2021学年21.5 反比例函数课堂检测

课时训练（七）

【21.7  第七课时 反比例函数图像性质】

基础闯关                                                  务实基础  达标检测

一、选择题

1.下列说法错误的是(　　)

A．反比例函数的图象是双曲线

B．画反比例函数的图象时，注意用平滑的曲线分别顺次连接各象限内的各个点

C．反比例函数的图象与坐标轴没有交点

D．反比例函数的图象经过原点

解析：反比例函数图像是双曲线，x,y轴分别为它的渐近线，与坐标轴没有交点。故选D

2.点A(1，y1)，B(3，y2)在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2的大小关系是(　　)

A．y1＞y2     B．y1＝y2

C．y1＜y2     D．不能确定

解析：解法一：将x＝1和x＝3分别代入反比例函数表达式中，计算出y1，y2进行比较；

解法二：∵k＝9＞0，∴函数图象位于第一、三象限，且在每个分支上，y随x的增大而减小．

∵3＞1，∴y2＜y1.

3.若反比例函数y＝(2m－1)xm2－2的图象在第二、四象限，则m的值是(　　)

A．－1           B．小于的任意实数

C．－1或1          D．不能确定的

解析：因为y＝(2m－1)xm2－2是反比例函数且图象在第二、四象限，所以由m2－2＝－1，得m2＝1，解得m＝±1.由2m－1<0，得m<，所以m＝－1.故选A.

4.在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝(b≠0)与二次函数y＝ax2＋bx(a≠0)的图象大致是(　　)

解析：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，如果对称轴在y轴左侧，则a与b符号相同(可简称“左同”)；如果对称轴在y轴右侧，则a与b符号相反(可简称“右反”)．选项A，二次函数y＝ax2＋bx中，a＞0，b＜0，反比例函数y＝中，b＞0，矛盾；选项B，二次函数y＝ax2＋bx中，a＞0，b＞0，反比例函数y＝中，b＜0，矛盾；选项C，二次函数y＝ax2＋bx中，a＜0，b＞0，反比例函数y＝中，b＜0，矛盾；选项D，二次函数y＝ax2＋bx中，a＜0，b＞0，反比例函数y＝中，b＞0，正确．故选D

5.若点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(1，y3)都在反比例函数y＝(k为常数)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为(　　)

A．y2＜y1＜y3          B．y2＜y3＜y1

C．y3＜y1＜y2           D．y1＜y2＜y3

解析：设t＝k2－2k＋3.

∵k2－2k＋3＝(k－1)2＋2＞0，∴t＞0.

∵点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(1，y3)都在反比例函数y＝(k为常数)的图象上，

∴y1＝－，y2＝－t，y3＝t.又∵－t＜－＜t，

∴y2＜y1＜y3.故选A.

6.如图，若反比例函数y＝的图象经过点A(－1，－2)，则当x>1时，函数值y的取值范围是(　　)

A．y>1     B．0<y<1

C．y>2     D．0<y<2

解析： 先由图象经过点A，用待定系数法求得其表达式为y＝，又由反比例函数的性质，当x＞0时，y随x的增大而减小，故当x＞1时，0＜y＜2.故选D.

7.如图，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象与反比例函数y＝的图象交于A，C两点，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为B，D，则四边形ABCD的面积为(　　)

A．2    B．4    C．8    D．16

解析：S四边形ABCD＝S△ADB＋S△BDC＝2S△ABD＝4S△AOB＝4×2＝8.

二、填空题

8.如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象都经过点A(－1，2)，若y1>y2，则x的取值范围是____________．

解析：根据反比例函数图象与正比例函数图象交点规律：两个交点关于原点对称，可得另一交点的坐标为(1，－2)．由图象可得在点A的右侧、y轴的左侧及另一交点的右侧时，相同横坐标的反比例函数的值都大于正比例函数的值，故当y1>y2时，－1<x<0或x>1.

9.点(a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数y＝(k＞0)的图象上，若y1＜y2，则a的取值范围是________．

解析：∵k＞0，

∴在图象的每一分支上，y随x的增大而减小．

①当点(a－1，y1)，(a＋1，y2)在图象的同一分支上时，∵y1＜y2，∴a－1＞a＋1，无解；

②当点(a－1，y1)，(a＋1，y2)在图象的两分支上时，

∵y1＜y2，∴a－1＜0，a＋1＞0，

解得－1＜a＜1.

