2020-2021学年河南省南阳市高二（下）6月月考数学（文）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年河南省南阳市高二（下）6月月考数学（文）试卷北师大版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设复数z满足−2i2z=−1+2i，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2. 现有下列说法：
①若相关指数R2越大，则模型的拟合效果越好；
②设有一个回归方程y=4−x，当变量x增加1个单位时，y平均增加4个单位；
③线性回归方程y=bx+a必过点x¯,y¯；
④若相关系数r满足|r|越接近1，则这两个变量相关性越强．
其中正确的个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4

3. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2sin2α，y=cs2α（α为参数），则曲线C的图象为（ ）
A.椭圆B.直线C.线段D.圆

4. 已知an为等差数列，a3=3，则a1+a2+a3+a4+a5=3×5，若bn为等比数列，b3=3，则bn的类比结论为（ ）
A.b1b2b3b4b5=35B.b1+b2+b3+b4+b5=35
C.b1b2b3b4b5=3×5D.b1+b2+b3+b4+b5=3×5

5. 在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为y2=4|x|，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标扩大两倍，得到曲线C1，则曲线C1的方程为（ ）
A.y2=|x|B.y2=4|x|C.y2=16|x|D.y2=32|x|

6. 把直线与平面的位置关系填入结构图中，则方框中M处应填写的位置关系为( )

A.直线与平面垂直B.直线与平面没有交点
C.直线与平面相交D.直线与平面异面

7. 已知曲线C：x=2csθ,y=sinθ（θ为参数），直线l：x=122+2t,y=−t（t为参数）．点P为曲线C上任意一点，点A为直线l上一点，则|PA|的最小值为（ ）
A.12105B.10C.8105D.210

8. 已知某电器正常使用超过5年的概率为0.8，超过8年的概率为0.5，若一个这种电器使用5年后还能正常使用，则该电器能正常使用超过8年的概率为（ ）
B.0.7D.0.4

9. 欧拉公式eiθ=csθ+isinθ是把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位．它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”．若z=eiθ−1−3i2为纯虚数，则θ可能为（ ）
A.π6B.π3C.5π3D.11π6

10. 如图所示的是求3+3+3+3的程序框图，图中空白框中应填入（ ）

A.A=3+AB.A=A+AC.A=3AD.A=3+A

11. 甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，胜一场记1分，输一场记0分，甲每场得1分的概率为23，规定率先得到2分的同学获胜．已知第一场比赛乙同学得1分，则乙同学最终获胜的概率为（ ）
A.2527B.59C.527D.29

12. 设复数z1，z2满足|z1|=2|z2|=2，则|z1+z2|+|z1−z2|的取值范围为（ ）
A.4,25B.16,20C.32,26D.18,24
二、填空题

已知复数z+i为实数，z−3为纯虚数，则z=________．

已知两个线性相关变量x与y的统计数据如下表：
其回归直线方程是y=0.7x+0.35，则表中m的值为________．

数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图所示的是在平面直角坐标系中的“心形曲线”，又名RC心形线．以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，其RC心形线的极坐标方程为ρ1−|csθ|sinθ=1．过点O的直线l交RC心形线于M，N两点，则1|OM|2+1|ON|2=________．


将数列{2n−1}和2n中的所有项按从小到大排成如下数阵：
用ai×j 表示第i行第j列的数，则a9×9=________．
三、解答题

马拉松赛事是当下一项非常火爆的运动项目，受到越来越多人的喜爱．现随机在“马拉松跑友群”中选取100人，记录了他们在某一天马拉松训练中的跑步公里数，并将数据整理如下：

(1)分别估计“马拉松跑友群”中的人一天的马拉松训练中的跑步公里数为[5,15)，[15,25)，[25,35]的概率；

(2)已知一天的跑步公里数不少于20公里的跑友被“跑友群”评定为“高级”，否则为“初级”，根据题意完成给出的2×2列联表，并据此判断能否有95%的把握认为评定“级别”与“性别”有关．
附：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d．

