初中数学北师大版九年级上册1 反比例函数课时作业

这是一份初中数学北师大版九年级上册1 反比例函数课时作业，共45页。

2021年中考数学真题汇编：反比例函数与一次函数的交点问题
1．（2021•梧州）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）与反比例函数y1＝，y2＝﹣的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为（　　）

A．5t B． C． D．5
2．（2021•枣庄）在平面直角坐标系xOy中，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），并分别与直线y＝x和双曲线y＝相交于点A，B，且AC+BC＝4，则△OAB的面积为（　　）
A．2+或2﹣ B．2+2或2﹣2 C．2﹣ D．2+2
3．（2021•通辽）定义：一次函数y＝ax+b的特征数为[a，b]，若一次函数y＝﹣2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y＝﹣的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数y＝﹣2x+m的特征数是（　　）
A．[2，3] B．[2，﹣3] C．[﹣2，3] D．[﹣2，﹣3]
4．（2021•威海）一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象交于点A（﹣1，﹣2），点B（2，1）．当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0或x＞2
C．0＜x＜2 D．0＜x＜2或x＜﹣1
5．（2021•贵阳）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝ax（a≠0）的图象相交于A，B两点，若点A的坐标是（1，2），则点B的坐标是（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（2，1）
6．（2021•无锡）一次函数y＝x+n的图象与x轴交于点B，与反比例函数y＝（m＞0）的图象交于点A（1，m），且△AOB的面积为1，则m的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2021•荆州）已知：如图，直线y1＝kx+1与双曲线y2＝在第一象限交于点P（1，t），与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是（　　）

A．t＝2 B．△AOB是等腰直角三角形
C．k＝1 D．当x＞1时，y2＞y1
8．（2021•宁波）如图，正比例函数y1＝k1x（k1＜0）的图象与反比例函数y2＝（k2＜0）的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜0或x＞2
C．x＜﹣2或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或0＜x＜2
9．（2021•乐山）如图，直线l1与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于A、B两点，线段AB的中点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．直线l2过原点O和点C．若直线l2上存在点P（m，n），满足∠APB＝∠ADB，则m+n的值可为（　　）

A．3﹣ B．3或 C．3+或3﹣ D．3
10．（2021•河池）在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y1+y2的值是 　 　．
11．（2021•淮安）如图，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝图象相交于A、B两点，若点A的坐标是（3，2），则点B的坐标是 　 　．

12．（2021•毕节市）如图，直线AB与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且AB＝BC，连接OA．已知△OAC的面积为12，则k的值为 　 　．


13．（2021•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，双曲线y＝经过点A．
（1）求k；
（2）直线AC与双曲线y＝﹣在第四象限交于点D，求△ABD的面积．

14．（2021•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数y＝k2x+b的图象经过E、F两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点P的坐标为 　 　．

15．（2021•岳阳）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝2x的图象交于A（1，m），B两点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点C在x轴上，且△BOC的面积为3，求点C的坐标．

16．（2021•黄冈）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线AB交y轴于点C，点N（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NM⊥x轴交反比例函数y＝的图象于点M，连接CN，OM．若S四边形COMN＞3，求t的取值范围．

17．在直角坐标系中，设函数y1＝（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．
（1）若点B的坐标为（﹣1，2），
①求k1，k2的值；
②当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（2）若点B在函数y3＝（k3是常数，k3≠0）的图象上，求k1+k3的值．

18．（2021•广安）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于A（﹣1，n），B（3，﹣2）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．

19．（2021•新疆）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于点A（2，3），B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）判断点P（﹣2，1）是否在一次函数y＝k1x+b的图象上，并说明理由；
（3）直接写出不等式k1x+b≥的解集．

20．（2021•凉山州）如图，△AOB中，∠ABO＝90°，边OB在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，S△AOB＝12，AN＝．
（1）求k的值；
（2）求直线MN的解析式．

21．（2021•南充）如图，反比例函数的图象与过点A（0，﹣1），B（4，1）的直线交于点B和C．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）已知点D（﹣1，0），直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写出点E的坐标，并求△BCE的面积．

