家都来想有没有其他分法比这个方法次数少？一个一个看（没有）

师：看来这种方法是最优方法。可见，通过大家验证，再次确认我们探究的结论是正确的。这就是找次品的最优方法。

师：现在我们应用找到的方法解决81个球

生：把81个球平均分成3份，（27,27,27）,重球缩小到27个中，再平均分成3份，（9,9,9）重球缩小到9个中，从9个中2次找出重球，轻车熟路不再赘述了，共用4次。

师：刚才谁猜40次、80次了？（生站）师反问：这次明白了吗？掌握了方法，这么难的问题很快就解决了。

师：这道题是比尔.盖茨招聘微软员工时出的一道考题。

师：把81作为3份中的1份，一共是多少个？

生:243个

师：243个球中找次品。至少称几次？

生：5次

师：再往上呢？还会吗？不能平均分成3份怎么办？

生：尽量均分，第三份和前2份相差1

师：观察这个图，从下往上看，从上往下看，你有什么发现？

生：每次都是一分为三，分三份称一次就能确定次品所在的范围，接着再分，再分析，直到范围缩小到2个或3个中

师：其实，解决任何一个数学问题的过程都是一次极富挑战的探究之旅，数学家在探究找次品问题时也进行了成千上万次实验，总结出待测物品个数与称的次数的关系，我们一起来看。待测物品3个分1次三份，称1次，9个分2次三份，称2次，27个分3次三份，称3次，81个分4次3份，称4次，每次都是一分为三，不是平均分的时候，也就是说在3-9，9-27，27-81等中间的数，尽量均分三份，现在我们把这个结论归纳一下

再多还会吗？

师：3、9、27、81、243、729，每个范围的最大数都是3的倍数，3分1次3份，这个范围的数称1次，9分2次3份，这个范围的数称2次，以此类推

师：回顾刚才的探究过程，从2个、3个、8个、9个甚至更多球中找重球，从易到难，在寻找规律的过程中，需要不断转化为前面已经解决的数量，这就是转化的思想，利用转化的思想，便于我们更好地探索最优方案，提高解决问题的效率。这样的数学思想，是我们学习数学的重要宝贝，大家要牢记，并且运用到自己的学习生活中。

师：找次品的过程中，我们总是一分为三，因此找到的规律都和3有关系，看来3这个数字是找次品问题的灵魂，古人对3也很推崇，老师给大家介绍一下3的神奇之处。

师：据《史记》记载，数始于一，终于十，成于三。三在古代这样写，叄，通参加的参，有了一分为三思想的参与找次品问题变得如此简单。希望同学们通过这节课，积累学习经验，举一反三地学好数学。

通过播放真实的事件，吸引学生的注意力，从而引出找次品的重要性，揭示课题。

让学生经历猜想的过程，引导学生用实践检验猜想，激起学生探究的欲望。

从2个球中找重球，明确程序，渗透化繁为简的思想，使学生明白在解决复杂的问题时，可以从简单情况入手，为后面的学习奠定基础。

从3个球中找重球，让学生学会简单推理，学会数学地思维，让学生慢慢感受第三个盘子。

采用小组合作的学习方式，在小组长的带领下，各组成员分工明确，有序地讨论交流，学生能大胆地发表自己的见解，全体同学主动参与研究性学习。

引导学生在比较观察不同分法中，使学生认识到最优的“三等份”分法，及时进行优化，从而让学生经历由多样化过渡到优化的思维过程。

引导学生观察、概括，从中发现规律，培养学生的思维能力、表达能力和推理能力。

借助天平图，帮助学生理解三分法的真正原因，从而理解找次品问题优化的本质。

从哲学的高度诠释了化繁为简的数学思想，又把数学与中国传统文化有机结合起来，把培养学生的数学情感真正落实到了实处。

首尾呼应，使学生学会一分为三地看问题。