若复数z满足|z|+z¯=12−32i．
(1)求复数z；

(2)在复平面内，△ABC的顶点A，B，C分别对应复数z，z2，z3，求△ABC的面积．

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l过点M1,3π2且与直线θ=3π4ρ∈R垂直，曲线C的极坐标方程为ρ=8tanθcsθ．
(1)求直线l的普通方程和曲线C的普通方程；

(2)若l与曲线C交于A，B两点，求1|MA|+1|MB|的值．

已知a+b=c+d，证明：
(1)若ab>cd，则a2+b2
(2)a2+b2
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程ρcsθ=2．M为曲线C1上的动点，点P在射线OM上，且满足|OM|⋅|OP|=8，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)已知斜率为k的直线l过点1,1，且曲线C截直线l所得线段的中点坐标为1,1，求直线l的直角坐标方程．

“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．2021年4月7日，“学习强国”上线“强国医生”功能，提供智能导诊、疾病自查、疾病百科、健康宣传等多种医疗健康服务，传播普及健康常识、卫生知识，助力健康生活．
(1)为了解“强国医生”的使用次数多少与性别之间的关系，某调查机构调研了200名“强国医生”的使用者得到如下数据：
根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关；

(2)该机构统计了“强国医生”上线7天内每天使用该服务的女性人数，“强国医生”上线的第x天，每天使用“强国医生”的女性人数为y，得到以下数据：
通过观察散点图发现样本点集中于某一条曲线y=a⋅bx的周围，求y关于x的回归方程，并预测“强国医生”上线第12天使用该服务的女性人数．
附：随机变量χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d.
其中zi=lgyi.
参考公式：
对于一组数据x1,y1，x2,y2，…，xn,yn，其回归直线y=c+dx的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为d=i=1nxiyi−nxy¯i=1nxi2−nx¯2，c=y¯−dx¯.
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省南阳市高二（下）6月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
【解析】
无
【解答】
解：z=−1+2i−2i2=−1+2i−4=1−2i4=14−12i，
则z在复平面内所对应的点位于第四象限．
故选D．
2.
【答案】
C
【考点】
求解线性回归方程
命题的真假判断与应用
相关系数
【解析】
无
【解答】
解：①③④说法正确；
对于②，回归方程y=4−x，
当变量x增加1个单位时，y平均减少1个单位，故②错误．
故选C．
3.
【答案】
C
【考点】
参数方程与普通方程的互化
直线的参数方程
【解析】
无
【解答】
解：因为sin2α+cs2α=1，
所以曲线C的普通方程为x2+y=1(x∈0,2,y∈0,1)，
故曲线C的图象为线段．
故选C．
4.
【答案】
A
【考点】
类比推理
等差数列的性质
等比数列的性质
【解析】
根据等差数列中等差中项的性质可以类比等比中项的性质，b1⋅b5=b12q4=b32，b1b2b3b4b5=b35，可以由此得到等比数列的积与等比中项之间的关系，得到本题答案．
【解答】
解：在等差数列an中，
由等差数列的性质得a1+a5=a2+24=2a3，
所以a1+a2+a3+a4+a5=5a3=3×5，
在等比数列bn中，
由等比数列的性质得b1b5=b2b4=b32，
类似地，有b1b2b3b4b5=b35=35．
故选A．
5.
【答案】
D
【考点】
伸缩变换
【解析】
根据伸缩变换，得出曲线C1的方程．
【解答】
解：曲线C的方程为y2=4|x|，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标扩大两倍，得到曲线C1，
曲线C1的方程为y22=4×|2x|，即y2=32|x|．
故选D．
6.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
根据公共点的个数进行分类即可，有无数个公共点，直线在平面内；有且只有一个公共点，直线和平面相交；没有公共点，直线和平面平行．
【解答】
解：直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交．
故选C．
7.
【答案】
D
【考点】
点到直线的距离公式
参数方程与普通方程的互化
两角和与差的正弦公式
【解析】
无
【解答】
解：直线l的方程为x+2y−122=0，
曲线C上任意一点P2csθ,sinθ到l的距离d=15|2csθ+2sinθ−122|
=1522sinθ+π4−122．
当sinθ+π4=1时，|PA|取到最小值，最小值为210．
故选D．
8.
【答案】
C
【考点】
条件概率与独立事件
【解析】
无
【解答】
解：设一个这种电器能使用5年以上为事件A，能使用8年以上为事件B，
则PB|A=PABPA=．