22．（2021•江西）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a），在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点C坐标为（﹣2，0）．
（1）求k的值；
（2）求AB所在直线的解析式．

23．（2021•乐山）如图，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数y＝（k≠0）的图象于P、Q两点．若AB＝2BP，且△AOB的面积为4．
（1）求k的值；
（2）当点P的横坐标为﹣1时，求△POQ的面积．

24．（2021•资阳）如图，已知直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于A（m，3）、B（3，n）两点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）连结AO并延长交双曲线于点C，连结BC交x轴于点D，连结AD，求△ABD的面积．

25．（2021•泰安）如图，点P为函数y＝x+1与函数y＝（x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数y＝（x＞0）图象上一动点，过点M作MD⊥BP于点D，若tan∠PMD＝，求点M的坐标．

26．（2021•安徽）已知正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝的图象都经过点A（m，2）．
（1）求k，m的值；
（2）在图中画出正比例函数y＝kx的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．

27．（2021•重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
6
5
4
a
2
1
b
7
…
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：
m＝　 　，a＝　 　，b＝　 　；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：　 　；
（3）已知函数y＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+|﹣2x+6|+m＞的解集．

28．（2021•泸州）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（6，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值．
反比例函数与一次函数的交点问题参考答案
1．（2021•梧州）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）与反比例函数y1＝，y2＝﹣的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为（　　）

A．5t B． C． D．5
【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可．
【解答】解：如图，设AB交y轴于T．

∵AB⊥y轴，
∴S△OBT＝，S△OAT＝＝2，
∴S△AOB＝S△OBT+S△OAT＝+2＝，
故选：C．
2．（2021•枣庄）在平面直角坐标系xOy中，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），并分别与直线y＝x和双曲线y＝相交于点A，B，且AC+BC＝4，则△OAB的面积为（　　）
A．2+或2﹣ B．2+2或2﹣2 C．2﹣ D．2+2

【分析】先求出点A，点B坐标，可得AC＝x＝OC，BC＝，由AC+BC＝4，可求x的值，由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：设点C（x，0），
∵直线AB与直线y＝x和双曲线y＝相交于点A，B，
∴点A（x，x），点B（x，），
∴AC＝x＝OC，BC＝，
∵AC+BC＝4，
∴x+＝4，
∴x＝2±，
当x＝2+时，AC＝2+＝OC，BC＝2﹣，
∴AB＝2，
∴△OAB的面积＝×BA×OC＝2+2；
当x＝2﹣时，AC＝2﹣＝OC，BC＝2+，
∴AB＝2，
∴△OAB的面积＝×BA×OC＝2﹣2；
综上所述：△OAB的面积为2+2或2﹣2，
故选：B．
3．（2021•通辽）定义：一次函数y＝ax+b的特征数为[a，b]，若一次函数y＝﹣2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y＝﹣的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数y＝﹣2x+m的特征数是（　　）
A．[2，3] B．[2，﹣3] C．[﹣2，3] D．[﹣2，﹣3]

【分析】将一次函数y＝﹣2x+m的图像向上平移3个单位长度后，得到解析式y＝﹣2x+m+3，联立一次函数与反比例函数解析式，得到关于x的一元二次方程，设A（x1，0），B（x2，0），所以x1与x2是一元二次方程的两根，根据根与系数关系，得到，又A，B两点关于原点对称，所以x1+x2＝0，则，得到m＝﹣3，根据定义，得到一次函数y＝﹣2x+m的特征数是[﹣2，﹣3]．
【解答】解：将一次函数y＝﹣2x+m向上平移3个单位长度后得到y＝﹣2x+m+3，
设A（x1，0），B（x2，0），
联立，
∴2x2﹣（m+3）x﹣3＝0，
∵x1和x2是方程的两根，
∴，
又∵A，B两点关于原点对称，
∴x1+x2＝0，
∴，
∴m＝﹣3，
根据定义，一次函数y＝﹣2x+m的特征数是[﹣2，﹣3]，
故选：D．
4．（2021•威海）一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象交于点A（﹣1，﹣2），点B（2，1）．当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0或x＞2
C．0＜x＜2 D．0＜x＜2或x＜﹣1
【分析】由题可得，当y1＝y2时，x＝﹣1或2，根据A，B两点，画出反比例函数和一次函数草图，直接结合图象，可以得到答案．
【解答】解：∵一次函数和反比例函数相交于A，B两点，
∴根据A，B两点坐标，可以知道反比例函数位于第一、三象限，
画出反比例函数和一次函数草图，如图1，
由题可得，当y1＝y2时，x＝﹣1或2，
由图可得，当y1＜y2时，0＜x＜2或x＜﹣1，
故选：D．

