八年级数学下册知识点复习专题讲练函数中的动点问题含解析

函数中的动点问题

1. 点在线段上运动：

根据线段长或图形面积求函数关系。如：如图所示，点P在线段BC、CD、DA上运动，△ABP的面积变化情况的图象是什么样的？

解析：看清横轴和纵轴表示的量。

答案：

2. 双动点变化：

两动点同时运动，分析图形面积变化图象。如图1，在矩形ABCD中，点E是对角线AC的三等分点（靠近点A），动点F从点C出发沿C→A→B运动，当点F与点B重合时停止运动。设点F运动的路程为x，△BEF的面积为y，那么图2能表示y与x函数关系的大致图象吗？

图1                          图2

解析：动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据动点的行程判断y的变化情况。

答案：能。

3. 图形运动变化所形成的函数问题：

图形整体运动时，形成的函数问题；如图，边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，阴影部分面积为S，那么S与t的函数图象大致是什么？

解析：图形运动变化所形成的函数问题．关键是理解图形运动过程中的几个分界点。

答案：

4. 实际问题中的运动变化图象

如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿M→A→B→M的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图象是（　　）

解析：解决实际问题中的运动变化图象，要根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义选出正确的图象。

答案：

总结：研究在不同位置时点的运动变化所产生的线段、面积的变化关系是重点。

例题  如图，M是边长为4的正方形AD边的中点，动点P自A点起，由A⇒B⇒C⇒D匀速运动，直线MP扫过正方形所形成面积为y，点P运动的路程为x，则表示y与x的函数关系的图象为（　　）

    A.      B.     C.     D.

解析：分别求出P在AB段、BC段、CD段的函数解析式或判断函数的类型，即可判断。

答案：解：点P在AB段时，函数解析式是：y＝AP•AM＝×2x＝x，是正比例函数；点P在BC段时，函数解析式是：，是一次函数；则，。在单位时间内点P在BC段上的面积增长要大于点P在AB上的面积增长，因此函数图象会更靠近y轴，也就是图象会比较“陡”，故A、B选项错误。点P在CD段时，面积是△ABC的面积加上△ACP的面积，△ABC的面积不变，而△ACP中CP边上的高一定，因而面积是CP长的一次函数，因而此段的面积是x的一次函数，应是线段。故C错误，正确的是D。故选D。

点拨：主要考查了函数的性质，注意分段讨论是解决本题的关键。

利用动点形成的函数图象求解析式

例题  （翔安模拟）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止。设点P运动的路程为xcm，△ABP的面积为ycm2，如果y关于x的函数图象如图2所示，则y关于x的函数关系式为　　　　　。

解析：根据图2判断出矩形的AB、BC的长度，然后分点P在BC、CD、AD时，分别求出点P到AB的距离，然后根据三角形的面积公式列式即可求出y关于x的函数关系式。

答案：解：由图2可知，x从4到9的过程中，三角形的面积不变，所以，矩形的边AB＝9－4＝5cm，边BC＝4cm，则点P运动的总路程为9＋4＝13cm，分情况讨论：①点P在BC上时，0≤x≤4，点P到AB的距离为PB的长度xcm，y＝AB•PB＝×5x＝；②点P在CD上时，4<x<9，点P到AB的距离为BC的长度4cm，y＝AB•BC＝×5×4＝10；③点P在AD上时，9≤x≤13时，点P到AB的距离为PA的长度（13－x）cm，y＝AB•PA＝×5（13－x）＝（13－x）；综上，y关于x的函数关系式为。

故答案为：。

动点综合型问题

例题  （苏州中考）如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝9cm，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→A的方向移动，直到点P到达点A后才停止。已知△PAD的面积y（单位：cm2）与点P移动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图②所示，试解答下列问题：

（1）求出平行四边形ABCD的周长；

（2）请你利用图①解释一下图②中线段MN表示的实际意义；

（3）求出图②中a和b的值。

解析：（1）由图②知点P在AB上运动的时间为10s，根据路程＝速度×时间列式，求出AB＝10cm，又AD＝9cm，根据平行四边形的周长公式即可求解；（2）由线段MN∥x轴，可知此时点P虽然在运动，但是△PAD的面积y不变，结合图①，可知此时点P在BC边上运动；（3）由AD＝9可知点P在边BC上的运动时间为9s，a为点P由A→B→C的时间；分别过B点、C点作BE⊥AD、CF⊥AD，易证△BAE≌△CDF，由此得到AE＝DF＝6cm，AF＝15cm，从而可求得CA＝17cm，则点P在CA边上从C点运动到A点的时间为17s，所以b＝19＋17＝36。

答案：解：（1）由图②可知点P从A点运动到B点的时间为10s，又因为P点运动的速度为1cm/s，所以AB＝10×1＝10（cm），而AD＝9cm，则平行四边形ABCD的周长为：2·（AB＋AD）＝2×（10＋9）＝38（cm）；

