华师大版九年级上册第21章 二次根式综合与测试巩固练习

这是一份华师大版九年级上册第21章 二次根式综合与测试巩固练习，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

分数：________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列各式中一定是二次根式的是 ( )
A.eq \r(,－10) B.eq \r(3,－10) C.eq \r(,10a) D.eq \r(,a2＋10)
2．下列根式中属于最简二次根式的是 ( )
A.eq \r(a2＋1) B.eq \r(\f(1,2)) C.eq \r(8) D.eq \r(27)
3．下列根式中不能与eq \r(48)合并同类项的是 ( )
A.eq \r(0.12) B.eq \r(18) C.eq \r(1\f(1,3)) D．－eq \r(75)
4．如果eq \r(（2a－1）2)＝1－2a，那么 ( )
A．a＜eq \f(1,2) B．a≤eq \f(1,2) C．a＞eq \f(1,2) D．a≥eq \f(1,2)
5．(重庆中考)下列计算中，正确的是 ( )
A.eq \r(8)－eq \r(2)＝eq \r(6) B．2＋eq \r(2)＝2eq \r(2)
C.eq \r(2)×eq \r(3)＝eq \r(6) D．2eq \r(3)－2＝eq \r(3)
6．有一对角线互相垂直的四边形，对角线长分别为(6eq \r(5)＋1)与(6eq \r(5)－1)，则该四边形的面积为 ( )
A．179 B.eq \r(65) C．89.5 D．不能确定
7.eq \r(24n)是整数，则正整数n的最小值是 ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
8．已知(x＋y－2)2＋eq \r(1－y)＝0，则xy等于 ( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
9．若eq \r(3)的整数部分为x，小数部分为y，则eq \r(3)x－y的值是 ( )
A．3eq \r(3)－3 B.eq \r(3) C．1 D．3
10．如图，数轴上点A，B对应的数分别为1，eq \r(2)，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\r(2)))＋eq \f(2,x－2)等于 ( )
A.eq \r(2)－2 B．2eq \r(2) C．3eq \r(2) D．2
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．计算eq \f(2,\r(2))的结果是__ __．
12．若eq \r(5)＝2.236，则eq \r(45)＝__ __．(精确到0.01)
13．比较大小：2eq \r(\f(7,2))__ __eq \r(17).
14．已知a＝2＋eq \r(3)，b＝2－eq \r(3)，则eq \f(a,b)－eq \f(b,a)的值为__ _．
15．如果代数式eq \r(－m)＋eq \f(m＋n,\r(mn))有意义，那么P(m，n)在平面直角坐标系中的位置为第__ __象限．
16．化简：eq \r(4x2－4x＋1)－(eq \r(2x－3))2＝__ _．
17．当x＝__ __时，最简二次根式－5eq \r(2x－4)与2eq \r(5－x)是同类二次根式．
18．如图，直线y＝eq \f(\r(15),3)x＋eq \r(5)交x轴于点A，交y轴于点B，与直线y＝kx的交点C的纵坐标是－eq \r(2)，则△AOC的面积是__ _．
三、解答题(共66分)
19．(12分)计算：
(1)9eq \r(45)÷eq \r(2\f(1,2))×eq \f(3,2)eq \r(2\f(2,3))；

(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(18)－\r(0.5)＋2\r(\f(1,3))))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(1,8))－\r(12)))；

(3)(7＋4eq \r(3))(7－4eq \r(3))－(3eq \r(5)－1)2；

(4)eq \r(18)－eq \r(\f(9,2))－eq \f(\r(3)＋\r(6),\r(3))＋(eq \r(3)－2)0＋eq \r(（1－\r(2)）2).

20．(8分)(博乐月考)已知x＝eq \r(3)＋eq \r(2)，y＝eq \r(3)－eq \r(2)，求下列各式的值：
(1)x2＋xy＋y2；
(2)eq \f(1,x)＋eq \f(1,y).