5．（2021•贵阳）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝ax（a≠0）的图象相交于A，B两点，若点A的坐标是（1，2），则点B的坐标是（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（2，1）
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线与反比例函数图象的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：根据题意，知
点A与B关于原点对称，
∵点A的坐标是（1，2），
∴B点的坐标为（﹣1，﹣2）．
故选：C．
6．（2021•无锡）一次函数y＝x+n的图象与x轴交于点B，与反比例函数y＝（m＞0）的图象交于点A（1，m），且△AOB的面积为1，则m的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由已知得B（﹣n，0），而A（1，m）在一次函数y＝x+n的图象上，可得n＝m﹣1，即B（1﹣m，0），根据△AOB的面积为1，可列方程|1﹣m|•m＝1，即可解得m＝2．
【解答】解：在y＝x+n中，令y＝0，得x＝﹣n，
∴B（﹣n，0），
∵A（1，m）在一次函数y＝x+n的图象上，
∴m＝1+n，即n＝m﹣1，
∴B（1﹣m，0），
∵△AOB的面积为1，m＞0，
∴OB•|yA|＝1，即|1﹣m|•m＝1，
解得m＝2或m＝﹣1（舍去），
∴m＝2，
故选：B．
7．（2021•荆州）已知：如图，直线y1＝kx+1与双曲线y2＝在第一象限交于点P（1，t），与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是（　　）

A．t＝2 B．△AOB是等腰直角三角形
C．k＝1 D．当x＞1时，y2＞y1
【分析】利用待定系数法求得t，k，利用直线的解析式求得A，B的坐标，可得线段OA，OB的长度，利用图象可以判断函数值的大小．
【解答】解：∵点P（1，t）在双曲线y2＝上，
∴t＝＝2，正确；
∴A选项不符合题意；
∴P（1，2）．
∵P（1，2）在直线y1＝kx+1上，
∴2＝k+1．
∴k＝1，正确；
∴C选项不符合题意；
∴直线AB的解析式为y＝x+1
令x＝0，则y＝1，
∴B（0，1）．
∴OB＝1．
令y＝0，则x＝﹣1，
∴A（﹣1，0）．
∴OA＝1．
∴OA＝OB．
∴△OAB为等腰直角三角形，正确；
∴B选项不符合题意；
由图像可知，当x＞1时，y1＞y2．
∴D选项不正确，符合题意．
故选：D．
8．（2021•宁波）如图，正比例函数y1＝k1x（k1＜0）的图象与反比例函数y2＝（k2＜0）的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜0或x＞2
C．x＜﹣2或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或0＜x＜2
【分析】先根据点A与B关于原点对称，得出A横坐标，再找出正比例函数落在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：由反比例函数与正比例函数相交于点A、B，可得点A坐标与点B坐标关于原点对称．
故点A的横坐标为﹣2．
当y1＞y2时，即正比例函数图象在反比例图象上方，
观察图象可得，当x＜﹣2或0＜x＜2时满足题意．
故选：C．
9．（2021•乐山）如图，直线l1与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于A、B两点，线段AB的中点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．直线l2过原点O和点C．若直线l2上存在点P（m，n），满足∠APB＝∠ADB，则m+n的值可为（　　）