（2）线段MN表示的实际意义是：点P在BC边上从B点运动到C点；

（3）由AD＝9可知点P在边BC上的运动时间为9s，所以a＝10＋9＝19；分别过B、C两点作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F。由图②知S△ABD＝36cm2，则×9×BE＝36cm2，解得BE＝8cm，在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝＝6cm。易证△BAE≌△CDF，则BE＝CF＝8cm，AE＝DF＝6cm，AF＝AD＋DF＝9＋6＝15cm。在Rt△ACF中，由勾股定理，得CA＝＝17cm，则点P在CA边上从C点运动到A点的时间为17s，所以b＝19＋17＝36。

（答题时间：45分钟）

一、选择题

1. （静海中考）如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是（　　）

A.    B.

C.   D.

2. （营口中考）如图1，在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x＝7时，点E应运动到（　　）

A. 点C处  B. 点D处  C. 点B处  D. 点A处

3. （绥化中考）如图，在平面直角坐标系中，长、宽分别为2和1的矩形ABCD的边上有一动点P，沿A→B→C→D→A运动一周，则点P的纵坐标y与P所走过的路程S之间的函数关系用图象表示大致是（　　）

      A.        B.

      C.        D.

*4. （荆门中考）如下图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（　　）

     A.          B.

     C.         D.

**5.（河池中考）如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2，BC＝4，AD＝6，M是CD的中点，点P在直角梯形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示是（　　）

A.          B.

C.          D.

二、填空题：

*6. 如图，是一辆汽车的速度随时间变化的图象，请你根据图象提供的信息填空：

（1）汽车在整个行驶过程中，最高速度是 　　　　　千米/时；（2）汽车第二次减速行驶的“时间段”是　　　　　　　　；（3）汽车出发后，8分钟到10分钟之间的运动情况如何？　　　　　　　。

*7. 如图，在正方形ABCD中，边长为2，某一点E从B－C－D－A－B运动，且速度是1，试求：（1）△BEC的面积S和时间t的关系　　　　　　　　　。

**8. （随州中考）在四边形ABCD中，AB边的长为4，设动点P沿折线BCDA由点B向点A运动，设点P运动的距离为x，△PAB的面积为y，y与x的函数图象如图所示。给出下列四个结论：①四边形ABCD的周长为14；②四边形ABCD是等腰梯形；③四边形ABCD是矩形；④当△PAB面积为4时，点P移动的距离是2。你认为其中正确的结论是 　　　　　　　。（只填所有正确结论的序号例如①）

**9. 已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S关于时间t的函数图象如图乙，若AB＝6cm，试回答下列问题：

（1）图甲中BC的长度是 　　　　。

（2）图乙中a所表示的数是 　　　　。

（3）图甲中的图形面积是 　　　　　　。

（4）图乙中b所表示的数是 　　　　　。

      图甲     图乙

三、解答题：

10. （潜江）如图，有一边长为5的正方形ABCD与等腰三角形CEF，其中底边CF＝8，腰长EF＝5，若等腰△CEF以每秒1个单位沿CB方向平移，B、C、F在直线L上，请画出0＜t＜6时，两图形重叠部分的不同状态图（重叠部分用阴影标示），并写出对应t的范围。

**11. 如图①，在矩形ABCD中，AB＝30cm，BC＝60cm。点P从点A出发，沿A→B→C→D路线向点D匀速运动，到达点D后停止；点Q从点D出发，沿D→C→B→A路线向点A匀速运动，到达点A后停止。若点P、Q同时出发，在运动过程中，Q点停留了1s，图②是P、Q两点在折线AB－BC－CD上相距的路程S（cm）与时间t（s）之间的函数关系图象。（1）请解释图中点H的实际意义；（2）求P、Q两点的运动速度；（3）将图②补充完整；（4）当时间t为何值时，△PCQ为等腰三角形？请直接写出t的值。

1. B  解析：①当P在AB上运动时，所求三角形底为AP，高为M到AB的距离也就是AD长度因此S△APM＝AD•AP＝x，函数关系为：y＝x（0＜x≤1）；②当P在BC上运动时，S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM，S△ABP＝AB•BP，BP＝x－1，则S△ABP＝x－，S△PCM＝PC•CM，CM＝＝，PC＝3－x，S△PCM＝，S梯形ABCM＝（AB＋CM）•BC＝，因此S△APM＝－－＝－＋（1＜x≤3）；③当P在CM上运动时，S△APM＝CM•AD，CM＝－x，S△APM＝（－x）×2＝－x＋（3＜x＜7/2）。故该图象分三段。故选B。

2. B  解析：当E在AB上运动时，△BCE的面积不断增大；当E在AD上运动时，BC一定，高为AB不变，此时面积不变；当E在DC上运动时，△BCE的面积不断减小。∴当x＝7时，点E应运动到高不再变化时，即点D处。故选B。

3. D  解析：∵长、宽分别为2和1的矩形ABCD的边上有一动点P，沿A→B→C→D→A运动一周，则点P的纵坐标y随点P走过的路程s之间的函数关系图象可以分为4部分，∴P点在AB上，此时纵坐标越来越小，最小值是1，P点在BC上，此时纵坐标为定值1。当P点在CD上，此时纵坐标越来越大，最大值是2，P点在AD上，此时纵坐标为定值2。故选D。

