八年级数学下册知识点复习专题讲练巧用勾股定理解决几何问题含解析

巧用勾股定理解决几何问题

一、勾股定理在解决几何问题中的应用技巧

1. 构造直角三角形

根据题意，合理构造直角三角形，比如等腰三角形中的求值或面积问题，经常作高构造直角三角形。

 如：在ABC中，AB=AC=5，BC=8，求三角形ABC的面积。

    答案：12。

2. 利用勾股定理列方程

将三角形的边用同一未知数表示，列出方程，解出所求值。

（1）在翻折问题中，大多数求值都是这种应用

如：如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=6，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为多少？

    答案：3。

（2）求折断物体长度时，使用方程

如：一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面高度是多少？

答案：尺。

3. 分类讨论思想

已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论。

如：已知一个直角三角形的两边长是和，求第三边的长。

答案：5cm或cm。

4. 数形结合思想

几何与代数问题的综合。

如：在一棵树的5米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树10米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？

答案：7.5米。

二、特殊几何图形中的勾股定理计算规律

1. 含有30°角的直角三角形

（1）30°角所对的直角边是斜边的一半；

（2）60°角所对的直角边是30°角所对直角边的倍。

2. 等边三角形

高等于边长的倍。

总结：

（1）勾股定理的几何应用是学习的重点内容，要在直角三角形中灵活运用。

（2）要有意识的训练自己辅助线的添加，经常性的思考不同问题的不同添加法。　

例题 A1A2B是直角三角形，且A1A2=A2B=a，A2A3⊥A1B，垂足为A3，A3A4⊥A2B，垂足为A4，A4A5⊥A3B，垂足为A5，…，An+1An+2⊥AnB，垂足为An+2，则线段An+1An+2（n为自然数）的长为（　　）

A.        B.          C.         D.

解析：先根据勾股定理及等腰三角形的性质求出A2A3及A3A4的长，找出规律即可解答．

答案：∵△A1A2B是直角三角形，且A1A2=A2B=a，A2A3⊥A1B，∴A1B==，

∵△A1A2B是等腰直角三角形，

∴A2A3=A1A3=A1B==，

同理，△A2A3B是等腰直角三角形，A2A3=A3B=，A3A4⊥A2B，A2B=a，A3A4=A2A4=A1B=，

∴线段An+1An+2（n为自然数）的长为．

故选A。

点拨：规律性题目，涉及到等腰三角形及直角三角形的性质，解答此题的关键是求出A2A3及A3A4的长，并找出规律．

分类讨论求值

近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查同学们的数学基本知识与方法，而且考查了同学们思维的深刻性。在解决此类问题时，因考虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是平时的学习中，尤其是在中考复习时，对“分类讨论”的数学思想渗透不够。所以同学们要充分考虑不同情况下的求值。

例题  在△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上的高AD=12，则边BC的长是（　　）

A. 14         B. 4           C. 14或4          D.

解析：分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD、CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD-BD．

答案：解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，

在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=132-122=25，则BD=5，在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2=152-122=81，则CD=9，故BC的长为BD+DC=9+5=14；

    （2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，

在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=132-122=25，则BD=5，在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2=152-122=81，则CD=9，故BC的长为DC-BD=9-5=4．综上可得BC的长为14或4．故选C．

（1）        （2）

生活中的勾股定理方案设计

在实际生活中应用勾股定理。

例题  某园艺公司对一块直角三角形的花园进行改造，测得两直角边长分别为a=6米，b=8米．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以b为直角边的直角三角形，则扩建后的等腰三角形花圃的周长为（　　）米

A. 32或20+4            B. 32或36或

C. 32或或20+4          D. 32或36或或20+4

解析：由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定，若设扩充所得的三角形是△ABD，则应分为①AB=AD，②AD=BD两种情况进行讨论．