A．3﹣ B．3或 C．3+或3﹣ D．3
【分析】如图，作△ABD的外接圆⊙J，交直线l2于P，连接AP，PB，则∠APB＝∠ADB满足条件．想办法求出点P的坐标，可得结论．
【解答】解：如图，作△ABD的外接圆⊙J，交直线l2于P，连接AP，PB，则∠APB＝∠ADB满足条件．

由题意A（1，3），B（3，1），
∵AC＝BC，
∴C（2，2），
∵CD⊥x轴，
∴D（2，0），
∵AD＝＝，AB＝＝2，BD＝＝，
∴AD2＝AB2+BD2，
∴∠ABD是直角三角形，
∴BD⊥AB，
∵JC⊥AB，
∴JC∥BD，
∵AC＝CB，
∴AJ＝JD，
∴J是AD的中点，J（，），
∵直线OC的解析式为y＝x，
∴P（m，n），
∵PJ＝JA＝，OJ＝，
∴OP＝﹣，
∴m＝﹣，
∴m＝n＝﹣，
∴m+n＝3﹣，此时P（﹣，﹣），
根据对称性可知，点P关于点C的对称点P′（+，+），
∴m+n＝5+，
综上所述，m+n的值为5+或3﹣，选项只给了3﹣一个正确值，
故选：A．
10．（2021•河池）在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y1+y2的值是 　0　．
【分析】根据正比例函数的图象、反比例函数图象的性质得出交点A与交点B关于原点对称，进而得出其纵坐标互为相反数，得出答案．
【解答】解：由正比例函数y＝2x与反比例函数y＝（k≠0）的图象和性质可知，
其交点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于原点对称，
∴y1+y2＝0，
故答案为：0．
11．（2021•淮安）如图，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝图象相交于A、B两点，若点A的坐标是（3，2），则点B的坐标是 　（﹣3，﹣2）　．

【分析】由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可．
【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵A的坐标为（3，2），
∴B的坐标为（﹣3，﹣2）．
故答案为：（﹣3，﹣2）．
12．（2021•毕节市）如图，直线AB与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且AB＝BC，连接OA．已知△OAC的面积为12，则k的值为 　8　．

【分析】根据题意设B（，a），A（，2a），利用待定系数法表示出直线AB的解析式为y＝﹣x+3a，则C（，0），根据三角形面积公式得到××2a＝12，从而得到k的值．
【解答】解：设AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，
∴AM∥BN，
∴＝，
∵AB＝BC，
∴＝，
设B（，a），A（，2a），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3a，
当y＝0时，﹣x+3a＝0，解得x＝，
∴C（，0），
∵△OAC的面积为12，
∴××2a＝12，
∴k＝8，
故答案为8．

13．（2021•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，双曲线y＝经过点A．
（1）求k；
（2）直线AC与双曲线y＝﹣在第四象限交于点D，求△ABD的面积．

【分析】（1）作AH⊥BC于H，求出AH的长和OH的长确定A点坐标即可；
（2）求出直线AD的解析式，确定D点坐标，再根据三角形ABD的面积等于三角形ABC面积加三角形BCD面积即可求出．
【解答】解：（1）如图，作AH⊥BC于H，
t△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，
∴OC＝BC＝2，AC＝BC×sin30°＝2，
∵∠HAC+∠ACO＝90°，∠ABC+∠ACO＝90°，
∴∠HAC＝∠ABC＝30°，
∴CH＝AC×sin30°＝1，AH＝AC×cos30°＝，
∴OH＝OC﹣CH＝2﹣1＝1，
∴A（1，），
∵双曲线y＝经过点A，
∴＝，
即k＝；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，），C（2，0），
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，
∵直线AC与双曲线y＝﹣在第四象限交于点D，
∴，
解得或，
∵D在第四象限，
∴D（3，﹣），
∴S△ABD＝S△ABC+S△BCD＝BC•AH+BC•（﹣yD）＝＝4．

14．（2021•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数y＝k2x+b的图象经过E、F两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点P的坐标为 　（，0）　．

