![高考数学一轮复习第四章4.6正弦定理和余弦定理课时作业理含解析 练习01](http://www.enxinlong.com/img-preview/3/3/12189385/0/0.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
![高考数学一轮复习第四章4.6正弦定理和余弦定理课时作业理含解析 练习02](http://www.enxinlong.com/img-preview/3/3/12189385/0/1.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
![高考数学一轮复习第四章4.6正弦定理和余弦定理课时作业理含解析 练习03](http://www.enxinlong.com/img-preview/3/3/12189385/0/2.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
高考数学一轮复习第四章4.6正弦定理和余弦定理课时作业理含解析
展开一、选择题
1.[2021·河北省级示范性高中联合体联考]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3sinA=2sinC,b=5,csC=-eq \f(1,3),则a=( )
A.3B.4
C.6D.8
2.[2021·山东青岛一中月考]在△ABC中,若sin2A+sin2B
C.钝角三角形D.不能确定
3.[2021·广东省七校联合体高三联考试题]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=eq \r(3)+1,b=2,A=eq \f(π,3),则B=( )
A.eq \f(3π,4)B.eq \f(π,6)
C.eq \f(π,4)D.eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)
4.[2021·广东深圳高级中学月考]在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A+\f(π,6)))=eq \f(1,2),b=1,△ABC的面积为eq \f(\r(3),2),则eq \f(b+c,sinB+sinC)的值为( )
A.eq \r(3)B.2
C.4D.1
5.[2021·山西省六校高三阶段性测试]在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,bcsA=c-eq \f(1,2)a,点D在AC上,2AD=DC,BD=2,则△ABC的面积的最大值为( )
A.eq \f(3\r(3),2)B.eq \r(3)
C.4D.6
二、填空题
6.[2021·陕西咸阳一中月考]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=eq \r(7),b=2,A=eq \f(π,3),则△ABC的面积为________.
7.[2021·惠州市高三调研考试试题]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知eq \r(3)(acsC-ccsA)=b,B=60°,则角A的大小为________.
8.[2020·山东卷]某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=eq \f(3,5),BH∥DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为________cm2.
三、解答题
9.[2020·山东卷]在①ac=eq \r(3),②csinA=3,③c=eq \r(3)b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=eq \r(3)sinB,C=eq \f(π,6),________?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
10.[2020·全国卷Ⅱ,17]△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.
(1)求A;
(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.
[能力挑战]
11.[2021·洛阳市尖子生联考]已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,且满足(a+b+c)(sinB+sinC-sinA)=bsinC.
(1)求角A的大小;
(2)设a=eq \r(3),S为△ABC的面积,求S+eq \r(3)csBcsC的最大值.
课时作业24
1.解析:因为3sinA=2sinC,由正弦定理得
3a=2c,设a=2k(k>0),则c=3k.
由余弦定理得csC=eq \f(a2+b2-c2,2ab)=eq \f(25-5k2,20k)=-eq \f(1,3),
解得k=3或k=-eq \f(5,3)(舍去),从而a=6.故选C.
答案:C
2.解析:∵sin2A+sin2B
3.解析:∵c=eq \r(3)+1,b=2,A=eq \f(π,3),∴由余弦定理可得a=eq \r(b2+c2-2bccsA)=eq \r(4+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)+1))2-2×2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)+1))×\f(1,2))=eq \r(6),∴由正弦定理可得sinB=eq \f(b·sinA,a)=eq \f(2×\f(\r(3),2),\r(6))=eq \f(\r(2),2),∵b答案:C
4.解析:∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A+\f(π,6)))=eq \f(1,2),∴A=eq \f(π,3),又b=1,△ABC的面积为eq \f(1,2)bcsinA=eq \f(\r(3),2),解得c=2,∴a2=b2+c2-2bccsA=1+4-2=3,∴a=eq \r(3),∴eq \f(b+c,sinB+sinC)=eq \f(a,sinA)=2,故选B.