21.(10分)完成下列问题：
(1)先化简，再求值：eq \f(a2－1,a－1)－eq \f(\r(a2＋2a＋1),a2＋a)－eq \f(1,a)，其中a＝－1－eq \r(3)；

(2)若无理数A的整数部分是a，则它的小数部分可表示为A－a.例如：π的整数部分为3，因此其小数部分可表示为π－3，若x表示eq \r(47)的整数部分，y表示它的小数部分，求代数式(eq \r(47)＋x)y的值．

22．(12分)(1)现有一块长7.5 dm，宽5 dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？

(2)一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是长为4eq \r(3) cm，宽为3eq \r(2) cm的长方形，现将塑料容器内的一部分水倒入一个底面半径2eq \r(2) cm的圆柱形玻璃容器中，玻璃容器水面高度上升了3eq \r(2) cm，求长方体塑料容器中的水面下降的高度．(注意：π取3)

23．(12分)观察下列各式及验证过程：
①eq \r(\f(1,2)－\f(1,3))＝eq \f(1,2)eq \r(\f(2,3))；
②eq \r(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,4))))＝eq \f(1,3)eq \r(\f(3,8))；
③eq \r(\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－\f(1,5))))＝eq \f(1,4)eq \r(\f(4,15)).
验证：eq \r(\f(1,2)－\f(1,3))＝eq \r(\f(1,2×3))＝eq \r(\f(2,22×3))＝eq \f(1,2)eq \r(\f(2,3))；eq \r(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,4))))＝eq \r(\f(1,2×3×4))＝eq \r(\f(3,2×32×4))＝eq \f(1,3)eq \r(\f(3,8))；eq \r(\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－\f(1,5))))＝eq \r(\f(1,3×4×5))＝eq \r(\f(4,3×42×5))＝eq \f(1,4)eq \r(\f(4,15)).
(1)按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想eq \r(\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)－\f(1,6))))的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n为自然数，且n≥1)表示的等式，并验证．

24．(12分)阅读材料：
小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2eq \r(2)＝(1＋eq \r(2))2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋beq \r(2)＝(m＋neq \r(2))2(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a＋beq \r(2)＝m2＋2n2＋2mneq \r(2)，所以a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把部分a＋beq \r(2)的式子化为完全平方式的方法．请仿照小明的方法解决下列问题：
(1)若a＋beq \r(3)＝(m＋neq \r(3))2(其中a，b，m，n均为正整数)，用含m，n的式子分别表示a，b∶a＝____，b＝____；
(2)填空：____＋____eq \r(3)＝(____＋____eq \r(3))2(写一组正整数a，b，m，n即可)；
(3)若a＋4eq \r(3)＝(m＋neq \r(3))2，且a，m，n均为正整数，求a的值．