【分析】（1）由矩形的性质及中点坐标公式可得D（2，1），从而可得反比例函数表达式；再求出点E、F坐标可用待定系数法解得一次函数的解析式；
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．求出直线E'F的解析式后令y＝0，即可得到点P坐标．
【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝BC＝2，OC＝4，
∴B（4，2）．
由中点坐标公式可得点D坐标为（2，1），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，
∴k1＝xy＝2×1＝2，
故反比例函数表达式为y＝．
令y＝2，则x＝1；令x＝4，则y＝．
故点E坐标为（1，2），F（4，）．
设直线EF的解析式为y＝kx+b，代入E、F坐标得：
，解得：．
故一次函数的解析式为y＝．
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．如图．
由E坐标可得对称点E'（1，﹣2），
设直线E'F的解析式为y＝mx+n，代入点E'、F坐标，得：
，解得：．
则直线E'F的解析式为y＝，
令y＝0，则x＝．
∴点P坐标为（，0）．
故答案为：（，0）．

15．（2021•岳阳）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝2x的图象交于A（1，m），B两点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点C在x轴上，且△BOC的面积为3，求点C的坐标．

【分析】（1）先把A（1，m）代入y＝2x中，即可算出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式中即可得出答案；
（2）过点B作BD垂直与x轴，垂足为D，设点C的坐标为（a，0），根据反比例函数与正比例函数的性质可得点B的坐标，由题意可得BD＝|﹣2|＝2，OC＝|a|，再根据三角形面积计算方法即可算出a的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）把A（1，m）代入y＝2x中，
得m＝2，
∴点A的坐标为（1，2），
把点A（1，2）代入y＝中，
得k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）过点B作BD垂直与x轴，垂足为D，
设点C的坐标为（a，0），
∵点A与点B关于原点对称，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣2），
∴BD＝|﹣2|＝2，OC＝|a|，
S△BOC＝＝，
解得：a＝3或a＝﹣3，
∴点C的坐标为（3，0）或（﹣3，0）．

16．（2021•黄冈）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线AB交y轴于点C，点N（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NM⊥x轴交反比例函数y＝的图象于点M，连接CN，OM．若S四边形COMN＞3，求t的取值范围．

【分析】（1）将点B，点A坐标代入反比例函数的解析式，可求a和k的值，利用待定系数法可求一次函数解析式；
（2）先求出点C坐标，由面积关系可求解．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点，
∴k＝﹣1×3＝a×（﹣1），
∴k＝﹣3，a＝3，
∴点A（3，﹣1），反比例函数的解析式为y＝，
由题意可得：，
解得：，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+2；
（2）∵直线AB交y轴于点C，
∴点C（0，2），
∴S四边形COMN＝S△OMN+S△OCN＝+×2×t，
∵S四边形COMN＞3，
∴+×2×t＞3，
∴t＞．
17．在直角坐标系中，设函数y1＝（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．
（1）若点B的坐标为（﹣1，2），
①求k1，k2的值；
②当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（2）若点B在函数y3＝（k3是常数，k3≠0）的图象上，求k1+k3的值．

【分析】（1）①由题意得，点A的坐标是（1，2），分别代入y1＝（k1是常数，k1＞0，x＞0），y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）即可求得k1，k2的值；
②根据图象即可求得；
（2）设点A的坐标是（x0，y），则点B的坐标是（﹣x0，y），根据待定系数法即可求得k1＝x0•y，k3＝﹣x0•y，即可求得k1+k3＝0．
【解答】解：（1）①由题意得，点A的坐标是（1，2），
∵函数y1＝（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，
∴2＝，2＝k2，
∴k1＝2，k2＝2；
②由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是x＞1；
（2）设点A的坐标是（x0，y），则点B的坐标是（﹣x0，y），
∴k1＝x0•y，k3＝﹣x0•y，
∴k1+k3＝0．
18．（2021•广安）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于A（﹣1，n），B（3，﹣2）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．

