高中数学人教版新课标B必修31.3 中国古代数学中的算法案例说课ppt课件

这是一份高中数学人教版新课标B必修31.3 中国古代数学中的算法案例说课ppt课件，共23页。PPT课件主要包含了问题导学，达标检测，题型探究，内容索引，第二步，知识点二割圆术，知识点三秦九韶算法，最内层括号内，anx＋an－1，v1x＋an－2等内容，欢迎下载使用。

学习目标1.理解更相减损之术中的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析.2.理解割圆术中蕴含的数学原理.3.了解秦九韶算法及利用它提高计算效率的本质.4.对简单的案例能设计程序框图并写出算法.
知识点一　更相减损之术
更相减损之术的运算步骤第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是 .若是，用 约简；若不是，执行 .第二步，以 的数减去 的数，接着把所得的差与 的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数 为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.
1.割圆术的算法S1　假设圆的半径为1，面积为S，圆内接正n边形面积为Sn，边长为xn，边心距为hn，先从圆内接正六边形的面积开始算起，即n＝6，则正六边形的面积S6＝6× ；S2　利用公式S2n＝Sn＋n· ·xn(1－hn)重复计算，就可得到正十二边形、正二十四边形…的面积.因为圆的半径为1，所以随着n的增大，S2n的值不断趋近于圆周率，这样不断计算下去，就可以得到越来越精密的圆周率近似值.
2.割圆术的算法思想刘徽从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步地逼近圆面积，最后求出圆周率的近似值.用刘徽自己的话概括就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.”
思考　衡量一个算法是否优秀的重要参数是速度.把多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1变形为f(x)＝((((x＋1)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，然后求当x＝5时的值，为什么比常规逐项计算省时？
答案　从里往外计算，充分利用已有成果，可减少重复计算.
梳理　秦九韶算法的一般步骤：把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，求多项式的值时，首先计算 一次多项式的值，即v1＝ ，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝ ，v3＝ ，…vn＝ ，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求 的值.
[思考辨析 判断正误]1.辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数.(　　)2.求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法.(　　)3.编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句.(　　)
例1　试用更相减损之术求612,396的最大公约数.
解　方法一　612÷2＝306,396÷2＝198,306÷2＝153,198÷2＝99，∴153－99＝54,99－54＝45,54－45＝9,45－9＝36,36－9＝27,27－9＝18,18－9＝9.所以612,396的最大公约数为9×22＝36.方法二　612－396＝216,396－216＝180,216－180＝36,180－36＝144,144－36＝108,108－36＝72,72－36＝36.故36为612,396的最大公约数.
反思与感悟　用更相减损之术的算法步骤：第一步，给定两个正整数m，n，不妨设m＞n.第二步，若m，n都是偶数，则不断用2约简，使它们不同时是偶数，约简后的两个数仍记为m，n.第三步，d＝m－n.第四步，判断“d≠n”是否成立，若是，则将n，d中的较大者记为m，较小者记为n，返回第三步；否则，2kd(k是约简整数2的个数)为所求的最大公约数.
跟踪训练1　用更相减损之术求261和319的最大公约数.
解　∵319－261＝58，261－58＝203，203－58＝145，145－58＝87，87－58＝29，58－29＝29，∴319与261的最大公约数为29.
解　将f(x)改写为f(x)＝((((4x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－0.8，由内向外依次计算一次多项式当x＝5时的值：v0＝4；v1＝4×5＋2＝22；v2＝22×5＋3.5＝113.5；v3＝113.5×5－2.6＝564.9；v4＝564.9×5＋1.7＝2 826.2；v5＝2 826.2×5－0.8＝14 130.2.∴当x＝5时，多项式的值为14 130.2.
题型二　秦九韶算法的基本思想
例2　已知一个5次多项式为f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x＝5时的值.
反思与感悟　秦九韶算法之所以优秀，一是其对所有多项式求值都适用，二是充分利用已有计算成果，效率更高.
跟踪训练2　用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值.
解　f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以有v0＝7，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262，v4＝262×3＋3＝789，v5＝789×3＋2＝2 369，v6＝2 369×3＋1＝7 108，v7＝7 108×3＝21 324.故当x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324.
1.用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为 A.10 B.9 C.12 D.8
解析　f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7，∴做加法6次，乘法6次，∴6＋6＝12(次)，故选C.
2.已知f(x)＝2x3＋x－3，用秦九韶算法求当x＝3时v2的值.
解　f(x)＝2x3＋x－3＝2x3＋0·x2＋x－3＝((2x＋0)x＋1)x－3，v0＝2，v1＝2×3＋0＝6，v2＝6×3＋1＝19.
3.用更相减损之术求1 734和816的最大公约数.
解　因为1 734和816都是偶数，所以分别除以2得867和408.867－408＝459,459－408＝51,408－51＝357，357－51＝306,306－51＝255,255－51＝204，204－51＝153,153－51＝102,102－51＝51.所以867和408的最大公约数是51，故1 734和816的最大公约数是51×2＝102.