九年级数学上册第21章检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
分数：________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列各式中一定是二次根式的是 ( D )
A.eq \r(,－10) B.eq \r(3,－10) C.eq \r(,10a) D.eq \r(,a2＋10)
2．下列根式中属于最简二次根式的是 ( A )
A.eq \r(a2＋1) B.eq \r(\f(1,2)) C.eq \r(8) D.eq \r(27)
3．下列根式中不能与eq \r(48)合并同类项的是 ( B )
A.eq \r(0.12) B.eq \r(18) C.eq \r(1\f(1,3)) D．－eq \r(75)
4．如果eq \r(（2a－1）2)＝1－2a，那么 ( B )
A．a＜eq \f(1,2) B．a≤eq \f(1,2) C．a＞eq \f(1,2) D．a≥eq \f(1,2)
5．(重庆中考)下列计算中，正确的是 ( C )
A.eq \r(8)－eq \r(2)＝eq \r(6) B．2＋eq \r(2)＝2eq \r(2)
C.eq \r(2)×eq \r(3)＝eq \r(6) D．2eq \r(3)－2＝eq \r(3)
6．有一对角线互相垂直的四边形，对角线长分别为(6eq \r(5)＋1)与(6eq \r(5)－1)，则该四边形的面积为 ( C )
A．179 B.eq \r(65) C．89.5 D．不能确定
7.eq \r(24n)是整数，则正整数n的最小值是 ( C )
A．4 B．5 C．6 D．7
8．已知(x＋y－2)2＋eq \r(1－y)＝0，则xy等于 ( C )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
9．若eq \r(3)的整数部分为x，小数部分为y，则eq \r(3)x－y的值是 ( C )
A．3eq \r(3)－3 B.eq \r(3) C．1 D．3
10．如图，数轴上点A，B对应的数分别为1，eq \r(2)，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\r(2)))＋eq \f(2,x－2)等于 ( A )
A.eq \r(2)－2 B．2eq \r(2) C．3eq \r(2) D．2
【解析】根据“点B关于点A的对称点为C”可知点C表示的数为2－eq \r(2)，将x代入式子化简计算即可得出答案．
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．计算eq \f(2,\r(2))的结果是__eq \r(2)__．
12．若eq \r(5)＝2.236，则eq \r(45)＝__6.71__．(精确到0.01)
13．比较大小：2eq \r(\f(7,2))__<__eq \r(17).
14．已知a＝2＋eq \r(3)，b＝2－eq \r(3)，则eq \f(a,b)－eq \f(b,a)的值为__8eq \r(3)__．
15．如果代数式eq \r(－m)＋eq \f(m＋n,\r(mn))有意义，那么P(m，n)在平面直角坐标系中的位置为第__三__象限．
16．化简：eq \r(4x2－4x＋1)－(eq \r(2x－3))2＝__2__．
17．当x＝__3__时，最简二次根式－5eq \r(2x－4)与2eq \r(5－x)是同类二次根式．
18．如图，直线y＝eq \f(\r(15),3)x＋eq \r(5)交x轴于点A，交y轴于点B，与直线y＝kx的交点C的纵坐标是－eq \r(2)，则△AOC的面积是__eq \f(\r(6),2)__．
三、解答题(共66分)
19．(12分)计算：
(1)9eq \r(45)÷eq \r(2\f(1,2))×eq \f(3,2)eq \r(2\f(2,3))；
解：原式＝54eq \r(3).
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(18)－\r(0.5)＋2\r(\f(1,3))))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(1,8))－\r(12)))；
解：原式＝eq \f(9\r(2),4)＋eq \f(8\r(3),3).
(3)(7＋4eq \r(3))(7－4eq \r(3))－(3eq \r(5)－1)2；
解：原式＝49－48－(45－6eq \r(5)＋1)
＝1－46＋6eq \r(5)
＝－45＋6eq \r(5).
(4)eq \r(18)－eq \r(\f(9,2))－eq \f(\r(3)＋\r(6),\r(3))＋(eq \r(3)－2)0＋eq \r(（1－\r(2)）2).
解：原式＝eq \f(3,2)eq \r(2)－1.
20．(8分)(博乐月考)已知x＝eq \r(3)＋eq \r(2)，y＝eq \r(3)－eq \r(2)，求下列各式的值：
(1)x2＋xy＋y2；
(2)eq \f(1,x)＋eq \f(1,y).
解：∵x＝eq \r(3)＋eq \r(2)，y＝eq \r(3)－eq \r(2)，
∴x＋y＝2eq \r(3)，xy＝1.
(1)x2＋xy＋y2
＝(x＋y)2－xy
＝(2eq \r(3))2－1
＝12－1
＝11.
(2)eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(y＋x,xy)＝eq \f(2\r(3),1)＝2eq \r(3).
21.(10分)完成下列问题：
(1)先化简，再求值：eq \f(a2－1,a－1)－eq \f(\r(a2＋2a＋1),a2＋a)－eq \f(1,a)，其中a＝－1－eq \r(3)；
解：∵a＝－1－eq \r(3)，
∴a＋1＝－eq \r(3)＜0，
∴原式＝a＋1＋eq \f(a＋1,a（a＋1）)－eq \f(1,a)
＝a＋1
＝－eq \r(3).
(2)若无理数A的整数部分是a，则它的小数部分可表示为A－a.例如：π的整数部分为3，因此其小数部分可表示为π－3，若x表示eq \r(47)的整数部分，y表示它的小数部分，求代数式(eq \r(47)＋x)y的值．
解：∵6∴eq \r(47)的整数部分为6，即x＝6，