【分析】（1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式；
（2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程，解之即可．
【解答】解：（1）由题意可得：
点B（3，﹣2）在反比例函数图像上，
∴，则m＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为，
将A（﹣1，n）代入，
得：，即A（﹣1，6），
将A，B代入一次函数解析式中，得
，解得：，
∴一次函数解析式为y1＝﹣2x+4；
（2）∵点P在x轴上，
设点P的坐标为（a，0），
∵一次函数解析式为y1＝﹣2x+4，令y＝0，则x＝2，
∴直线AB与x轴交于点（2，0），
由△ABP的面积为4，可得：
|a﹣2|＝4，即|a﹣2|＝4，
解得：a＝1或a＝3，
∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．
19．（2021•新疆）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于点A（2，3），B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）判断点P（﹣2，1）是否在一次函数y＝k1x+b的图象上，并说明理由；
（3）直接写出不等式k1x+b≥的解集．

【分析】（1）待定系数法求解．
（2）将x＝﹣2代入一次函数解析式求解．
（3）通过观察图像求解．
【解答】解：（1）将A（2，3）代入y＝得3＝,
解得k2＝6，
∴y＝,
把B（n，﹣1）代入y＝得﹣1＝,
解得n＝﹣6，
∴点B坐标为（﹣6，﹣1）．
把A(2,3)，B（﹣6，﹣1）代入y＝k1x+b得：
,
解得,
∴y＝x+2．
（2）把x＝﹣2代入y＝x+2得y＝﹣2×+2＝1，
∴点P（﹣2，1）在一次函数y＝k1x+b的图象上．
（3）由图象得x≥2或﹣6≤x＜0时k1x+b≥，

∴不等式k1x+b≥的解集为x≥2或﹣6≤x＜0．
20．（2021•凉山州）如图，△AOB中，∠ABO＝90°，边OB在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，S△AOB＝12，AN＝．
（1）求k的值；
（2）求直线MN的解析式．

【分析】（1）设N（a,b),则A(a,b+),M(a,b+)，由反比例函数y＝（x＞0）的图象经过斜边OA的中点M，得k＝a•(b+)＝ab,b＝,根据S△AOB＝12得a(b+)＝12,可得a＝4,故k＝4×＝6；
（2）由（1）知：M(2，3),N(4，),设直线MN解析式为y＝mx+n,用待定系数法即可得到答案．
【解答】解：（1）设N（a,b),则OB＝a,BN＝b,
∵AN＝,
∴AB＝b+,
∴A(a,b+),
∵M为OA中点，
∴M(a,b+)，
而反比例函数y＝（x＞0）的图象经过斜边OA的中点M，
∴k＝a•(b+)＝ab,
解得：b＝,
∵S△AOB＝12，∠ABO＝90°，
∴OB•AB＝12,即a(b+)＝12,
将b＝代入得：,
解得a＝4,
∴N(4,),M(2，3),
∴k＝4×＝6；
（2）由（1）知：M(2，3),N(4，),
设直线MN解析式为y＝mx+n,
∴,解得,
∴直线MN解析式为y＝﹣x+．
21．（2021•南充）如图，反比例函数的图象与过点A（0，﹣1），B（4，1）的直线交于点B和C．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）已知点D（﹣1，0），直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写出点E的坐标，并求△BCE的面积．

【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）解析式联立，解方程组求得C的坐标，然后根据待定系数法求得直线CD的解析式，再与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得E的坐标，然后根据正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可求得△BCE的面积．
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y＝，直线AB解析式为y＝ax+b，
∵反比例函数的图象过点B（4，1），
∴k＝4×1＝4，
把点A（0，﹣1），B（4，1）代入y＝ax+b得，
解得，
∴直线AB解析式为y＝，反比例函数的解析式为y＝；
（2）解得或，
∴C（﹣2，﹣2），
设直线CD的解析式为y＝mx+n，
把C（﹣2，﹣2），D（﹣1，0）代入得，
解得，
∴直线CD的解析式为y＝2x+2，
由得或，
∴E（1，4），
∴S△BCE＝6×6﹣×3﹣﹣＝．

22．（2021•江西）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a），在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点C坐标为（﹣2，0）．
（1）求k的值；
（2）求AB所在直线的解析式．