故选C．
9.
【答案】
B
【考点】
欧拉公式
复数的基本概念
任意角的三角函数
【解析】
无
【解答】
解：根据eiθ=csθ+isinθ，
得z=eiθ−1−3i2=csθ−12+isinθ+32，
若z为纯虚数，
则csθ−12=0，sinθ+32≠0，
故θ=π3满足题意．
故选B．
10.
【答案】
A
【考点】
程序框图
【解析】
无
【解答】
解：执行第1次，A=3，k=1≤3，是，第一次应该计算3+3，k=k+1=2，循环；
执行第2次，k=2≤3，是，第二次应该计算3+3+3，k=k+1=3，循环；
执行第3次，k=3≤3，是，第三次应该计算3+3+3+3，k=k+1=4≤3，否，输出．
故空白处可填入A=3+A，
故选A．
11.
【答案】
B
【考点】
互斥事件的概率加法公式
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
无
【解答】
解：乙同学最终获胜的概率为13+23×13=59．
故选B．
12.
【答案】
A
【考点】
复数的模
余弦函数的定义域和值域
【解析】
无
【解答】
解：不妨设复数z1，z2对应的点分别为Z12,0，Z2csθ,sinθ，
则|z1+z2|+|z1−z2|=5+4csθ+5−4csθ．
令y=5+4csθ+5−4csθ，
则y2=10+225−16cs2θ．
因为csθ∈−1,1，
所以cs2θ∈0,1，25−16cs2θ∈9,25，
y2=10+225−16cs2θ∈16,20，
据此可得|z1+z2|+|z1−z2|的取值范围为4,25．
故选A．
二、填空题
【答案】
3−i
【考点】
复数的基本概念
复数代数形式的加减运算
【解析】
无
【解答】
解：设z=a+bia,b∈R，
因为z+i=a+b+1i为实数，
所以b+1=0，b=−1．
因为z−3=a−3+bi为纯虚数，
所以a−3=0，a=3，
所以z=3−i．
故答案为：3−i．
【答案】
3
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
无
【解答】
解：由回归方程y=0.7x+0.35过样本的中心点x¯,y¯，
且x¯=14×3+4+5+6=4.5，
所以y¯=0.7x¯+0.35=0.7×4.5+0.35=3.5．
由y¯=14×2.5+m+4+4.5=3.5，
得m=3．
故答案为：3．
【答案】
2
【考点】
极坐标的概念
【解析】
无
【解答】
解：由于M，N在直线l上，
故可设Mρ1,θ，Nρ2,θ+π，
代入ρ21−|csθ|⋅sinθ=1ρ>0，
可得ρ1=11−|csθ|sinθ，ρ2=11+|csθ|sinθ，
所以1|OM|2+1|ON|2=2．
故答案为：2．
【答案】
77
【考点】
数列的应用
【解析】
无
【解答】
解：由1+8×82+9=45，
可知a9×9是第45个数，
推理可知前45项中，2n占有6项，
所以a9×9=2×39−1=77．
故答案为：77．
三、解答题
【答案】
解：(1)由频数分布表可估计“马拉松跑友群”中的人一天的马拉松训练中的跑步公里数为[5,15)的概率为17100=0.17，
跑步公里数为[15,25)的概率为60100=0.6，
跑步公里数为25,35的概率为23100=0.23．
(2)2×2列联表如下：
因为χ2=10020×25−15×40260×40×35×65≈0.18<3.841，
所以没有95%的把握认为评定“级别”与“性别”有关．
【考点】
概率的应用
独立性检验
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由频数分布表可估计“马拉松跑友群”中的人一天的马拉松训练中的跑步公里数为[5,15)的概率为17100=0.17，
跑步公里数为[15,25)的概率为60100=0.6，
跑步公里数为25,35的概率为23100=0.23．
(2)2×2列联表如下：
因为χ2=10020×25−15×40260×40×35×65≈0.18<3.841，
所以没有95%的把握认为评定“级别”与“性别”有关．
【答案】
解：(1)设z=a+bia,b∈R，
则|z|+z¯=12−32i，
即a2+b2+a−bi=12−32i．
由两复数相等的充要条件得a2+b2+a=12，b=32，
解得a=−12，b=32，
所以z=−12+32i．
(2)z2=−12−32i，z3=1，
所以点A，B，C在复平面内的坐标分别为−12,32，−12,−32，1,0，
所以△ABC的面积为12×3×1+12=334．
【考点】
复数的模
共轭复数
复数相等的充要条件
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
三角形的面积公式
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)设z=a+bia,b∈R，
则|z|+z¯=12−32i，
即a2+b2+a−bi=12−32i．
由两复数相等的充要条件得a2+b2+a=12，b=32，
解得a=−12，b=32，
所以z=−12+32i．
(2)z2=−12−32i，z3=1，
所以点A，B，C在复平面内的坐标分别为−12,32，−12,−32，1,0，
所以△ABC的面积为12×3×1+12=334．
【答案】
解：(1)因为点M(1,3π2)的直角坐标为(0,−1)，
直线θ=3π4在直角坐标系中的方程为y=−x，