答案:B
5.解析:在△ABC中,由正弦定理eq \f(a,sinA)=eq \f(b,sinB)=eq \f(c,sinC)及bcsA=c-eq \f(1,2)a,得sinBcsA=sinC-eq \f(1,2)sinA.根据C=π-(A+B),得sinBcsA=sin(A+B)-eq \f(1,2)sinA=sinAcsB+csAsinB-eq \f(1,2)sinA,即sinAcsB=eq \f(1,2)sinA,由于sinA≠0,所以csB=eq \f(1,2),B=eq \f(π,3).
解法一 设AD=x,则CD=2x,AC=3x,在△ADB,△BDC,△ABC中分别利用余弦定理,得cs∠ADB=eq \f(x2+4-c2,4x),cs∠CDB=eq \f(4x2+4-a2,8x),cs∠ABC=eq \f(a2+c2-9x2,2ac).由cs∠ADB=-cs∠CDB,得6x2=a2+2c2-12,再根据cs∠ABC=eq \f(1,2),得a2+c2-9x2=ac,所以4c2+a2+2ac=36.根据基本不等式得4c2+a2≥4ac,所以ac≤6,当且仅当a=2eq \r(3),c=eq \r(3)时,等号成立,所以△ABC的面积S=eq \f(1,2)acsin∠ABC=eq \f(\r(3),4)ac≤eq \f(3\r(3),2).故选A.
解法二 因为点D在AC上,2AD=DC,所以eq \(BD,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→)),|eq \(BD,\s\up6(→))|2=eq \f(4,9)|eq \(BA,\s\up6(→))|2+eq \f(1,9)|eq \(BC,\s\up6(→))|2+eq \f(4,9)eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))=eq \f(4,9)c2+eq \f(1,9)a2+eq \f(4,9)ac×cseq \f(π,3)=eq \f(4,9)c2+eq \f(1,9)a2+eq \f(2,9)ac.又BD=2,所以4c2+a2+2ac=36.根据基本不等式得4c2+a2≥4ac,所以ac≤6,当且仅当a=2eq \r(3),c=eq \r(3)时,等号成立,所以△ABC的面积S=eq \f(1,2)acsin∠ABC=eq \f(\r(3),4)ac≤eq \f(3\r(3),2).故选A.
答案:A
6.解析:由正弦定理得sinB=eq \f(bsinA,a)=eq \f(2sin\f(π,3),\r(7))=eq \f(\r(21),7),∵b∴△ABC的面积为eq \f(1,2)absinC=eq \f(3\r(3),2).
答案:eq \f(3\r(3),2)
7.解析:由eq \r(3)(acsC-ccsA)=b,根据正弦定理得eq \r(3)(sinAcsC-sinCcsA)=sinB,即eq \r(3)sin(A-C)=eq \f(\r(3),2),sin(A-C)=eq \f(1,2),又A+C=180°-B=120°,∴-120°答案:75°
8.解析:如图,连接OA,过点A分别作AQ⊥DE,AK⊥EF,垂足为Q,K,设AK与BH,DG分别交于点M,N,作OP⊥DG于点P,则AQ=AK=7cm,∴DN=7cm,∵DG=EF=12cm,∴NG=5cm,∵NK=DE=2cm,∴AN=5cm,∴△ANG为等腰直角三角形,∴∠GAN=45°,∵∠OAG=90°,
∴∠OAM=45°,设AM=OM=xcm,则PN=xcm,∴DP=(7-x)cm,
∵tan∠ODG=eq \f(3,5),∴OP=eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(7-x×\f(3,5)))cm,∵AM+MN+NK=7cm,即x+(7-x)×eq \f(3,5)+2=7,解得x=2,∴OA=2eq \r(2)cm,∴S阴影=π×(2eq \r(2))2×eq \f(3,8)+(2eq \r(2))2×eq \f(1,2)-eq \f(π×12,2)=3π+4-eq \f(π,2)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4+\f(5π,2)))cm2.