【分析】（1）先求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值；
（2）作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，通过证得△BCE≌△CAD，求得B（﹣3，3），然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝x的图象经过点A（1，a），
∴a＝1，
∴A（1，1），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝1×1＝1；
（2）作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∵A（1，1），C（﹣2，0），
∴AD＝1，CD＝3，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△BCE和△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD（AAS），
∴CE＝AD＝1，BE＝CD＝3，
∴B（﹣3，3），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣+．

23．（2021•乐山）如图，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数y＝（k≠0）的图象于P、Q两点．若AB＝2BP，且△AOB的面积为4．
（1）求k的值；
（2）当点P的横坐标为﹣1时，求△POQ的面积．

【分析】（1）由题意求得△POB的面积为2，作PM⊥y轴于M,证得△PBM∽ABO,即可求得△PBM的面积为1，从而求得S△POM＝3,根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值；
（2）由△PBM∽ABO,求得OA＝2,得到A为（2,0）,把x＝﹣1代入反比例函数解析式求得P的坐标，根据待定系数法求得直线AB解析式，然后解析式联立，解方程组求得Q的坐标，最后根据S△POQ＝S△POA+S△QOA即可求得。
【解答】解：（1）∵AB＝2BP，且△AOB的面积为4，
∴△POB的面积为2，
作PM⊥y轴于M,
∴PM∥OA,
∴△PBM∽△ABO,
∴＝()2,即,
∴△PBM的面积为1，
∴S△POM＝1+2＝3,
∵S△POM＝|k|,
∴|k|＝6，
∵k＜0,
∴k＝﹣6;
(2)∵点P的横坐标为﹣1,
∴PM＝1,
∵△PBM∽△ABO,
∴＝,即＝,
∴OA＝2,
∴A(2,0),
把x＝﹣1代入y＝﹣得，y＝6,
∴P(﹣1,6),
设直线AB为y＝mx+n,
把P、A的坐标代入得,解得,
∴直线AB为y＝﹣2x+4,
解得或,
∴Q(3,﹣2),
∴S△POQ＝S△POA+S△QOA＝×2×6+×2＝8．

24．（2021•资阳）如图，已知直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于A（m，3）、B（3，n）两点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）连结AO并延长交双曲线于点C，连结BC交x轴于点D，连结AD，求△ABD的面积．

【分析】（1）由反比例函数解析式求得A、B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）根据反比例函数的对称性求得C的坐标，即可根据待定系数法求得直线BC的解析式，从而求得D的坐标，利用三角形面积公式求得S△ACD＝S△AOD+S△COD＝3，根据勾股定理求得BC、BD的长，即可根据同高三角形面积的比等于底边的比求得△ABD的面积．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于A（m，3）、B（3，n）两点．
∴3m＝3n＝6，
∴m＝n＝2，
∴A（2，3），B（3，2），
把A（2，3），B（3，2）代入y＝kx+b得，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5；
（2）∵AC经过原点O，且点A，C均在反比例函数的图象上，
∴A、C关于原点对称，
∵A（2，3），
∴C（﹣2，﹣3），
设直线CB的解析式为y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线BC为y＝x﹣1，
令y＝0，则x＝1，
∴D（1，0），
∴S△ACD＝S△AOD+S△COD＝2××1×3＝3，
∵BC＝＝5，BD＝＝2，
∴CD＝BC﹣BD＝3，
∴＝，
∴S△ABD＝S△ACD＝2．
25．（2021•泰安）如图，点P为函数y＝x+1与函数y＝（x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数y＝（x＞0）图象上一动点，过点M作MD⊥BP于点D，若tan∠PMD＝，求点M的坐标．

【分析】（1）根据点P为函数y＝x+1图象的点，点P的纵坐标为4，可以求得点P的坐标，进而求得m的值；
（2）设点M的坐标（x，y），分两种情况：点M在点P右侧，点M在点P左侧，根据tan∠PMD＝得＝，根据点P的坐标求出x、y的值，即可得出答案．
【解答】解：∵点P为函数y＝x+1图象的点，点P的纵坐标为4，
∴4＝x+1，解得：x＝6，
∴点P（6，4），
∵点P为函数y＝x+1与函数y＝（x＞0）图象的交点，
∴4＝，
∴m＝24；
（2）设点M的坐标（x，y），
∵tan∠PMD＝，
∴＝，
①点M在点P右侧，如图，

