高中数学6.3 平面向量基本定理及坐标表示课后复习题

课后素养落实(六)　平面向量基本定理

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　)

A．e1－e2，e2－e1　　　　 B．e1－e2，e1＋e2

C．2e2－e1，－2e2＋e1   D．2e1＋e2,4e1＋2e2

B　[不共线的向量能作为基底，因为e1－e2＝－(e2－e1)，所以向量e1－e2，e2－e1共线，排除A；因为2e2－e1＝－(－2e2＋e1)，所以2e2－e1，－2e2＋e1共线，排除C；因为2e1＋e2＝(4e1＋2e2)，所以2e1＋e2,4e1＋2e2共线，排除D．故选B．]

2．(多选题)若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是(　　)

A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量

B．对于平面α内的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对

C．若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)

D．若存在实数λ，μ，使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0

BC　[由平面向量基本定理，可知A，D说法正确，B说法不正确．对于C，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故C说法不正确．]

3．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为(　　)

A．0,0　　　　B．1,1　　　　C．3,0　　　　D．3,4

D　[因为e1与e2不共线，所以解方程组得x＝3，y＝4．]

4．在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，设＝a，＝b，则可用基底a，b表示为(　　)

A．(a＋b)   B．a＋b

C．a＋b   D．(a＋b)

C　[因为＝2，所以＝，

所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b．]

5．在△ABC中，＝，EF∥BC，EF交AC于F，设＝a，＝b，则等于(　　)

A．－a＋b   B．a－b

C．a－b   D．a＋b

A　[∵＝，∴＝－．

又∵EF∥BC，∴＝＝(－)，

∴＝＋＝－＋(－)

＝－＝－a＋b．]

二、填空题

6．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________．

a－b　[由a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，由①＋②得e2＝a＋b，代入①可求得e1＝a－b，

所以e1＋e2＝a－b．]

7．若向量a＝4e1＋2e2与b＝ke1＋e2共线，其中e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则k的值为________．

2　[∵向量a与b共线，

∴存在实数λ，使得b＝λa，

即ke1＋e2＝λ(4e1＋2e2)＝4λe1＋2λe2．

∵e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，

∴∴k＝2．]

8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

　[如图，由题意知，D为AB的中点，

＝，

所以＝＋＝＋

＝＋(－)＝－＋，

所以λ1＝－，λ2＝，

所以λ1＋λ2＝－＋＝．]

三、解答题

9．如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC，以a，b为基底表示向量与．

[解]　在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC，

∴＝＋＝＋＝＋＝b＋a，

＝－＝＋－＝a＋b－b＝a－b．

10．如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，求λ，μ的值．

[解]　在矩形OACB中，＝＋，

又＝λ＋μ

＝λ(＋)＋μ(＋)

＝λ＋μ

＝＋，

所以＝1，＝1，

所以λ＝μ＝．

1．(多选题)在直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点，且满足＝2，点M，N在过点P的直线上，若＝m，＝n(m＞0，n＞0)，则下列结论正确的是(　　)

A．＋为常数

B．m＋2n的最小值为3

C．m＋n的最小值为

D．m，n的值可以为m＝，n＝2

ABD　[如图所示，

由＝2，可得－＝2(－)，

∴＝＋，

若＝m，＝n(m＞0，n＞0)，则＝，＝，

∴＝＋，

∵M，P，N三点共线，∴＋＝1，∴＋＝3，

当m＝时，n＝2，A，D选项正确；

m＋2n＝(m＋2n)＝＋＋≥2 ＋＝3，当且仅当m＝n时等号成立，B选项正确；

m＋n＝(m＋n)＝＋＋1≥2＋1＝＋1，当且仅当n＝m时等号成立，C选项错误．故选ABD．]

2．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)

A．外心　　　B．内心　　　C．重心　　　D．垂心

B　[为上的单位向量，

为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．又λ∈[0，＋∞)，

∴λ的方向与＋的方向相同．

而＝＋λ，

∴点P在上移动，

∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．]

3．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________．

1∶4　[如图，由＝＋可知M，B，C三点共线，

令＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ⇒λ＝，所以＝，即△ABM与△ABC面积之比为1∶4．]

4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线段OD上有点M满足＝3，线段CO上有点N满足＝λ(λ＞0)，设＝a，＝b，已知＝μa－b，则λ＝________，μ＝________．

3　　[依题意得＝b－a，＝a＋b，

且＝＝(a－b)＝a－b，

＝＋＝＝(a＋b)，

所以＝＋＝b＋＝a＋b，

＝＋＝a＋b＋＝a＋b，即＝(a＋b)＝a＋b，

由平面向量基本定理，得

解得]

如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB．

(1)试用向量a，b来表示，；

(2)AM交DN于O点，求AO∶OM的值．

[解]　(1)因为AN＝AB，所以＝＝a，所以＝－＝a－b．因为BM＝BC，所以＝＝＝b，所以＝＋＝a＋b．

(2)因为A，O，M三点共线，所以∥，

设＝λ，则＝－＝λ－＝λ－b＝λa＋b．

因为D，O，N三点共线，所以∥，存在实数μ使＝μ，则λa＋b＝μ．

由于向量a，b不共线，则

解得所以＝，＝，

所以AO∶OM＝3∶11.