八年级数学下册知识点复习专题讲练解析平方根和立方根含解析

解析平方根和立方根

1. 算术平方根

（1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

即：如果（x≥0），则。

a的算术平方根记为，读作“根号a或二次根号a”，a叫做被开方数，2叫根指数，可以省略，简写为。

规定：0的算术平方根是0。

（2）性质：①正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

②   

注意：的双重非负性，即

（3）被开方数与算术平方根的关系

当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时，它的算术平方根也缩小。

一般来说，被开方数扩大（或缩小）a倍，算术平方根扩大（或缩小）倍，

如：＝5，＝50。

2. 平方根

（1）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。

即：如果，那么x叫做a的平方根，

表示为，其中a叫做被开方数。

（2）性质：

①正数有两个平方根，它们互为相反数；

②0的平方根是0；

③负数没有平方根。

（3）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。

注意：① 开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义；

② 乘方与开方互为逆运算。

3. 立方根

（1）定义：如果一个数x的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），

即：如果，那么叫做的立方根，记作，读作：“三次根号”。

其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。

（2）性质：

①正数有一个正的立方根；

②0的立方根是0；

③负数有一个负的立方根。

注意：任何数都有唯一的立方根。

公式：；。

注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

（3）被开方数与立方根的关系

当被开方数扩大时，它的立方根也扩大；当被开方数缩小时，它的立方根也缩小。

一般来说，被开方数扩大（或缩小）a倍，立方根扩大（或缩小）倍，

如：，。

例题1  已知：是a＋8的算术平方根，是b－3的立方根，求M＋N的平方根。

解析：由算术平方根及立方根的意义可知，a＋b－2＝2①，2a－b＋4＝3②，联立①②解方程组，得：a＝1，b＝3；代入已知条件得：，

所以，故M＋N的平方根是。

答案：根据题意得：，解得：a＝1，b＝3，

把a＝1，b＝3代入M，N得，

所以M＋N的平方根是。

点拨：正确理解算术平方根和立方根的意义是解决本题的关键。

例题2  已知，求x＋y的算术平方根与立方根。

解析：根据算术平方根和立方根的定义，可知x＋2y＝9①，4x－3y＝－8②，联立①②解方程组，得：x＝1，y＝4，即可求得x＋y的算术平方根与立方根。

答案：根据题意得解得：x＝1，y＝4

∴，

点拨：本题主要考查学生对算术平方根和立方根的应用，正确理解算术平方根和立方根的定义是关键。

例题3  若一个正数a的两个平方根分别为x＋1和x＋3，求的值。

解析：根据一个正数a的两个平方根分别为x＋1和x＋3，可得出x＋1和x＋3互为相反数，可求出x，即可得到a的值，然后代入即可得出的值。

答案：根据题意得x＋1＋x＋3＝0，

解得x＝－2，

则x＋1＝－1，x＋3＝1，

所以a＝1，

即

点拨：本题考查了平方根的定义，知道一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。

都具有非负性，这个性质是我们解题的一个重要工具，巧妙的运用这个非负性，往往能起到至关重要的作用。

例题  已知，则求m－n的值。

解析：根据确定m的范围，从而去绝对值符号，整理后，根据算术平方根和平方的非负性求出的值。

答案：∵，且

∴，

∴

即

，

解得，

。

点拨：此题主要考查了算术平方根以及绝对值的性质，根据题意得出n，m的值是解决问题的关键。

（答题时间：30分钟）

1.的平方根是（  ）

A. 3     B.     C.      D.

2. 计算的结果是（ ）

A.    B.     C.      D. 3

3. 下列各式中，正确的是（  ）

A.  B.   C.   D.

**4. 若＝0，则＝________。

*5. 一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，则a的值是_______。

6. 已知（2a－1）的平方根是，（3a＋b－1）的平方根是，求a＋2b的平方根。

*7. 若2m－4与3m－1是同一个数的两个平方根，求m的值。

*8. 已知实数x、y满足，则x＋y的值为（    ）

A. －2     B. 2     C. 4     D. －4

**9. 已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（    ）

A. m>6    B. m<6     C. m>－6    D. m<－6

*10. 若与互为相反数，则x＋y的值为（    ）

A. 3     B. 9     C. 12     D. 27

**11. 设a、b、c都是实数，且满足，求代数式的值。

**12. 已知实数x，y满足，求代数式的值。

1. D  解析：因为，所以就是求3的平方根，为。

2. D  解析：一个数的立方根只有一个，。

3. B  解析：A.，故错误；

B. ，故正确；

C. ，故错误；

D. 3，故错误。

4. 1  解析：∵，

∴，解得a＝1，，。

5. 2  解析：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以可知（2a－2）＋（a－4）＝0，解得：a＝2。

6. 解：∵2a－1的平方根为，3a＋b－1的平方根为，

∴2a－1＝9，3a＋b－1＝16，解得：a＝5，b＝2，

∴a＋2b＝5＋4＝9，

∴a＋2b的平方根为

7. 解：由题意得：2m－4＝－（3m－1），解得m＝1

8. A  解析：∵，∴x－1＝0，y＋3＝0，解得：x＝1，y＝－3，即x＋y＝－2。

9. A  解析：∵，∴x＋2＝0，3x＋y＋m＝0，∴x＝－2，y＝6－m，又∵y是负数，

∴6－m<0，即m>6。

10. D  解析：∵与互为相反数，∴＋＝0

又∵，，

∴得，解得：x＝15，y＝12，即x＋y＝27

11. 解：∵，∴2－a＝0，，c＋8＝0，

∴a＝2，b＝4，c＝－8，

12. 解：∵，∴x－5＝0，y＋4＝0，解得：x＝5，y＝－4

∴＝1