∵点P（6，4），
∴PD＝4﹣y，DM＝x﹣6，
∴＝，
∵xy＝m＝24，
∴y＝，
∴2（4﹣）＝x﹣6，解得：x＝6或8，
∵点M在点P右侧，
∴x＝8，
∴y＝3，
∴点M的坐标为（8，3）；
②点M在点P左侧，

∵点P（6，4），
∴PD＝y﹣4，DM＝6﹣x，
∴＝，
∵xy＝m＝24，
∴y＝，
∴2（4﹣）＝x﹣6，解得：x＝6或8，
∵点M在点P左侧，
∴此种情况不存在；
∴点M的坐标为（8，3）．
26．（2021•安徽）已知正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝的图象都经过点A（m，2）．
（1）求k，m的值；
（2）在图中画出正比例函数y＝kx的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．

【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数即可求出m，即可找到点A的坐标；将点A坐标代入正比例函数即可求解．
（2）先画出正比例函数图象，根据图形即可作答．
【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数得：2m＝6．
∴m＝3．
∴A（3，2）
将点A坐标代入正比例函数得：2＝3k．
∴k＝．
（2）如图：

∴正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围：x＞3或﹣3＜x＜0．
27．（2021•重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
6
5
4
a
2
1
b
7
…
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：
m＝　﹣2　，a＝　3　，b＝　4　；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：　当x＝3时函数有最小值y＝1　；
（3）已知函数y＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+|﹣2x+6|+m＞的解集．

【分析】（1）代入一对x、y的值即可求得m的值，然后代入x＝1求a值，代入x＝4求b值即可；
（2）利用描点作图法作出图像并写出一条性质即可；
（3）根据图像求出即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，|6|+m＝4，
解得：m＝﹣2，
即函数解析式为：y＝x+|﹣2x+6|﹣2，
当x＝1时，a＝1+|﹣2+6|﹣2＝3，
当x＝4时，b＝4+|﹣2×4+6|﹣2＝4，
故答案为：﹣2，3，4；
（2）图象如右图，根据图象可知当x＝3时函数有最小值y＝1；
（3）根据当y＝x+|﹣2x+6|﹣2的函数图象在函数y＝的图象上方时，不等式x+|﹣2x+6|﹣2＞成立，
∴x＜0或x＞4．

28．（2021•泸州）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（6，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值．
【分析】（1）根据待定系数法，先求出反比例函数的解析式，求出B点坐标，进而求出一次函数的解析式；
（2）根据直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l求得l的解析式，然后求出点M，N得坐标，根据勾股定理求得MN的长度；联立一次函数l和反比例函数得到点P，Q的坐标，过点P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，两条平行线交于点C，根据勾股定理求得PQ的长度，问题即可迎刃而解．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（2，3），点B（6，n），
∴m＝2×3＝6，m＝6n，
∴y＝，n＝1，
∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（2，3），点B（6，1），
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+4；
（2）∵直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，∴直线l的解析式为：y＝﹣x+4﹣8＝﹣x﹣4，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝﹣8，∴M（﹣8，0），N（0，﹣4），
∴OM＝8，ON＝4，∴MN＝＝＝4，联立，得：﹣x﹣4＝，解得：x1＝﹣2，x2＝﹣6，将x1＝﹣2，x2＝﹣6代入y＝得：y1＝﹣3，y2＝﹣1，经检验：和都是原方程组的解，∴P（﹣6，﹣1），Q（﹣2，﹣3），
如图，过点P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，两条平行线交于点C，则∠C＝90°，C（﹣2，﹣1），∴PC＝﹣2﹣（﹣6）＝4，CQ＝﹣1﹣（﹣3）＝2，∴PQ＝＝＝2，∴＝＝．