答案:4+eq \f(5π,2)
9.解析:方案一:选条件①.
由C=eq \f(π,6)和余弦定理得eq \f(a2+b2-c2,2ab)=eq \f(\r(3),2).
由sinA=eq \r(3)sinB及正弦定理得a=eq \r(3)b.
于是eq \f(3b2+b2-c2,2\r(3)b2)=eq \f(\r(3),2),由此可得b=c.
由①ac=eq \r(3),解得a=eq \r(3),b=c=1.
因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1.
方案二:选条件②.
由C=eq \f(π,6)和余弦定理得eq \f(a2+b2-c2,2ab)=eq \f(\r(3),2).
由sinA=eq \r(3)sinB及正弦定理得a=eq \r(3)b.
于是eq \f(3b2+b2-c2,2\r(3)b2)=eq \f(\r(3),2),
由此可得b=c,B=C=eq \f(π,6),A=eq \f(2π,3).
由②csinA=3,所以c=b=2eq \r(3),a=6.
因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c=2eq \r(3).
方案三:选条件③.
由C=eq \f(π,6)和余弦定理得eq \f(a2+b2-c2,2ab)=eq \f(\r(3),2).
由sinA=eq \r(3)sinB及正弦定理得a=eq \r(3)b.
于是eq \f(3b2+b2-c2,2\r(3)b2)=eq \f(\r(3),2),由此可得b=c.
由③c=eq \r(3)b,与b=c矛盾.
因此,选条件③时问题中的三角形不存在.
10.解析:(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=AC·AB. ①
由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcsA. ②
由①②得csA=-eq \f(1,2).因为0(2)由正弦定理及(1)得eq \f(AC,sinB)=eq \f(AB,sinC)=eq \f(BC,sinA)=2eq \r(3),从而AC=2eq \r(3)sinB,AB=2eq \r(3)sin(π-A-B)=3csB-eq \r(3)sinB.
故BC+AC+AB=3+eq \r(3)sinB+3csB=3+2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B+\f(π,3))).
又011.解析:(1)∵(a+b+c)(sinB+sinC-sinA)=bsinC,
∴由正弦定理,得(a+b+c)(b+c-a)=bc,即b2+c2-a2=-bc.
由余弦定理,得csA=eq \f(b2+c2-a2,2bc)=-eq \f(1,2).
又A∈(0,π),∴A=eq \f(2,3)π.
(2)根据a=eq \r(3),A=eq \f(2,3)π及正弦定理可得eq \f(b,sinB)=eq \f(c,sinC)=eq \f(a,sinA)=eq \f(\r(3),\f(\r(3),2))=2,
∴b=2sinB,c=2sinC,
∴S=eq \f(1,2)bcsinA=eq \f(1,2)×2sinB×2sinC×eq \f(\r(3),2)=eq \r(3)sinBsinC,
∴S+eq \r(3)csBcsC=eq \r(3)sinBsinC+eq \r(3)csBcsC=eq \r(3)cs(B-C).
故当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(B=C,B+C=\f(π,3))),即B=C=eq \f(π,6)时,
S+eq \r(3)csBcsC取得最大值eq \r(3).
高考数学(理数)一轮复习课时作业24《正弦定理和余弦定理》(原卷版): 这是一份高考数学(理数)一轮复习课时作业24《正弦定理和余弦定理》(原卷版),共4页。
高考数学一轮复习第三章第六节正弦定理和余弦定理课时作业理含解析北师大版: 这是一份高考数学一轮复习第三章第六节正弦定理和余弦定理课时作业理含解析北师大版,共7页。
高考数学统考一轮复习课时作业23正弦定理和余弦定理文含解析新人教版: 这是一份高考数学统考一轮复习课时作业23正弦定理和余弦定理文含解析新人教版,共9页。