4. A  解析：①当直线经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；②直线经过AD段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；结合选项可得，A选项的图象符合。故选A。

5. D  解析：连接AC，过点C作CE⊥AD于点E，过点M作MF⊥AB于点F，易得CE＝2，MF＝5，

当点P与点B重合，即x＝2时，y＝AP·MF＝×2×5＝5；当点P与点C重合，即x＝6时，y＝＝××6×2＝3；结合函数图象可判断选项D正确。故选D。

6. 100千米，22分－24分，8分到10分之间停止  解析：（1）依题意得：最高速度是100千米每小时；（2）汽车第二次减速行驶的“时间段”是22分－24分；（3）汽车出发后，8分到10分之间是停止的。

7.   解析：（1）∵在正方形ABCD中，边长为2，某一点E从B－C－D－A－B运动，且速度是1，∴当E在BC上时，B，E，C无法构成三角形，此时0≤t≤2，∴S＝0，（0≤t≤2）；当E在CD上时，△BEC的面积为：S＝BC×CE＝×2×（t－2）＝t－2，（2＜t≤4）；当E在AD上时，△BEC的面积为：S＝BC×CD＝×2×2＝2，（4＜t≤6）；当E在AB上时，△BEC的面积为：S＝BC×BE＝×2×[2－（t－6）]＝8－t，（6＜t≤8）。

8. ①③  解析：∵AB边的长为4，设动点P沿折线B⇒C⇒D⇒A由点B向点A运动，点P运动的距离为10，∴四边形ABCD的周长为10＋4＝14，①成立。当点P在BC上运动时，面积在不断增加，当移动的距离是3，面积为6时，面积不再变化，说明CD∥AB，此时BC＝3，△ABP面积＝×4×高＝6，那么高＝3，说明BC⊥AB。当点P运动7时，面积停止变化，此时CD＝7－3＝4，那么CD＝AB。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形ABCD是平行四边形。根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得到四边形ABCD是矩形，③对。由图中可以看出，面积为4的点可在图中找到两处，那么就有相应的两个距离值，④不对。故答案选①③。

9. 8cm；24；60cm2；17  解析：（1）动点P在BC上运动时，对应的时间为0到4秒，易得：BC＝2cm/秒×4秒＝8cm。故题图甲中BC的长度是8cm；（2）由（1）可得，BC＝8cm，则：题图乙中a所表示的数是：×BC×AB＝×8×6＝24（cm2）。故题图乙中a所表示的数是24；（3）由题图可得：CD＝2×2＝4cm，DE＝2×3＝6cm，则AF＝BC＋DE＝14cm，又由AB＝6cm，则甲中的梯形面积为AB×AF－CD×DE＝6×14－4×6＝60（cm2）。故题图甲中的图形面积为60cm2；（4）根据题意，动点P共运动了BC＋CD＋DE＋EF＋FA＝（BC＋DE）＋（CD＋EF）＋FA＝14＋6＋14＝34（cm），其速度是2cm/秒，34÷2＝17（秒）。故题图乙中b所表示的数是17。故答案为8cm；24；60cm2；17。

10. 解：∵等腰三角形CEF，其中底边CF＝8，腰长EF＝5，∴等腰三角形底边上的高线平分底边，即分为两部分都是4，当0＜t≤4时，如图1所示；当4＜t≤5时，如图2所示；当5＜t＜6时，如图3所示。

11. 解答：（1）图中点H的实际意义：P、Q两点相遇；（2）由函数图象得出，当两点在F点到G点两点路程随时间变化减慢得出此时Q点停留1秒，只有P点运动，此时纵坐标的值由75下降到45，故P点运动速度为：30cm/s，再根据E点到F点S的值由120变为75，根据P点速度，得出Q点速度为120－75－30＝15（cm/s），即P点速度为30cm/s，Q点速度为15cm/s；（3）如图所示：根据4秒后，P点到达D点，只有Q点运动，根据运动速度为15cm/s，还需要运动120－45＝75（cm），则运动时间为：75÷15＝5（s），画出图象即可；（4）如图1所示，当QP＝PC，此时QC＝BP，即30－30t＝（30－15t），解得：t＝，故当时间t＝s时，△PCQ为等腰三角形，如图2所示，当D、P重合，QD＝QC时，Q为AB中点，则运动时间为：（15＋60＋30）÷15＋1＝8（s），故当时间t＝8s时，△PCQ为等腰三角形。若PC＝CQ故90－30t＝30－15t解得：t＝4则4＋1＝5（S）综上所述：t＝或t＝5或t＝8秒时，△PCQ为等腰三角形。