高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.5 增长速度的比较说课课件ppt

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1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，并能够运用它们的性质，解决某些简单的实际问题.2.知道直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的差异.3.了解和体会函数模型的广泛应用，培养学生应用数学的意识及分析问题、解决问题的能力.
重点：结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性；会运用函数模型解决问题.难点：会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢.
1. 如何比较函数值变化的快慢？平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，这也可以理解为：自变量每增加一个单位，函数值将增加若干个单位.因此可用平均变化率来比较函数值变化的快慢.2. 常见的函数模型及增长特点（1）指数函数模型指数函数模型y＝ax（a>1）的增长特点是随着自变量的
增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧增长，形象地称为“指数爆炸”.（2）对数函数模型对数函数模型y＝lgax（a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.（3）幂函数模型幂函数y＝xn（n>0）的增长速度介于指数函数的增长速度和对数函数的增长速度之间.特别地，一次函数的增长为线性增长（或直线增长）.
3.比较幂值大小的三种方法（1）若指数相同，底数不同，则考虑使用幂函数的性质进行比较.（2）若指数不同，底数相同，则考虑使用指数函数的性质进行比较.（3）若指数与底数都不同，则考虑引入中间数，使这个数的底数与一个所比较数的底数相同，指数与另一个所比较数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小.
4. 指数型函数、对数型函数模型的应用（1）指数型函数模型y＝max+b（a>0且a≠1，m≠0），在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等问题都可用指数型函数模型来表示.（2）对数型函数模型：y＝mlgax+c（m≠0，a>0且a≠1），对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算法则求解.（3）指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型；②依实际情况确定解析式中的参数；③依题设数据解决数学问题；④得出结论.
5.建立拟合函数模型解决实际问题的步骤
题型一　增长速度的比较
【归纳总结】（1）大多数实际问题不能事先知道其函数模型，要通过科学观察和测试得出一些数据，绘出各点得到散点图，根据散点图的形状，通过函数拟合的方法确定函数模型.（2）数据拟合的步骤①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数模型，并设出其一般形式；③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；④检验所得函数是否符合实际.
【归纳总结】①比较幂值的大小常用图象法、特值法和中间值法。②直线上升反映了一次函数（一次项系数大于0）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）；指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度急剧（越来越快）；对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）.解题时，注意根据各函数的增长类型选择合适的函数模型刻画实际的变化规律.
题型三　利用指数函数模型解决实际问题例3 ［2019·海南海口高一期末］某公司2018年投入的科研资金为100万元，在此基础上，每年投入的科研资金比上一年增长20%，则该公司投入的科研资金开始超过200万元的年份是（　　）A.2021年B.2022年C.2023年D.2024年
【规律方法】函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容，解题的关键在于通过已知条件得出函数解析式，或者对已知数据的分析，得出重要信息，进而从已有的各类型函数中选择模拟，进行数据的拟合.
题型四、利用对数函数模型解决实际问题
【归纳总结】解函数应用问题的四个步骤（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；（3）解模：求解函数模型，得出数学结论；（4）还原：将数学结论还原为实际问题.以上过程用框图表示如下.
例5.［2019·河北武邑中学高三调研］某创业团队拟生产A，B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图4‑5‑3），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图4‑5‑3）.（注： 利润与投资额的单位均为万元）　 　　　 图4‑5‑3　　　　　　　　　　　　　图4‑5‑4（1）分别将A，B两种产品的利润f（x），g（x）表示为投资额x的函数.（2）该团队已筹集到10 万元资金，并打算全部投入A，B两种产品的生产，当B产品的投资额为多少万元时，生产A，B两种产品能获得最大利润？最大利润为多少？
题型五 利用幂函数模型解决实际问题