所以直线l的方程为y=x−1.
因为ρ=8tanθcsθ，即ρ2cs2θ=8ρsinθ，
所以x2=8y.
(2)直线l的参数方程为x=22t，y=−1+22t（t为参数），
代入x2=8y，得t2−82t+16=0，
则t1+t2=82，t1t2=16，
1|MA|+1|MB|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2||t1t2|=|t1+t2||t1t2|=8216=22.
【考点】
抛物线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
点的极坐标和直角坐标的互化
参数方程的优越性
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为点M(1,3π2)的直角坐标为(0,−1)，
直线θ=3π4在直角坐标系中的方程为y=−x，
所以直线l的方程为y=x−1.
因为ρ=8tanθcsθ，即ρ2cs2θ=8ρsinθ，
所以x2=8y.
(2)直线l的参数方程为x=22t，y=−1+22t（t为参数），
代入x2=8y，得t2−82t+16=0，
则t1+t2=82，t1t2=16，
1|MA|+1|MB|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2||t1t2|=|t1+t2||t1t2|=8216=22.
【答案】
证明：(1)因为a2+b2=a+b2−2ab，
c2+d2=c+d2−2cd，
由题设a+b=c+d，ab>cd，
得a+b2−2ab因此a2+b2(2)必要性：若|a−b|<|c−d|，
则a−b2即a+b2−4ab因为a+b=c+d，
所以ab>cd，
由(1)得a2+b2充分性：若a2+b2则a+b2−2ab因为a+b=c+d，
所以ab>cd，
于是a−b2=a+b2−4ab因此|a−b|<|c−d|．
综上，a2+b2【考点】
不等式的证明
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
无
无
【解答】
证明：(1)因为a2+b2=a+b2−2ab，
c2+d2=c+d2−2cd，
由题设a+b=c+d，ab>cd，
得a+b2−2ab因此a2+b2(2)必要性：若|a−b|<|c−d|，
则a−b2即a+b2−4ab因为a+b=c+d，
所以ab>cd，
由(1)得a2+b2充分性：若a2+b2则a+b2−2ab因为a+b=c+d，
所以ab>cd，
于是a−b2=a+b2−4ab因此|a−b|<|c−d|．
综上，a2+b2【答案】
解：(1)设Pρ,θρ>0，Mρ1,θρ1>0，
由|OP|⋅|OM|=8，
得ρρ1=8．
∵ M是曲线C1：ρcsθ=2上任意一点，
∴ ρ1csθ=2，
则ρ1=2csθ，
即ρ⋅2csθ=8，
∴ 曲线C的极坐标方程为ρ=4csθρ>0，
∴ 曲线C的直角坐标方程为x2+y2−4x=0x≠0．
(2)设直线l的倾斜角为α，
则直线l的参数方程为
x=1+tcsα,y=1+tsinα（t为参数，0<α<π），
将x=1+tcsα,y=1+tsinα代入x2+y2−4x=0，
得t2+2sinα−2csαt−2=0，
所以t1+t2=−2sinα−2csα=0，
解得tanα=1，
所以直线l的直角坐标方程为y=x．
【考点】
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
轨迹方程
直线的参数方程
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)设Pρ,θρ>0，Mρ1,θρ1>0，
由|OP|⋅|OM|=8，
得ρρ1=8．
∵ M是曲线C1：ρcsθ=2上任意一点，
∴ ρ1csθ=2，
则ρ1=2csθ，
即ρ⋅2csθ=8，
∴ 曲线C的极坐标方程为ρ=4csθρ>0，
∴ 曲线C的直角坐标方程为x2+y2−4x=0x≠0．
(2)设直线l的倾斜角为α，
则直线l的参数方程为
x=1+tcsα,y=1+tsinα（t为参数，0<α<π），
将x=1+tcsα,y=1+tsinα代入x2+y2−4x=0，
得t2+2sinα−2csαt−2=0，
所以t1+t2=−2sinα−2csα=0，
解得tanα=1，
所以直线l的直角坐标方程为y=x．
【答案】
解：(1)补充表格如下：
χ2=20040×30−80×50290×110×120×80=4900297≈16.498>10.828，
所以有99.9%的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关.
(2)将y=a⋅bx两边同时取对数得lgy=lga⋅bx=lga+lgbx=lga+xlgb，
设z=lgy，则z=lga+xlgb.
因为i=17xi2=12+22+⋯+72=140，x¯=1+2+⋯+77=4,
所以lgb=i=17xizi−nx¯z¯i=17xi2−7x¯2=51.8−7×4×1.6140−7×42=0.25，
lga=1.6−0.25×4=0.6.
所以b=100.25，a=100.6，
所以y关于x的回归方程为y=100.6×100.25x=3.98×100.25x,
把x=12代入回归方程，得y=3.98×103=3980，
所以“强国医生”上线第12天，使用该服务的女性约有3980人．
【考点】
独立性检验
求解线性回归方程
【解析】