10.若A(，)、B(，)在函数的图象上，当、满足________时，.

解析：的图象在一、三象限，在每个象限内，随着的增大，函数值减小，所以或时，.当B点在三象限，A点在一象限，即，也满足.

故答案为：或或

三、解答题

11.如图所示，反比例函数的图象与一次函数的图象交于M(2，)，N(－1，－4)两点.

（1）求反比例函数和一次函数的关系式；

（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围．

解析：（1）设反比例函数的关系式为．

由N(－1，－4)，得，

∴  ＝4．

∴  反比例函数的关系式为．

∵  点M(2，)在双曲线上，

∴  ．

∴  点M(2，2)．

设一次函数的关系式为，由M(2，2)、N(－1，－4)，得

  解得

∴  一次函数的关系式为．

（2）由图象可知，当＜－1或0＜＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值．

12.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴上，其中OA＝6，OC＝3.已知反比例函数y＝(k>0，x>0)的图象经过BC边的中点D，交AB边于点E.

（1）k的值为________；

（2）猜想△OCD的面积与△OBE的面积之间的关系，并说明理由．

解析：（1）由题意可得C(0，3)，B(6，3)，

则BC边的中点D的坐标为(3，3)．

∵反比例函数y＝(k>0，x>0)的图象经过点D，∴k＝9.

（2）相等．理由如下：

对于y＝，令x＝6，则y＝，

∴E(6，)，即OA＝6，AE＝，

从而BE＝AB－AE＝，

∴S△OBE＝BE·OA＝××6＝.

又∵S△OCD＝CD·OC＝×3×3＝，

∴S△OCD＝S△OBE.

13.如图，一次函数y＝x＋的图象与反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象在第一象限的交点为A(1，m)，与y轴交于点B.

（1）求反比例函数y＝(k≠0，x>0)的表达式；

（2）若点P在x轴上，且满足S△POB＝S△AOB，求此时点P的坐标．

解析：（1）∵一次函数y＝x＋的图象经过点A(1，m)，∴m＝1＋＝.

将(1，)代入y＝，可求得k＝，

∴反比例函数的表达式为y＝(x>0)．

（2）在y＝x＋中，令x＝0，得y＝，故OB＝，

∴S△AOB＝×1×＝.

设点P(x，0)，则OP＝|x|，

由S△POB＝S△AOB，得·|x|·＝，

解得x＝±1.故点P的坐标为(－1，0)或(1，0)．

能力提升                                                  思维拓展  探究重点

1.如图，点A(m，6)，B(n，1)在某反比例函数的图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝5.

（1）求m，n的值，并写出反比例函数的表达式．

（2）连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

解析：（1）根据题意，得

解得

∴m，n的值分别为1，6，即A(1，6)，B(6，1)．

设反比例函数的表达式为y＝(k≠0)．

将A(1，6)代入y＝，得k＝xy＝1×6＝6.

∴反比例函数的表达式为y＝.

（2）存在．

如图，设E(x，0)，则DE＝x－1，CE＝6－x.

∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，

∴∠ADE＝∠BCE＝90°.

连接AE，BE.

S△ABE＝S梯形ABCD－S△ADE－S△BCE＝(BC＋AD)·DC－DE·AD－CE·BC＝×(1＋6)×5－(x－1)×6－(6－x)×1＝－x＝5，

解得x＝5，

∴点E的坐标为(5，0)．

2.如图所示，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A(3，2)．

（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．

（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？

（3）M()是反比例函数图象上的一动点，其中0＜＜3，过点M作直线MB ∥轴，交轴于点B；过点A作直线AC∥轴交轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．

解析：（1）将A(3，2)分别代入，中，得，3＝2．

∴  ＝6，．

∴  反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式为．

（2）观察图象，在第一象限内，当0＜＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值．

（3）BM＝DM．

理由：∵  ，

∴  ，

即OC·OB＝12．

∵  OC＝3，∴  OB＝4，即＝4．

∴  ．∴  ，．

∴  MB＝MD．