高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.2.1 命题与量词课时作业

1.2　常用逻辑用语

1.2.1　命题与量词

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.(多选题)(2021黑龙江哈尔滨第六中学期末)下列命题为假命题的是(　　)

A.若P={y|y=x2},Q={x|y=x2},则P⊆Q

B.若集合A={(x,y)|y=x-1},B={(x,y)|y=-x2+1},则A∩B={-2,1}

C.任何集合都有真子集

D.若A∩B=⌀,则A,B至少有一个为空集

答案BCD

解析P={y|y=x2}=[0,+∞),Q={x|y=x2}=R,则P⊆Q,所以A正确;若集合A={(x,y)|y=x-1},B={(x,y)|y=-x2+1},由解得则A∩B={(-2,-3),(1,0)},所以B不正确;空集没有真子集,所以C不正确;若A∩B=⌀,则A,B至少有一个为空集或A,B两个集合中没有相同的元素,所以D不正确.故选BCD.

2.下列四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　)

A.锐角三角形的内角是锐角或钝角

B.至少有一个实数x,使x2≤0

C.两个无理数的和必是无理数

D.存在一个负数x,使>2

答案B

解析A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是假命题;B中x=0时,x2=0,所以B是存在量词命题又是真命题;C中因为+(-)=0,所以C是假命题;D中对于任何一个负数x,都有<0,所以D是假命题.

3.用符号“∀”或“∃”表示含有量词的命题.

(1)实数的平方大于等于0,符号表示为　　　; 

(2)存在一对实数x,y,使2x+3y+3>0成立,符号表示为　　　. 

答案(1)∀x∈R,有x2≥0　(2)∃x,y∈R,使2x+3y+3>0成立

4.(2020江苏连云港高一检测)若“∃x∈R,x2+2x-a<0”是真命题,则实数a的取值范围是　　　　　. 

答案(-1,+∞)

解析若“∃x∈R,x2+2x-a<0”是真命题,

则Δ>0,即4+4a>0,解得a>-1.

则实数a的取值范围为(-1,+∞).

5.判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题,并判断其真假.

(1)存在一个三角形,其内角和不等于180°.

(2)对所有的实数a,b,方程ax+b=0都有唯一解.

(3)存在实数x,使得=2.

解(1)是存在量词命题,是假命题.

(2)是全称量词命题,是假命题.

(3)是存在量词命题,是假命题.

等级考提升练

6.(2021江西宜春高安中学高二期末)设非空集合M,N满足M∩N=N,则(　　)

A.∃x∈N,有x∉M B.∀x∉N,有x∈M

C.∃x∉M,有x∈N D.∀x∈N,有x∈M

答案D

解析因为M∩N=N,所以N⊆M,所以∀x∈N,有x∈M.故选D.

7.(多选题)下列命题中是真命题的是(　　)

A.∀x∈R,2x2-3x+4>0

B.∀x∈{1,-1,0},2x+1>0

C.∃x∈N,使≤x

D.∃x∈N*,使x为29的约数

答案ACD

解析对于A,这是全称量词命题,由于Δ=(-3)2-4×2×4<0,所以2x2-3x+4>0恒成立,故A为真命题;对于B,这是全称量词命题,由于当x=-1时,2x+1>0不成立,故B为假命题;对于C,这是存在量词命题,当x=0时,有≤x成立,故C为真命题;对于D,这是存在量词命题,当x=1时,x为29的约数成立,所以D为真命题.

8.(2020山东济南高一月考)下列命题中,既是真命题又是全称量词命题的是(　　)

A.至少有一个x∈Z,使得x2<3成立

B.对任意a,b∈R,都有a2+b2≥2(a+b-1)

C.∃x∈R,=x

D.菱形的两条对角线长度相等

答案B

解析对于A,因为02<3,0∈Z,所以至少有一个x∈Z,使得x2<3成立,是真命题,不是全称量词命题;

对于B,因为a2+b2-2(a+b-1)=(a-1)2+(b-1)2≥0,所以B为真命题,又因为任意a,b∈R都使命题成立,故本命题符合题意;

对于C,当x≥0,=x成立,是真命题,不是全称量词命题;

对于D,并不是所有的菱形对角线长度都相等,是假命题.

9.已知命题“存在x∈R,使ax2-x+2≤0”是假命题,则实数a的取值范围是　　　　. 

答案,+∞

解析因为命题“存在x∈R,使ax2-x+2≤0”是假命题,

所以命题“∀x∈R,使得ax2-x+2>0”是真命题,

当a=0时,得x<2,故命题“∀x∈R,使得ax2-x+2>0”是假命题,不合题意;

当a≠0时,得解得a>.

10.(1)已知对任意的x∈{x|1≤x≤3},都有m≥x,求实数m的取值范围.

(2)已知存在实数x∈{x|1≤x≤3},使m≥x,求实数m的取值范围.

解(1)由于对任意的x∈{x|1≤x≤3},都有m≥x,故只需m大于或等于x的最大值,即m≥3.实数m的取值范围为[3,+∞).

(2)由于存在实数x∈{x|1≤x≤3},使m≥x,故只需m大于或等于x的最小值,即m≥1.实数m的取值范围为[1,+∞).

新情境创新练

11.(2020北京高一月考)在平面直角坐标系xOy中,设Ω为边长为1的正方形内部及其边界的点构成的集合.从Ω中的任意点P作x轴、y轴的垂线,垂足分别为MP,NP.所有点MP构成的集合为M,M中所有点的横坐标的最大值与最小值之差记为x(Ω);所有点NP构成的集合为N,N中所有点的纵坐标的最大值与最小值之差记为y(Ω).给出以下命题:

①x(Ω)的最大值为;②x(Ω)+y(Ω)的取值范围是[2,2];③x(Ω)-y(Ω)恒等于0.

其中正确结论的序号是(　　)

A.①② B.②③

C.①③ D.①②③

答案D

解析由题意,根据正方形的对称性,设正方形的初始位置为正方形OABC,画出图形,如下图所示:

正方形的边长为1,所以正方形的对角线长为.

当正方形OABC绕O顺时针旋转时,可以发现当对角线OB在横轴时,如图所示,x(Ω)的最大值为,故结论①正确;

此时x(Ω)=,y(Ω)=,所以有x(Ω)+y(Ω)=2,当正方形OABC绕O顺时针旋转时,当正方形有一边在横轴时,x(Ω),y(Ω)有最小值为1,即x(Ω)=1,y(Ω)=1,所以x(Ω)+y(Ω)有最小值为2,故结论②正确;

又因为在旋转过程中(以旋转的角θ∈[0°,45°]为例),x(Ω)=cos(45°-θ),y(Ω)=cos(45°-θ),所以x(Ω)=y(Ω),所以x(Ω)-y(Ω)恒等于0,故结论③正确.