答案：解：如图所示：

在Rt△ABC中，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，

如图1，当AB=AD时，DC=BC=6m，此时等腰三角形花圃的周长=10+10+6+6=32（m）；

如图2：当AD=BD时，设AD=BD=x（m）；Rt△ACD中，BD=x（m），CD=（x-6）m；

由勾股定理，得AD2=DC2+CA2，即（x-6）2+82=x2，解得x=；

此时等腰三角形绿地的周长=×2+10=（m）．

当AB=BD时，在Rt△ACD中，AD===4，

∴等腰三角形绿地的周长=2×10+4=20+4（m）．

故选C．

（答题时间：45分钟）

一、选择题

1. 观察以下几组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…，根据以上规律的第⑦组勾股数是（　　）

A. 14、48、49  B. 16、12、20  C. 16、63、65  D. 16、30、34

2. 如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端的滑动距离（　　）

A. 等于1米  B. 大于1米  C. 小于1米  D. 不能确定

*3. 已知△ABC是斜边长为1cm的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是（　　）

A. cm  B. cm  C. 2ncm  D. cm

*4. 如图所示，一只小蚂蚁从棱长为1的正方体的顶点A出发，经过每个面的中心点后，又回到A点，蚂蚁爬行最短程S满足（　　）

A. 5＜S≤6  B. 6＜S≤7  C. 7＜S≤8  D. 8＜S≤9

**5. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D、E在BC上，且∠DAE=45°，现将△ACE绕点A旋转至△ABE′处，连接DE′和EE′，则下列结论中 ①AB⊥DE′②∠ADE=∠BAE ③△AEE′是等腰直角三角形   ④AD⊥EE′⑤BD2+CE2=DE2正确的有（　　）

A. 1个  B. 2个  C. 3个  D.  4个

二、填空题：

*6. 如图，一牧童在A处放羊，牧童的家在B处，A、B距河岸的距离AC、BD分别为500m和700m，且C、D两地相距500m，天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家，那么牧童至少应该走                 m．

*7. 如图，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为3m，点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是     m．

**8. 勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积=16，AE=1；则正方形EFGH的面积=            

  **9. 图（1）是一个面积为1的正方形，经过第一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，如图（2）；经过第2次“生长”后变成图（3），经过第3次“生长”后变成图（4），如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”，这就是美丽的“勾股树”．已知“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和存在一定的变化规律，请你利用这一规律求：①经过第一次“生长”后的所有正方形的面积和为________，②经过第10次“生长”后，图中所有正方形的面积和为：       

三、解答题：

*10. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是多少？

**11. 已知：如图，点O是等腰直角△ABC斜边AB的中点，D为BC边上任意一点．操作：在图中作OE⊥OD交AC于E，连接DE．探究OD、BD、CD三条线段之间有何等量关系？请探究说明．

**12. 如图，平面直角坐标系xoy中，A（1，0）、B（0，1），∠ABO的平分线交x轴于一点D．

    （1）求D点的坐标；

    （2）如图所示，A、B两点在x轴、y轴上的位置不变，在线段AB上有两动点M、N，满足∠MON=45°，下列结论①BM+AN=MN，②BM2+AN2=MN2，其中有且只有一个结论成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论．

（1）         （2）

1. C  解析：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2（n+1），第二个是：n（n+2），第三个数是：（n+1）2+1，故可得第⑦组勾股数是16，63，65．故选C．

2. B  解析：如图，AC=EF=10米，AB=8米，AE=1米，求CF；∵∠B=90°，由勾股定理得，BC=6米，又∵AE=1米，BE=7米，EF=10米，由勾股定理得，BF=米，∵＞，即＞7，∴-6＞1．故选B．

3. B  解析：等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍，第二个△（也就是△ACD）的斜边长：1×=；第三个△，直角边是第一个△的斜边长，所以它的斜边长：×=（）2；…；第n个△，直角边是第（n-1）个△的斜边长，其斜边长为：（）n−1．故选B．