则eq \r(47)的小数部分y＝eq \r(47)－6，
∴(eq \r(47)＋x)y＝(eq \r(47)＋6)(eq \r(47)－6)
＝47－36
＝11.
22．(12分)(1)现有一块长7.5 dm，宽5 dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？
解：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，
则a＝eq \r(8)＝2eq \r(2)(dm)，b＝eq \r(18)＝3eq \r(2)(dm)，
∵3eq \r(2)<5，
a＋b＝2eq \r(2)＋3eq \r(2)＝5eq \r(2)＝eq \r(50)<7.5，
∴能截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板．
(2)一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是长为4eq \r(3) cm，宽为3eq \r(2) cm的长方形，现将塑料容器内的一部分水倒入一个底面半径2eq \r(2) cm的圆柱形玻璃容器中，玻璃容器水面高度上升了3eq \r(2) cm，求长方体塑料容器中的水面下降的高度．(注意：π取3)
解：设长方体塑料容器中水下降的高度为h，由题意得4eq \r(3)×3eq \r(2)h＝3×(2eq \r(2))2×3eq \r(2)，
解得h＝2eq \r(3)，
所以长方体塑料容器中水下降的高度为2eq \r(3) cm.
23．(12分)观察下列各式及验证过程：
①eq \r(\f(1,2)－\f(1,3))＝eq \f(1,2)eq \r(\f(2,3))；
②eq \r(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,4))))＝eq \f(1,3)eq \r(\f(3,8))；
③eq \r(\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－\f(1,5))))＝eq \f(1,4)eq \r(\f(4,15)).
验证：eq \r(\f(1,2)－\f(1,3))＝eq \r(\f(1,2×3))＝eq \r(\f(2,22×3))＝eq \f(1,2)eq \r(\f(2,3))；eq \r(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,4))))＝eq \r(\f(1,2×3×4))＝eq \r(\f(3,2×32×4))＝eq \f(1,3)eq \r(\f(3,8))；eq \r(\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－\f(1,5))))＝eq \r(\f(1,3×4×5))＝eq \r(\f(4,3×42×5))＝eq \f(1,4)eq \r(\f(4,15)).
(1)按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想eq \r(\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)－\f(1,6))))的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n为自然数，且n≥1)表示的等式，并验证．
解：(1)eq \r(\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)－\f(1,6))))＝eq \f(1,5)eq \r(\f(5,24))，
验证：eq \r(\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)－\f(1,6))))
＝eq \r(\f(1,4×5×6))
＝eq \r(\f(5,4×52×6))
＝eq \f(1,5)eq \r(\f(5,24)).
(2)eq \r(\f(1,n)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2))))＝eq \f(1,n＋1)eq \r(\f(n＋1,n（n＋2）))，
验证：eq \r(\f(1,n)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2))))＝eq \r(\f(1,n（n＋1）（n＋2）))＝eq \r(\f(n＋1,n（n＋1）2（n＋2）))＝eq \f(1,n＋1)eq \r(\f(n＋1,n（n＋2）)).
24．(12分)阅读材料：
小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2eq \r(2)＝(1＋eq \r(2))2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋beq \r(2)＝(m＋neq \r(2))2(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a＋beq \r(2)＝m2＋2n2＋2mneq \r(2)，所以a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把部分a＋beq \r(2)的式子化为完全平方式的方法．请仿照小明的方法解决下列问题：
(1)若a＋beq \r(3)＝(m＋neq \r(3))2(其中a，b，m，n均为正整数)，用含m，n的式子分别表示a，b∶a＝____，b＝____；
(2)填空：____＋____eq \r(3)＝(____＋____eq \r(3))2(写一组正整数a，b，m，n即可)；
(3)若a＋4eq \r(3)＝(m＋neq \r(3))2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
解：(1)m2＋3n2 2mn
(2)答案不唯一，如4 2 1 1
(3)∵(m＋neq \r(3))2＝m2＋3n2＋2mneq \r(3)，
∴a＝m2＋3n2，4＝2mn.
∴2＝mn.
∵a，m，n均为正整数，
∴m＝1，n＝2或m＝2，n＝1.
当m＝1，n＝2时，a＝m2＋3n2＝13；
当m＝2，n＝1时，a＝m2＋3n2＝7.
∴a的值为13或7