【解答】
解：(1)补充表格如下：
χ2=20040×30−80×50290×110×120×80=4900297≈16.498>10.828，
所以有99.9%的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关.
(2)将y=a⋅bx两边同时取对数得lgy=lga⋅bx=lga+lgbx=lga+xlgb，
设z=lgy，则z=lga+xlgb.
因为i=17xi2=12+22+⋯+72=140，x¯=1+2+⋯+77=4,
所以lgb=i=17xizi−nx¯z¯i=17xi2−7x¯2=51.8−7×4×1.6140−7×42=0.25，
lga=1.6−0.25×4=0.6.
所以b=100.25，a=100.6，
所以y关于x的回归方程为y=100.6×100.25x=3.98×100.25x,
把x=12代入回归方程，得y=3.98×103=3980，
所以“强国医生”上线第12天，使用该服务的女性约有3980人．x
3
4
5
6
y
2.5
m
4
4.5
初级
高级
总计
男
女
总计
Pχ2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
男
女
总计
使用次数多
40
使用次数少
30
总计
90
200
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
100
195
Pχ2≥k0
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
y¯
z¯
i=17xizi
i=17xiyi
100.6
61.9
1.6
51.8
2522
3.98
初级
高级
总计
男
20
40
60
女
15
25
40
总计
35
65
100
初级
高级
总计
男
20
40
60
女
15
25
40
总计
35
65
100
男
女
总计
使用次数多
40
80
120
使用次数少
50
30
80
总计
90
110
200
男
女
总计
使用次数多
40
80
120
使用次数少
50
30
80
总计
90
110
200