4. B解析：正方体展开图形为：则蚂蚁爬行最短程S=5+=5+．即6＜S≤7．故选B．

5. D  解析：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠C=45°，∵∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠BAE=∠DAE+∠BAD，∵∠DAE=45°，∴∠ADE=∠BAE；∴②正确。（2）∵△ACE绕点A旋转至△ABE′处，∴AE=AE′，∠EAC=∠E′AB，∵∠BAC=90°，∴∠E′AB +∠BAE=90°，∴∠EAB′+∠BAE=90°，∴△AEE′是等腰直角三角形；∴③正确。（3）∵∠DAE=45°，∠BAC=90°，∴∠EAC+∠BAD=45°，∵∠EAC=∠E′AB，∴∠DAE′=∠EAD=45°，∵△AEE′是等腰直角三角形，∴AD⊥EE′，∴④正确。（4）∵∠C=∠E′BA=∠DBA=45°，∴∠E′BD=90°，∵EC=E′B，∴BD2+CE2=DE2，∴⑤正确，综上所述∴②③④⑤项正确．故选D．

6. 1300  解析： 解：作A关于CD的对称点E，连接BE，并作BF⊥AC于点F．

则EF=BD+AC=700+500=1200m，BF=CD=500m．在Rt△BEF中，根据勾股定理得：BE===1300米．

7.   解析：设AC=xm，∵∠ABC=∠BAC=45°，∴BC=xm，∵滑梯AB的长为3m，∴2x2=9，解得x=，∵∠D=30°，∴AD=2AC， ∴AD=m，故答案为：。

8. 10  解析： ∵四边形EFGH是正方形，∴EH=FE，∠FEH=90°，∵∠AEF+∠AFE=90°，∠AEF+∠DEH=90°，∴∠AFE=∠DEH，∵在△AEF和△DHE中，∴△AEF≌△DHE（AAS），∴AF=DE，∵正方形ABCD的面积为16，∴AB=BC=CD=DA=4，∴AF=DE=AD-AE=4-1=3，在Rt△AEF中，EF==，故正方形EFGH的面积=×=10．故答案为：10．

9. 2；11  解析：如图2：设直角三角形的三条边分别是a、b、c．根据勾股定理，得a2+b2=c2，

即：正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1；所有正方形的面积之和为2=（1+1）×1；图（3）正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积，正方形M的面积+正方形N的面积=正方形B的面积，正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1，所有正方形的面积之和为3=（2+1）×1…推而广之，“生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（n+1）×1，则：“生长”了10次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（10+1）×1=11．

故答案为：2；11。

10. 解：∵图中正方形ABCD、正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，∴CG=NG，CF=DG=NF，∴S1=（CG+DG）²=CG²+DG²+2CG•DG=GF²+2CG•DG，S2=GF²，

S3=（NG-NF）²=NG²+NF²-2NG•NF=GF2-2NG·NF，

∵S1+S2+S3=10=GF²+2CG•DG+GF²+ GF²-2NG•NF=3GF²，∴S2的值是：

11. 解：如图，关系为2OD2=BD2+CD2．作OE⊥OD交AC于E，连接OC、DE，得到△OBD≌△OCE从而Rt△DCE与Rt△EOD中，CE2+DC2=DE2，OD2+OE2=DE2由BD=CE，OD=OE，所以2OD2=BD2+CD2，（也可过O作BC垂线）．

12. 解：（1）过点D作DE⊥AB于E，设D点坐标为（m，0），根据题意得：OB=1，OA=1，OD=m；在Rt△AOB中，AB2=OA2+OB2，所以AB=，∠A=45°；在△DOB和△DEB中，∴△DOB≌△EDB（AAS），∴OD=ED=m，OB=EB=1；在△AED中，∠A=45°，∠AED=90°，∴DE=AE=m，∴1+m=，∴m=-1，∴D点坐标为（-1，0）．

（2）结论②正确；过点O作OE⊥OM，并使OE=OM，连接NE，AE在△MOB和△EOA中，∴△MOB≌△EOA（SAS），∴BM=AE，∠B=∠OAE，在△MON和△EON中，∴△MON≌△EON（SAS）；∴MN=EN，又∵∠NAE=∠NAO+∠OAE=90°，∴△NAE为直角三角形，∴NA2+AE2=NE2∴BM2+AN2=MN2，即结论②正确．